第一章 空间向量与立体几何
易错点一：空间向量的加减运算
1．已知正方体 ABCD-A1B1C1D1中,AC1的中点为 O,则下列命题中正确的是( )
A．OA OD 与OB1 OC1 是一对相等向量
B．OB OC 与OA1 OD1 是一对相反向量
C．OA1 OA与OC OC1 是一对相等向量
D．OA OB OC OD与OA1 OB1 OC1 OD1 是一对相反向量
2．已知在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， P ，M 为空间任意两点，如果PM PB1 7BA 6AA1 4A1D1 ，那么
点M 必（ ）
A．在平面BAD1内 B．在平面BA1D 内
C．在平面BA1D1内 D．在平面 AB1C1内
3．已知平行六面体 ABCD-A'B'C'D',则下列四式中:① AB CB AC ;② AC' AB B'C' CC' ;③ AA' CC' ;④
AB BB' BC C'C AC' .
其中正确的是_____.
易错点二：空间向量的数量积
1．平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱） ABCD A1B1C1D1 所有棱长都为 1，且
A1AD A1AB 60
, DAB 45 ,则 BD1 （ ）
A． 3 1 B． 2 1 C． 3 2 D． 3 2
2．在空间直角坐标系O xyz 中，O(0,0,0), E(2 2,0,0), F (0,2 2,0) ， B 为EF 的中点，C 为空间一点且满足
| CO | | CB | 3，若 cos EF , BC
1
，，则 （ ）
6 OC OF
A．9 B．7 C．5 D．3
3 a b c a
．设 ， ， 是单位向量，且 b＝0，则 a
c b c 的最小值为__________．
易错点三：用空间基底表示向量
1．在三棱柱 A1B1C1 ABC 中，D 是四边形BB1C1C 的中心，且 AA1 a, AB b, AC c，则 A1D （ ）
1 1 1 1 1 1 a b c a b c 1 a 1
1 1 1 1
A． B． C． b c D． a b c
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2．如图，在三棱锥O ABC 中，点D是棱 AC 的中点，若OA a，OB b，OC c，则BD等于（ ）
1 a b 1
A． c
1 1
B．
2 2 a b c
C． a b c D． a b c2 2
3．如图，在空间四边形OABC 中，M ， N 分别为OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG 3GN ，
用向量OA、OB 、OC 表示向量OG ，设OG x OA y OB z OC ，则 x、 y 、 z 的和为______.
易错点四：空间向量的坐标运算
2
1．已知点 A(3,3,-5),B(2,-3,1),C 为线段 AB 上一点,且 AC AB ,则点 C 的坐标为( )
3
A． (
7 , 1 , 5) B． (
3 , 3,2) 7 5 7 3C． ( , 1, 1) D． ( , , )
2 2 2 8 3 2 2 2
2．已知P 1, 1, 2 ，P2 3,1,0 、P3 0,1,3 ，则向量P1P2 与P1P3 的夹角是（ ）
A．30 B． 45 C．60 D．90
3．如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，E，F 分别为 D1C1，B1C1的中点，若以 AB, AD, AA1 为基底，则向
量 AE 的坐标为___，向量 AF 的坐标为___，向量 AC1 的坐标为___.
易错点五：空间向量运算的坐标表示
1．在空间直角坐标系中，已知 A 1,2,3 ，B 1,0,4 ，C 3,0,5 ，D 4,1, 3 ，则直线 AD 与 BC 的位置关系
是（ ）
A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法判定
2．已知 A(1,2,3)，B(2,1,2)，C(1,1,2)，O 为坐标原点，点 D 在直线 OC 上运动，则当 DA · DB取最小值时，
点 D 的坐标为( )
4 , 4 , 4 8A． B． ,
4 , 8
3 3 3 3 3 3
4 , 4 8 8 8 4 C． , D , ,
3 3 3
．
3 3 3
3．已知 AB ＝(1，5，－2)，BC ＝(3，1，z)，若 AB BC ，BP＝( x 1， y ，－3)，且 BP 平面 ABC，则
实数 x y ________．
易错点六：空间位置关系的向量证明
1．已知正方体 ABCD A1B1C1D1 ，E 是棱BC 的中点，则在棱CC1 上存在点F ，使得（ ）
A． AF //D1E B． AF D1E
C． AF //平面C1D1E D． AF 平面C1D1E
2．在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，棱长为 a，M，N 分别为 A1B 和 AC 上的点，A1M=AN=
2a
，则 MN 与平
3
面 BB1C1C 的位置关系是（ ）
A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能确定
3．若直线 l1的方向向量为u1 =(1,3,2),直线 l2上有两点 A(1,0,1),B(2,-1,2),则两直线的位置关系是_____.
易错点七：异面直线夹角的向量求法
1．如图所示，在三棱锥 P–ABC 中，PA⊥平面 ABC，D 是棱 PB 的中点，已知 PA=BC=2，AB=4，CB⊥AB，
则异面直线 PC，AD 所成角的余弦值为
A 30 B 30 C 30 D 30． ． ． ．
10 5 5 10
2．如图所示，在正方体 ABCD A
1B1C1D1 中，若E 为D1C1的中点，则 AC 与DE 所成角的余弦值为（ ）1 1
A 10
1
． B C 2． ． D 5．
10 3 4 5
3．在三棱锥O ABC 中，已知OA、OB 、OC 两两垂直且相等，点 P 、Q分别是线段 BC 和OA上的动点，
1 1
且满足BP BC ， AQ AO，则PQ和OB 所成角的余弦的取值范围是___________.
2 2
易错点八：线面角的向量求法
1．如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E 为CC1 的中点，则直线 A1B 与平面BDE 的夹角为（ ）
5A． 6 B． C． D 3 ．2 6
2．在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点M 为棱CC1 的中点，则直线B1M 与平面 A1 D1M 所成角的正
弦值是（ ）
21 2 3 4A． B． C． D．
5 5 5 5
3．在正四棱锥 S-ABCD 中，O 为顶点在底面内的投影，P 为侧棱 SD 的中点，且 SO＝OD，则直线 BC 与平
面 PAC 的夹角是________．
易错点九：面面角的向量求法
1．如图，在空间直角坐标系D xyz 中，四棱柱 ABCD A1B1C1D1 为长方体， AA1 AB 2AD，点E ，F 分
别为C1D1， A1B 的中点，则二面角B1 A1B E 的余弦值为（ ）
A 3 B 3 C 3 D 3． ． ． ．
3 2 3 2
2．如图，在空间直角坐标系Dxyz中，四棱柱 ABCD A1B1C1D1 为长方体， AA1 AB 2AD，点E 为C1D1
的中点，则二面角B1 A1B E 的余弦值为（ ）
A 3． B 3． C 3 D 3． ．
3 2 3 2
3．如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AD AA1 1， AB 2 ，点E 在棱 AB 上.若二面角D1 EC D
的大小为 ，则 AE __________．
4第一章 空间向量与立体几何
易错点一：空间向量的加减运算
1．已知正方体 ABCD-A1B1C1D1中,AC1的中点为 O,则下列命题中正确的是( )
A．OA OD 与OB1 OC1 是一对相等向量
B．OB OC 与OA1 OD1 是一对相反向量
C．OA1 OA与OC OC1 是一对相等向量
D．OA OB OC OD与OA1 OB1 OC1 OD1 是一对相反向量
【答案】D
【分析】
根据向量相等，相反向量的概念，逐一分析即可.
【详解】
A. 取 AD, B1C1的中点 M,N，则：OA OD 2OM ,OB1 OC1 2ON ，两者不是一对相等向量；
B. OB OC CB ，OA1 OD1 D1A1 ，两者是一对相等向量；
C. OA1 OA AA1 ，OC OC1 C1C ，两者是一对相反向量；
D.设底面 ABCD, A1B1C1D1的中心分别为 P,Q，则：
OA OB OC OD OP，OA1 OB1 OC1 OD1 OQ ，
两者是一对相反向量；
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了向量相等，相反向量等概念，属于中档题.
2．已知在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， P ，M 为空间任意两点，如果PM PB1 7BA 6AA1 4A1D1 ，那么
点M 必（ ）
A．在平面BAD1内 B．在平面BA1D 内
C．在平面BA1D1内 D．在平面 AB1C1内
【答案】C
【分析】
根据空间向量的加减运算得出PM 11PA1 6PB 4PD1 ，最后由向量共面定理得出答案.
【详解】
因为PM PB1 7BA 6AA1 4A1D1 PB1 BA 6BA1 4A1D1
PB1 B1A1 6BA1 4A1D1 PA1 6(PA1 PB) 4(PD1 PA1) 11PA1 6PB 4PD1 ，所以M ， B ， A1，D1四
点共面
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了空间向量的加减运算以及向量共面定理，属于中档题.
3．已知平行六面体 ABCD-A'B'C'D',则下列四式中:① AB CB AC ;② AC' AB B'C' CC' ;③ AA' CC' ;④
AB BB' BC C'C AC' .
其中正确的是_____.
【答案】①②③
【分析】
在平行六面体中，根据向量的加法减法法则，向量的相等，逐一验证各选项即可.
【详解】
由题意得 AB CB AB BC AC ,①正确; AB B'C' CC' AB BC CC' AC' ,②正确;③显然正确;因为
AB BB' BC AC' ,所以④不正确.
故答案为①②③
【点睛】
本题主要考查了向量加法、减法运算法则，向量平行及向量的相等，属于中档题.
易错点二：空间向量的数量积
1．平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱） ABCD A1B1C1D1 所有棱长都为 1，且
A1AD A1AB 60
, DAB 45 ,则 BD1 （ ）
A． 3 1 B． 2 1 C． 3 2 D． 3 2
【答案】C
【分析】
由BD1 AD AB AA1, 平方，根据向量的数量积运算法则及性质可求出 | BD1 | .
【详解】
如图：
由BD1 AD AB AA1,
2
BD1 (AD AB AA1)
2
2 2 2
AB AD AA1 2AB AD 2AB AA1 2AD AA1
1 1 1 2 1 1 cos 45 2 1 1 cos 60 2 1 1 cos 60
3 2 ,
| BD1 | 3 2 ,
故选：C
【点睛】
本题主要考查了向量的加法法则、向量数量积运算性质、向量模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，
属于中档题．
2．在空间直角坐标系O xyz 中，O(0,0,0), E(2 2,0,0), F (0,2 2,0) ， B 为EF 的中点，C 为空间一点且满足
1
| CO | | CB | 3，若 cos EF , BC ，，则OC OF （ ）6
A．9 B．7 C．5 D．3
【答案】D
【分析】
利用中点坐标公式可得点 B 的坐标，设C(x, y, z)，利用 | CO | | CB | 3， cos EF , BC
1
可解出点C 的纵
6
坐标，最后利用数量积的坐标运算可得OC OF 的值.
【详解】
设C(x, y, z)，B( 2, 2,0)，
OC (x, y, z)，BC (x 2, y 2, z)，EF ( 2 2,2 2,0) ，
cos EF , BC E F B C ( 2 2,2 2,0) (x 2, y 2, z) 1由 EF BC 4 3 6 ，
x y 2整理可得： ，
2
由 | CO | | CB | 3，得 x2 y2 (x 2)2 (y 2)2 ，
化简得 x y 2 ，
x 2 , y 3 2以上方程组联立得 ，
4 4
则OC OF (x, y, z) 0,2 2,0 2 2y 3 .
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了空间直角坐标系下向量数量积的运算,解题关键是掌握向量数量积运算的基础知识,考查了
分析能力和计算能力,属于中档题.
a c b c 3．设 a，b，c 是单位向量，且a b＝0，则 的最小值为__________．
【答案】1 2.
【分析】
a
设 b 与 c
的夹角为 ，根据已知，利用向量的数量积的运算将 a c b c 化为关于 的三角函数表达
式，进而利用三角函数的性质求得最小值.
【详解】
a
·b 0 ＝ ，且 a，b，c 均为单位向量，
2 ∴ a b a b a 2 b 2 2a b 12 12 2 0 2 ，
| c |=1 c ， 2 1 ,
∴ a c b c a b a b c c 2 1 a b c .
设 a b 与 c 的夹角为 θ，
则 a c b c 1 a b c cos 1 2 cos .
a
故 c b c 的最小值为1 2.
故答案为：1 2.
易错点三：用空间基底表示向量
1．在三棱柱 A1B1C1 ABC 中，D 是四边形BB1C1C 的中心，且 AA1 a, AB b, AC c，则 A1D （ ）
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
A． a b c B． a b c C． a b c D． a b c
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
【答案】D
【分析】
利用向量加法的运算，以 a,b,c 为基底表示出 A1D .
【详解】
由于 D 是四边形BB1C1C 的中心
1 A D (A B AC ) 1 A A A B AC 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a b c .2 2 2 2 2
故选:D
【点睛】
用基底表示向量的策略：（1）若基底确定，则充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则以
及数乘向量的运算律表示向量；（2）若没有设定基底，首先选择基底，选择基底时，要尽量使所选的基向
量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求.
2．如图，在三棱锥O ABC 中，点 D是棱 AC 的中点，若OA a，OB b，OC c，则 BD等于（ ）
1 1 1 1
A． a b c B． a b c C． a b c D． a b c2 2 2 2
【答案】A
【分析】
利用空间向量的加法和减法法则可得出BD关于 a 、b 、 c的表达式.
【详解】
1 1 OD OA AD OA AC OA OC OA 1 1 OA OC ，2 2 2 2
1
因此，BD OD OB OA OB
1 1 1
OC a b c .
2 2 2 2
故选：A.
【点睛】
本题考查利用基底表示空间向量，考查计算能力，属于中等题.
3．如图，在空间四边形OABC 中，M ， N 分别为OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG 3GN ，
用向量OA、OB 、OC 表示向量OG ，设OG x OA y OB z OC ，则 x、 y 、 z 的和为______.
7
【答案】
8
【分析】
1 1 1
利用向量的加法公式得出MN OA OB OC ，再由OG OM MG
1 3
OA MN ，得出 x, y, z的值，
2 2 2 2 4
即可得出 x, y, z的和.
【详解】
MN MA AB BN
1 1 1 1 1
OA OB OA (OC OB) OA OB OC
2 2 2 2 2
1 3
OG OM MG OA 1 3 1 1 1 MN OA OA OB OC 1
3 3
OA OB OC2 4 2 4 2 2 2 8 8 8
x 1 3 3 , y , z
8 8 8
x y 7即 z
8
7
故答案为：
8
【点睛】
本题主要考查了用空间基底表示向量，属于中档题.
易错点四：空间向量的坐标运算
2
1．已知点 A(3,3,-5),B(2,-3,1),C 为线段 AB 上一点,且 AC AB ,则点 C 的坐标为( )
3
(7 , 1 , 5A． )
3 7 5 7 3
B． ( , 3,2) C． ( , 1, 1) D． ( , , )
2 2 2 8 3 2 2 2
【答案】C
【分析】
设出 C 点的坐标，根据 A，B，C 三个点的坐标，写出两个向量的坐标，根据两个向量之间的关系，得到关
于 x，y，z 的关系式，在每一个关系式中解出变量的结果，得到要求的点的坐标．
【详解】
设 C 的坐标是（x，y，z）
∵A(3,3,-5),B(2,-3,1)，
∴ AB （ 1， 6，6）, AC （x 3，y 3，z 5）
∵ AC
2
AB，
3
∴（x 3，y 3，z 5
2
） （ 1， 6，6）,
3
7
由此解得 x , y 1, z 1, ，
3
故选 C.
【点睛】
本题是一个向量之间关系的题目，要使的向量相等，只要向量的横标和纵标分别相等；要使的向量平行，
只要满足平行的充要条件，列出关于 x 的一元二次方程，解方程即可．
2．已知P 1, 1, 2 ，P2 3,1,0 、P3 0,1,3 ，则向量P1P2 与P1P3 的夹角是（ ）
A．30 B． 45 C．60 D．90
【答案】D
【分析】
P1P2 P1P
设向量 PP 与 PP 的夹角为 ，计算出向量 PP 与 PP 的坐标，然后由 cos
3
1 2 1 3 1 2 1 3 计算出 cos 的值，P1P2 P1P3
可得出 的值.
【详解】
设向量P1P2 与P1P3 的夹角为 ，
P1P2 3,1,0 1, 1,2 2, 2, 2 ，P1P3 0,1,3 1, 1,2 1,2,1 ，
cos P1P2 PP则
1 3 0，所以，
PP PP 90
，故选 D.
1 2 1 3
【点睛】
本题考查空间向量的坐标运算，考查利用向量的坐标计算向量的夹角，考查计算能力，属于中等题.
3．如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，E，F 分别为 D1C1，B1C1的中点，若以 AB, AD, AA1 为基底，则向
量 AE 的坐标为___，向量 AF 的坐标为___，向量 AC1 的坐标为___.
1
【答案】 ,1,1
1
1, ,1 (1,1,1)
2 2
【分析】
利用向量的运算用 AB, AD, AA1 表示向量 AE ， AF ， AC1 ，即可得出答案.
【详解】
1 AE AD
1
因为 DD D E AB AD AA
1 1 1 ，所以向量 AE 的坐标为2
,1,1 .
2
1
因为 AF AB BB1 B1F AB AD AA1 ，2
1
所以向量 AF 的坐标为 1, ,1 .
2
因为 AC1 AB AD AA1 ，所以向量 AC1 的坐标为 (1,1,1) .
1 1
故答案为： ,1,1 ； 1, ,1
； (1,1,1)
2 2
【点睛】
本题主要考查了空间向量及其运算的坐标表示，属于中档题.
易错点五：空间向量运算的坐标表示
1．在空间直角坐标系中，已知 A 1,2,3 ，B 1,0,4 ，C 3,0,5 ，D 4,1, 3 ，则直线 AD 与 BC 的位置关系
是（ ）
A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法判定
【答案】B
【分析】
根据题意，求得向量 AD 和BC 的坐标，再结合空间向量的数量积的运算，即可得到两直线的位置关系，得
到答案.
【详解】
由题意，点 A 1,2,3 ，B 1,0,4 ，C 3,0,5 ，D 4,1, 3 ，
可得 AD 3, 1, 6 ，BC 2,0,1 ，
又由 AD BC 2 3 1 0 6 1 0，
所以 AD BC ，所以直线 AD 与 BC 垂直.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了空间向量的数量积的运算及其应用，其中解答中熟记空间向量的坐标运算，以及空间向量
的数量积的运算是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
2．已知 A(1,2,3)，B(2,1,2)，C(1,1,2)，O 为坐标原点，点 D 在直线 OC 上运动，则当 DA · DB取最小值时，
点 D 的坐标为( )
4 , 4 , 4 8A． B． ,
4 , 8
3 3 3 3 3 3
4 , 4 , 8 8 , 8 , 4 C． D
3 3 3
．
3 3 3
【答案】C
【分析】
设OD =tOC =（t，t，2t），t≥0，则DA DB =6t2﹣16t+10，由此利用配方法能求出DA DB取最
小值时点 D 的坐标．
【详解】
设OD =tOC =（t，t，2t），t≥0，
∵A（1，2，3）、B（2，1，2）、C（1，1，2），O 为坐标原点，点 D 在直线 OC 上运动，
∴ DA =（1﹣t，2﹣t，3﹣2t），DB =（2﹣t，1﹣t，2﹣2t），
∴ DA DB =（1﹣t）×（2﹣t）+（2﹣t）×（1﹣t）+（3﹣2t）（2﹣2t）
=6t2﹣16t+10
4 26
=6（t﹣ ）2+ ，
3 9
4
当 t= 时，DA 3 DB
取最小值，
4 4 8
此时 D（ ，，）．
3 3 3
故答案为：C．
3．已知 AB ＝(1，5，－2)，BC ＝(3，1，z)，若 AB BC ，BP＝( x 1， y ，－3)，且 BP 平面 ABC，则
实数 x y ________．
25
【答案】
7
【分析】
由题意，可得 AB BC, BP AB, BP BC ，利用向量的数量积的运算公式列出方程组，求得 x, y, z的值，
即可求解.
【详解】
由题意，可得 AB BC, BP AB, BP BC ，
3 5 2z 0
利用向量的数量积的运算公式，可得 x 1 5y 6 0
3 x 1 y 3z 0
x 40解得 ， y
15 40 15 25
， z 4 ，∴ x y .
7 7 7 7 7
【点睛】
本题主要考查了向量的数量积的应用，其中解答中根据题设条件和线面位置关系，利用向量的数量积的运
算公式，列出方程组求得 x, y, z的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
易错点六：空间位置关系的向量证明
1．已知正方体 ABCD A1B1C1D1 ，E 是棱BC 的中点，则在棱CC1 上存在点F ，使得（ ）
A． AF //D1E B． AF D1E
C． AF //平面C1D1E D． AF 平面C1D1E
【答案】B
【分析】
建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为 1，写出点的坐标，用向量法确定线线平行与垂直，由向
量与平行法向量的平行与垂直确定线面的平行与垂直．
【详解】
建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为 1，则 A(1,0,0)，D1(0,0,1)， E(
1 ,1,0) ，设F (0,1, z)
2
（ (0 z 1)，
则D1E (
1 ,1, 1)， AF ( 1,1, z) ，
2
1
因为 2 1 ，所以 AF , D1E 不可能平行，即 AF , D1E 不可能平行，
1 1
AF D E 1 1
又 1 1 z 0， z ，因此 AF , D2 2 1
E 可以垂直，即 AF 与D1E 可能垂直．
C1(0,1,1) ，D1C1 (0,1,0) ，
设平面C1D1E 的一个法向量为 n (x, y, z) ，
n D1C1 y 0
则 1 ，取 x 2，则 n (2,0,1)，
n D1E x y z 0 2
AF 与 n 不可能平行，因此 AF 与平面C1D1E 不可能垂直，
AF n 2 z [ 2, 1]，因此 AF 与 n不可能垂直，因此 AF 与平面C1D1E 不可能平行，
故选：B．
2．在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，棱长为 a，M，N 分别为 A1B 和 AC 上的点，A1M=AN=
2a
，则 MN 与平
3
面 BB1C1C 的位置关系是（ ）
A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能确定
【答案】B
【分析】
建立空间直角坐标系，求得平面 BB1C1C 的法向量和直线 MN 的方向向量，利用两向量垂直，得到线面平行.
【详解】
建立如图所示的空间直角坐标系，由图可知平面 BB1C1C 的法向量n (0,1,0) .
∵A M=AN= 2a
2a a 2a 2a
1 ，∴M a， ， ，N ， ，a ，
3 3 3 3 3
a 2a
∴ MN ，0， .∵3 3 MN n 0，
∴MN∥平面 BB1C1C，
故选：B.
【点睛】
该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有利于空间向量判断线面平行，属于简单题目.
3．若直线 l1的方向向量为u1 =(1,3,2),直线 l2上有两点 A(1,0,1),B(2,-1,2),则两直线的位置关系是_____.
【答案】垂直
【分析】
求出AB，根据u1 · AB =0,可判断两直线的位置关系.
【详解】
因为AB =(1,-1,1), 直线 l1的方向向量为u1 =(1,3,2),
u1 · AB =(1,3,2)·(1,-1,1)=0,所以两直线位置关系为垂直.
【点睛】
本题考查空间向量的数量积，涉及线线垂直，属基础题．
易错点七：异面直线夹角的向量求法
1．如图所示，在三棱锥 P–ABC 中，PA⊥平面 ABC，D 是棱 PB 的中点，已知 PA=BC=2，AB=4，CB⊥AB，
则异面直线 PC，AD 所成角的余弦值为
A 30 30． B． C 30 30． D．
10 5 5 10
【答案】D
【详解】
因为 PA⊥平面 ABC，所以 PA⊥AB，PA⊥BC．过点 A 作 AE∥CB，又 CB⊥AB，则 AP，AB，AE 两两垂直．如
图，以 A 为坐标原点，分别以 AB，AE，AP 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，
则 A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(4，0，0)，C(4， 2，0)．因为 D 为 PB 的中点，所以 D(2，0，1)．
AD CP
故CP =( 4，2，2)， AD =(2，0，1)．所以 cos〈 AD ，CP〉= AD CP = = .
设异面直线 PC，AD 所成的角为 θ，则 cos θ=|cos〈 AD ，CP〉|= .
2．如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D
1 中，若E D
为 1C1的中点，则 A 与1C1 DE 所成角的余弦值为（ ）
A 10
1
． B． C 2 D 5． ．
10 3 4 5
【答案】A
【分析】
以
AB a ， AD b ， AA c 为基底，表示出 AC ，DE ，利用向量的夹角公式求解即可.1 1 1
【详解】
设正方体的棱长为 1，
记 AB a
， AD b ， AA c
，则 | a | | b | | c | 1，
1 a
b b c c a 0．
因为 AC AC AB AD a b ，DE DD1 D1E DD
1 D C c 1 a ，
1 1 1 2 1 1 2
1 1 1 1 1
所以 A1C1 DE (a b) c a a c b c a
2 a b a2 ．
2 2 2 2 2
2
又因为 | AC | 2 ， | DE | 1
1 5
，
1 1 2 2
1
所以 cos AC , DE
A1C1 2 10 1 1 ，
| A1C1 || DE |
10
2 5
2
10
所以 AC 与DE 所成角的余弦值为 ．1 1 10
故选：A
【点睛】
本题主要考查了向量的线性运算，数量积的运算，夹角公式，考查了运算能力，属于中档题.
3．在三棱锥O ABC 中，已知OA、OB 、OC 两两垂直且相等，点 P 、Q分别是线段 BC 和OA上的动点，
1 1
且满足BP BC ， AQ AO，则PQ和OB 所成角的余弦的取值范围是___________.
2 2
3
【答案】 ,1
3
【分析】
以点O为坐标原点，分别为OA、OB 、OC 所在直线分别为 x轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系O xyz ，
设OA OB OC 1，设P 0,b,1 1 b b 1
、Q a,0,0
0
1
a ，利用空间向量法可求得PQ和OB 所成
2 2
角的余弦的取值范围.
【详解】
根据题意，以O为原点，分别为OA、OB 、OC 所在直线分别为 x轴、 y 轴、 z 轴建立如图所示的空间直角
坐标系O xyz ，
不妨设OA OB OC 1，则 A 1,0,0 、B 0,1,0 、C 0,0,1 、
P 0,b,1 1 b b 1 、Q a,0,0
0 a
1
，
2 2
QP a,b,1 b ，OB 0,1,0 ，
cos QP,OB Q P O B b 1
所以 QP OB a2 b2 1 b 2 a 2 2 1 .
b
1 1
b
a
因为 0,1 1， 1,2 ，所以当 a 0，b 1时，
b b
cos QP,OB 取得最大值，且最大值为 1；
1
当 a b 时， cos QP,OB 3取得最小值，且最小值为 ，
2 3
3
所以PQ和OB 所成角的余弦的取值范围是 ,1 .
3
3
故答案为： ,1 .
3
【点睛】
本题考查利用空间向量法求解异面直线所成角余弦值的取值范围，考查计算能力，属于中等题.
易错点八：线面角的向量求法
1．如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E 为CC1 的中点，则直线 A1B 与平面BDE 的夹角为（ ）
A
5
． 6 B． C D3 ． ．
2 6
【答案】B
【分析】
以点D为原点，DA，DC ， DD1 分别为 x轴、 y 轴、 z 轴的正方向建立空间直角坐标系，求出 A1B 以及平面
BDE 的一个法向量，即可根据向量关系求出.
【详解】
以点D为原点，DA，DC ， DD1 分别为 x轴、 y 轴、 z 轴的正方向建立空间直角坐标系，
则D(0,0,0) ， A(1,0,0)，B(1,1,0) E
， 0,1,
1
， A1(1,0,1)，
2
1
∴ DB (1,1,0) ，DE 0,1, ， A1B (0,1, 1)， 2
设平面BDE 的一个法向量 n (x, y, z)，
n DB 0 x y 0
则 ，即 ，
n DE 0 y
1
z 0
2
令 x 1，则 y 1, z 2，
所以平面BDE 的一个法向量 n (1, 1, 2) ，
∵ BA1 (0, 1,1)，
1 2 3 ∴ cos BA1,n , BA1,n [0, ]，2 3 2
∴ BA1,n ，6
∴直线 A1B 与平面BDE 的夹角为 .3
故选：B.
【点睛】
本题考查直线与平面夹角的求法，建立空间坐标系，利用向量法解决是常用方法.
2．在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点M 为棱CC1 的中点，则直线B1M 与平面 A1 D1M 所成角的正
弦值是（ ）
21 2 3 4A． B． C． D．
5 5 5 5
【答案】B
【分析】
通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而求出线面角的正弦值.
【详解】
建立如图所示的空间直角坐标系，
则 A1(1,0,1), D1(0,0,1), M (0,1,
1), B1(1,1,1)2
1
A1D1 ( 1,0,0)，D1M (0,1, )，MB1 (1,0,
1)
2 2
设平面 A1 D1M 的法向量为m (x, y, z)
A 1 D 1 m
=0 x 0
则
1 令 y 1可得 z 2 ，所以m (0,1, 2)
D1M m 0 y z 0 2
设直线B1M 与平面 A1 D1M 所成角为 ，
m MB1
sin 1 2
m MB 51 5 5
2
故选：B
【点睛】
本题考查了空间中的角——线面角的求法，考查了空间想象能力和数学运算技能，属于一般题目.
3．在正四棱锥 S-ABCD 中，O 为顶点在底面内的投影，P 为侧棱 SD 的中点，且 SO＝OD，则直线 BC 与平
面 PAC 的夹角是________．
【答案】30°
【分析】
建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求线面角．
【详解】
解：如图所示，以 O 为坐标原点建立空间直角坐标系 Oxyz.
a a
设 OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，则 A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(－a，0，0)，P(0, , ) ，
2 2
a a
则CA＝(2a，0，0)， AP ＝ ( a, , )，CB＝(a，a，0)．2 2
设平面 PAC 的法向量为 n＝(x，y，z)，
因为 n ⊥ CA， n AP，
2ax 0,
所以 a 所以 x＝0，y＝z，
ax y
a
z 0,
2 2
令 y＝1，则 n＝(0，1，1)是平面 PAC 的一个法向量，
CB n a 1
所以 cos〈CB,n 〉＝ CB n ，2a2 2 2
所以〈CB,n 〉＝60°，
所以直线 BC 与平面 PAC 的夹角为 90°－60°＝30°．
故答案为：30°．
【点睛】
方法点睛：本题考查证明线面垂直，考查求直线与平面所成的角，求线面角常用方法：
（1）定义法：作出直线与平面所成的角并证明，然后在直角三角形中计算可得；
（2）向量法：建立空间直角坐标系，由直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦的绝对值等于直线与平
面所成角的正弦值计算．
易错点九：面面角的向量求法
1．如图，在空间直角坐标系D xyz 中，四棱柱 ABCD A1B1C1D1 为长方体， AA1 AB 2AD，点E ，F 分
别为C1D1， A1B 的中点，则二面角B1 A1B E 的余弦值为（ ）
A 3 B 3． ． C 3． D 3．
3 2 3 2
【答案】C
【分析】
根据四棱柱 ABCD A1B1C1D1 为长方体，令 AA1 AB 2AD 2，可确定 A1、 B 、E 、F 的坐标，再由二面
角B1 A1B E 中，找到平面 A1BE 、平面 A1B1B 的法向量，由法向量夹角与二面角的关系即可求余弦值
【详解】
设 AD 1，则 A1(1,0, 2)，B(1, 2,0)
∵ E ，F 分别为C1D1， A1B 的中点
∴ E(0,1,2)，F (1,1,1)，即 A1E ( 1,1,0)， A1B (0, 2, 2)
A1E m 0 x y 0
设m (x, y, z)是平面 A1BE 的法向量，则 ，即
A1B m 0 2y 2z 0
取 x 1，则 y z 1，即有平面 A1BE 的一个法向量为m (1,1,1)
又DA 平面 A1B1B ，即DA (1,0,0)是平面 A1B1B 的一个法向量
∴ cos m
, DA m D
A 1 3 ，又二面角B
| m || DA | 3 3 1
A1B E 为锐二面角
∴二面角B1 A1B E
3
的余弦值为
3
故选：C
【点睛】
本题考查了利用空间向量求二面角的余弦值，首先由线段间的等量关系设值定点，进而找到对应二面角中
两个面的方向量坐标表示，最后由法向量夹角与二面角的关系求二面角余弦值
2．如图，在空间直角坐标系Dxyz中，四棱柱 ABCD A1B1C1D1 为长方体， AA1 AB 2AD，点E 为C1D1
的中点，则二面角B1 A1B E 的余弦值为（ ）
A 3 3． B． C 3． D 3．
3 2 3 2
【答案】C
【分析】
根据法向量的求法，求得平面 A1BE 和平面 A1B1B 的一个法向量为 m, DA，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】
设 AD 1，则 A1(1,0, 2), B(1, 2,0)，
因为E 为C1D1的中点，所以E(0,1,2)，所以 A1E ( 1,1,0), A1B (0, 2, 2)，
设m (x, y, z)是平面 A1BE 的一个法向量，
A 1 E m
0 x y 0
则 ，即 ，取 x 12y 2z 0 ，则
y z 1，
A1B m 0
所以平面 A1BE 的一个法向量为m (1,1,1) ，
又因为DA 平面 A1B1B ，所以DA (1,0,0)是平面 A1B1B 的一个法向量，
cos m, DA m D A 1 3所以 ，
| m || DA | 3 3
又因为二面角B1 A1B E 为锐二面角，
B A B E 3所以二面角 1 1 的余弦值为 .
3
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了利用空间向量求解二面角的大小，其中解答中正确求解相应平面的法向量，结合向量的夹
角公式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
3．如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AD AA1 1， AB 2 ，点E 在棱 AB 上.若二面角D1 EC D 的
大小为 ，则 AE __________．
4
【答案】 2 3
【解析】
分析：以 D 为原点，建立空间直角坐标系，设 AE (0 2) ，再求出平面AECD和平面D1EC的法向量，
利用法向量所成的角表示出二面角的平面角，解方程即可得出答案.
详解：以 D 为原点，以 DA， DC ， DD 为 x, y, z1 轴的正方向，建立空间直角坐标系，设 AE (0 2) ，
平面D1EC的法向量为m (x, y, z)
由题可知，D1(0,0,1)，C(0, 2,0) ，E(1, ,0)，D1C (0, 2, 1)，CE (1, 2,0)
平面AECD的一个法向量为 z 轴， 可取平面AECD
的法向量为 n (0,0,1)
m (x, y, z)为平面D1EC的法向量，
m D 1 C 2y z 0 令 y 1
，则m (2 ,1, 2)
m CE x ( 2)y 0
二面角D1 EC D
的大小为
4
m n
cos 2 2
4 ，即
m n 2 (2 )2 1 22
解得 2 3 ， 2 3 （舍去）
AE 2 3
故答案为 2 3
点睛：空间向量法求二面角
（1）如图 1，AB、CD 是二面角 α－l－β 的两个面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小 θ＝〈 AB ，
CD〉．
(2)如图 2、3， n1,n2 分别是二面角 α－l－β 的两个半平面 α，β 的法向量，则二面角的大小 n1,n2 (或
n1,n2 )．
