第一章 空间向量与立体几何
【考点 1】 ：空间向量的概念
例题 1．在平行六面体 ABCD A B C D 中，与向量 AA 相等（不含 AA ）的向量有（ ）
A．0 个 B．3 个 C．6 个 D．9 个
【变式 1】在正方体 ABCD A B C D 中， A B, B D 等于（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【变式 2】如图，在平行六面体 ABCD–A′B′C′D′的棱中，与向量 AA '模相等的向量有
A．0 个 B．3 个 C．7 个 D．9 个
【变式 3】下列命题中，假命题是（ ）
A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C．只有零向量的模等于 0
D．共线的单位向量都相等
【变式 4】若直线 l 过点 A(-1，3，4)，B(1，2，1)，则直线 l 的一个方向向量可以是（ ）
1 1 3 1 1 3 1 3 2 1 A． ，， B． ， ， C． 1，， D2 2 ．
，，1
2 2 2 2 3 3
【考点 2】 ：空间向量的运算
例题 1．在棱长为1的正方体 ABCD A B C D
1 1 1 1 中，设 AB a ， AD b ， AA c
a 1 ，则 (b c
)的值为（ ）
A．1 B． 0 C． 1 D． 2
【变式 1】已知棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 的上底面 A1B1C1D1的中心为O1，则 AO1 AC 的值为（ ）
A． 1 B．0 C．1 D．2
【变式 2】三棱锥 A BCD 中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则 AB CD等于( )
A．－2 B．2 C． 2 3 D． 2 3
【变式 3】已知长方体 ABCD A1B1C1D1 ，下列向量的数量积一定不为 0 的是（ ）
A． AB AD1 B． AD1 B1C C．BD1 BC D． BD1 AC
【变式 4】已知 a 3,2,5 ,b 1, x, 1 ,且 a b 2 ,则 x 的值是 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点 3】 ：利用空间向量证明位置关系
例题 1．点 A(0， 2，3) 在空间直角坐标系中的位置是（ ）．
A．在 x轴上
B．在 xOy 平面内
C．在 yOz 平面内
D．在 xOz平面内
【变式 1】在空间直角坐标系 O xyz 中，下列说法正确的是( )
A．向量 AB 的坐标与点 B 的坐标相同
B．向量 AB 的坐标与点 A 的坐标相同
C．向量 AB 与向量OB 的坐标相同
D．向量 AB 与向量OB OA的坐标相同
【变式 2】在空间直角坐标系中，P（2，3，4）、Q（ 2， 3， 4）两点的位置关系是
A．关于 x轴对称 B．关于 yOz 平面对称
C．关于坐标原点对称 D．以上都不对
【变式 3】点 A(2，0，3)在空间直角坐标系中的
A．y 轴上 B．xoy 平面上 C．xoz 平面上 D．yoz 平面上
【变式 4】空间直角坐标系中，已知 A 1, 2,3 ，B 3,2, 5 ，则线段 AB 的中点为
A． 1, 2,4 B． 2,0,1 C． 2,0, 2 D． 2,0, 1
【考点 4】 ：利用空间向量计算距离
例题 1．在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E 为 A1D1的中点，则点C1到直线CE的距离为（ ）
1
A 3 5 6． B． C． D．
3 3 3 3
【变式 1】在棱长为 a 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，M 是 AA1的中点，则点 A1到平面MBD的距离是（ ）
A 6． a B 3 a C 3 6． ． a D． a
6 6 4 3
【变式 2】在空间直角坐标系中，定义：平面 的一般方程为 Ax By Cz D 0（ A, B,C, D R ，且 A，
Ax By Cz D
B，C 0 0 0不同时为零），点P x0 , y0 , z0 到平面 的距离 d 2 2 2 ，则在底面边长与高都为 2 的正A B C
四棱锥P ABCD 中，底面中心 O 到侧面PAB的距离 d 等于（ ）
A 5 2 5． B． C．2 D．5
5 5
【变式 3】若三棱锥 P-ABC 的三条侧棱两两垂直，且满足 PA=PB=PC=1，则点 P 到平面 ABC 的距离是（ ）
A 6 B 6 C 3 3． ． ． D．
6 3 6 3
【变式 4】已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 2，点 E 是 A1B1的中点，则点 A 到直线 BE 的距离是( )
A 6 5 B 4 5． ．
5 5
C 2 5 D 5． ．
5 5
【考点 5】 ：利用空间向量求空间角
例题 1．在棱长为 a 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，M 是 AA1 的中点，则点 A1 到平面 MBD 的距离是（ ）
A． a B． a C． a D．
【变式 1】已知在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E 是侧棱 BB1的中点，则直线 AE 与平面 A1ED1
所成角的大小为（ ）
A．60° B．90°
C．45° D．以上都不对
【变式 2】如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1中，CA=CC1=2CB，则直线 BC1与直线 AB1所成角的余弦值为（ ）
A 5． B 5．
5 3
C 2 5
3
． D．
5 5
【变式 3】如图，长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AA1 AB 4， AD 2，E 、F 、G 分别是DD1、 AB 、CC1
的中点，则异面直线 A1E 与GF 所成角的余弦值是（ ）
A．0 B 10． C 2 D 15． ．
5 2 5
【变式 4】在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，异面直线 AC 与B1D所成的角为（ ）
A． 6 B． 4
C． D．
3 2第一章 空间向量与立体几何
【考点 1】 ：空间向量的概念
例题 1．在平行六面体 ABCD A B C D 中，与向量 AA 相等（不含 AA ）的向量有（ ）
A．0 个 B．3 个 C．6 个 D．9 个
【答案】B
【分析】
根据相等向量的定义判断.
【详解】
由图形可知，BB CC DD AA .
故选：B
【变式 1】在正方体 ABCD A B C D 中， A B, B D 等于（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【答案】D
【分析】
连接 A D, BD ， A B, B D 是 DBA 的补角，由 DBA 60 即可求解.
【详解】
如图所示，
连接 A D, BD ，则B D BD ，
∴ A B, B D 是 DBA 的补角，
∵ A D A B BD，
∴ DBA 60 ，
∴ A B, B D 120 ，
故选：D.
【点睛】
本题考查了空间向量的夹角，需掌握向量夹角的定义，属于基础题.
【变式 2】如图，在平行六面体 ABCD–A′B′C′D′的棱中，与向量 AA '模相等的向量有
A．0 个 B．3 个 C．7 个 D．9 个
【答案】C
【分析】
根据向量模的概念，结合平行六面体的几何性质，写出与 AA '模相等的向量，由此求得正确选项.
【详解】
向量模相等即长度相等，根据平行六面体的性质可知，与向量 AA '模相等的向量是：
A' A, BB ' , B 'B,CC ' ,C 'C, DD ' , D 'D ，共 7 个.故选 C.
【点睛】
本小题主要考查空间向量模相等的概念，考查平行六面体的几何性质，属于基础题.
【变式 3】下列命题中，假命题是（ ）
A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C．只有零向量的模等于 0
D．共线的单位向量都相等
【答案】D
【分析】
根据向量的定义即可判断出答案.
【详解】
A.向量是有向线段，不能比较大小.真命题.
B.两向量相等：方向相同，模长相等.起点相同，则终点也相同.真命题.
C.零向量：模长为 0 的向量.真命题.
D.共线的单位向量是相等向量或相反向量. 假命题.
故选：D.
【点睛】
本题考查向量的定义，属于基础题.向量：有向线段.既有大小也有方向.
【变式 4】若直线 l 过点 A(-1，3，4)，B(1，2，1)，则直线 l 的一个方向向量可以是（ ）
1 3
A． 1，， B． 1
1 3 1 1 3 2 1 ， ， C． ，， D ，，1
2 2 2 2 2 2
．
3 3
【答案】D
【分析】
求出向量 AB (2, 1, 3)，再选出与其共线的向量即可；
【详解】
AB (2, 1, 3) 2 1 3 , ,1
，
3 3
故选：D.
【点睛】
本题考查直线方向向量，考查对概念的理解，属于基础题.
【考点 2】 ：空间向量的运算
例题 1．在棱长为1 的正方体 ABCD A 1B1C1D1 中，设 AB a ， AD b ， AA1 c ，则 a (b c)的值为（ ）
A．1 B． 0 C． 1 D． 2
【答案】B
【分析】
直接利用向量数量积的运算律求解即可.
【详解】
a (b c ) a b a c 0 ．
故选 B．
【变式 1】已知棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 的上底面 A1B1C1D1的中心为O1，则 AO1 AC 的值为（ ）
A． 1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】
根据空间向量的线性运算，将 AO1 和 AC 用 AA1 、 AB 、 AD 表示，再根据空间向量的数量积运算可得解.
【详解】
1 1 AO1 AA1 A1O1 AA1 (A1B1 A1D1) AA1 (AB AD) ， ，2 2 AC AB AD
1 1 2则 AO1 AC AA1 AB AD AB AD AA1 AB AA1 AD AB AD 2 2
1 2 2AB 2AB AD AD2
1 | AB |2 | AD |2 1.2
故选：C．
【点睛】
本题考查了空间向量的线性运算，考查了空间向量的数量积，属于基础题.
【变式 2】三棱锥 A BCD 中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则 AB CD等于( )
A．－2 B．2 C． 2 3 D． 2 3
【答案】A
【详解】
试题分析： CD AD AC AB·CD AB· AD AC AB·AD AB·AC 0 2 2 cos 60 2
考点：平面向量数量积的运算
【变式 3】已知长方体 ABCD A1B1C1D1 ，下列向量的数量积一定不为 0 的是（ ）
A． AB AD1 B． AD1 B1C C．BD1 BC D． BD1 AC
【答案】C
【分析】
利用正方体几何性质计算出数量积为零的选项，根据长方体的性质证明数量积一定不为零的选项.
【详解】
当长方体 ABCD A1B1C1D1 为正方体时，根据正方体的性质可知：
AB AD1, AD1 B1C, BD1 AC ，
所以 AB AD1 0、 AD1 B1C 0、BD1 AC 0 .
根据长方体的性质可知：BC CD1，所以BD1与BC 不垂直，即BD1 BC 一定不为 0 .
故选：C
【变式 4】已知 a 3,2,5 ,b 1, x, 1 ,且 a b 2 ,则 x 的值是 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】
由数量积的坐标运算代入求解即可.
【详解】
因为 a 3,2,5 ,b 1, x, 1 ,
所以 a b 3 2x 5 2 ,解得 x 5 .
故选 C.
【点睛】
本题主要考查了数量积的坐标运算，属于基础题.
【考点 3】 ：利用空间向量证明位置关系
例题 1．点 A(0， 2，3) 在空间直角坐标系中的位置是（ ）．
A．在 x轴上
B．在 xOy 平面内
C．在 yOz 平面内
D．在 xOz平面内
【答案】C
【分析】
根据点A 的横坐标为 0 判断.
【详解】
∵点A 的横坐标为 0 ，
∴点 A(0， 2，3) 在 yOz 平面内，
故选：C．
【变式 1】在空间直角坐标系 O xyz 中，下列说法正确的是( )
A．向量 AB 的坐标与点 B 的坐标相同
B．向量 AB 的坐标与点 A 的坐标相同
C．向量 AB 与向量OB 的坐标相同
D．向量 AB 与向量OB OA的坐标相同
【答案】D
【分析】
由向量的坐标表示定义分析可知 A，B，C 都不对，由向量的减法运算可知 D 正确.
【详解】
因为点 A 不一定为坐标原点，所以 A，B，C 都不对；
由于 AB OB OA ,故 D 正确．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了向量的坐标表示及向量的减法运算，属于基础题.
【变式 2】在空间直角坐标系中，P（2，3，4）、Q（ 2， 3， 4）两点的位置关系是
A．关于 x轴对称 B．关于 yOz 平面对称
C．关于坐标原点对称 D．以上都不对
【答案】C
【分析】
由空间点坐标的关系即可判断得解.
【详解】
∵P（2，3，4）、Q（ 2， 3， 4）两点的横坐标、纵坐标、竖坐标均互为相反数，
∴两点关于坐标原点对称．故选 C．
【点睛】
本题主要考查了利用坐标判断两点的位置关系，属于基础题.
【变式 3】点 A(2，0，3)在空间直角坐标系中的
A．y 轴上 B．xoy 平面上 C．xoz 平面上 D．yoz 平面上
【答案】C
【分析】
纵坐标为 0，则点 A(2，0，3)在空间直角坐标系中的 xoz 平面上.
故选：C.
【变式 4】空间直角坐标系中，已知 A 1, 2,3 ，B 3,2, 5 ，则线段 AB 的中点为
A． 1, 2,4 B． 2,0,1 C． 2,0, 2 D． 2,0, 1
【答案】D
【详解】
根据中点坐标公式，中点坐标为 2,0, 1 .故选D .
【考点 4】 ：利用空间向量计算距离
例题 1．在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E 为 A1D1的中点，则点C1到直线CE的距离为（ ）
1
A． B 3． C 5． D 6．
3 3 3 3
【答案】C
【分析】
如图建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解即可
【详解】
建立空间直角坐标系，如图，
则C(1,1,0) ，C1(1,1,1) E
0, 1 ,1 EC 1 ， 2 ，所以
1, , 1 ，CC1 (0,0,1)，
2
CC 1 EC 1 2
所以CC1在EC 上的投影为 | EC | 1 1
3 ，
1
4
2 CC EC 4 5
所以点C1到直线 EC 的距离 d | CC 2 11 | 1 .
| EC | 9 3
故选：C.
【点睛】
此题考查空间中点到线的距离，考查空间向量的应用，属于基础题
【变式 1】在棱长为 a 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，M 是 AA1的中点，则点 A1到平面MBD的距离是（ ）
A 6． a B 3 a C 3． ． a D 6． a
6 6 4 3
【答案】A
【分析】
以D 为空间直角坐标原点建立空间直角坐标系，通过点面距离公式，计算点 A1到平面MBD的距离.
【详解】
以D为空间直角坐标原点，DA, DC, DD 分别为 x, y, z1 轴建立空间直角坐标系.由于M 是 AA1中点，故
1 M a,0, a ，且 A1 a,0,a , B a,a,0 , A1M
0,0,
1
a ，设2 2 n x, y, z 是平面BDM 的法向量，故
n DM
1
ax az 0
2 ，故可设 n 1, 1, 2 ，故 A1到平面BDM 的距离 n DB ax ay 0
1
A1M n
0,0, a 1, 1, 2
d 2 6 a
.故选 A.
n 6 6
【点睛】
本小题主要考查利用空间向量计算点到面的距离.计算过程中要先求得平面的法向量.属于基础题.
【变式 2】在空间直角坐标系中，定义：平面 的一般方程为 Ax By Cz D 0（ A, B,C, D R ，且 A，
Ax By Cz D
B，C 不同时为零），点P x , y , z 0 0 00 0 0 到平面 的距离 d 2
A2 B2 2
，则在底面边长与高都为 的正
C
四棱锥P ABCD 中，底面中心 O 到侧面PAB的距离 d 等于（ ）
A 5． B 2 5． C．2 D．5
5 5
【答案】B
【分析】
欲求底面中心O到侧面的距离，先利用建立空间直角坐标系求出点 A，B，P 的坐标，及侧面的方程，最后
利用所给公式计算即可．
【详解】
以底面中心O为原点，建立空间直角坐标系Oxyz ，如图所示：
则O(0,0,0), A(1,1,0), B( 1,1,0), P(0,0,2) ，
设平面 PAB的方程为 Ax By Cz D 0
1
，将点 A，B，P 的坐标代入计算得 A 0 ， B D ，C D ，
2
1
所以方程可化为 Dy Dz D 0，即2 y z 2 0，
2
d | 2 0 0 2 | 2 5所以 ．
22 12 5
故选：B.
【点睛】
本小题主要考查点、线、面间的距离计算、空间直角坐标系的应用、空间直角坐标系中点到平面的距离等
基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．
【变式 3】若三棱锥 P-ABC 的三条侧棱两两垂直，且满足 PA=PB=PC=1，则点 P 到平面 ABC 的距离是（ ）
A 6 6 3 3． B． C． D．
6 3 6 3
【答案】D
【分析】
先建立空间直角坐标系，求出平面 ABC 的法向量，再利用点到平面的距离公式求解即可.
【详解】
解：分别以 PA，PB，PC 所在的直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则 A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1). AB 1,1,0 , AC 1,0,1 .
n AB 0 x y 0
设平面 ABC 的一个法向量为 n x, y, z ，由 得： .
n AC 0 x z 0
|PA n| 3
令 x 1，则 y z 1.则平面 ABC 的一个法向量为 n 1,1,1 .所以点 P 到平面 ABC 的距离 d .
|n| 3
故选：D .
【点睛】
本题考查空间中点到平面的距离，关键考查运算能力，属于基础题.
【变式 4】已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 2，点 E 是 A1B1的中点，则点 A 到直线 BE 的距离是( )
A 6 5 4 5． B．
5 5
C 2 5． D 5．
5 5
【答案】B
【分析】
建立空间直角坐标系，先求BA, BE 夹角的余弦，再求点 A 到直线 BE 的距离.
【详解】
建立如图所示空间直角坐标系，则BA ＝(0,2,0)，BE＝(0,1,2)．
BA BE
∴cosθ 2 5＝ ＝ .∴sinθ＝ 1 cos2
2
5 .
BA BE 2 5 5 5
2 4
故点 A 到直线 BE 的距离 d＝| AB |sinθ＝2× 5 5 .5 5
故答案为 B
【点睛】
本题主要考查点到线距离的向量求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.
【考点 5】 ：利用空间向量求空间角
例题 1．在棱长为 a 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，M 是 AA1 的中点，则点 A1 到平面 MBD 的距离是（ ）
A． a B． a C． a D．
【答案】D
【详解】
试题分析：利用等体积法，VA1 MBD VB A1MD ．求出 MDB 的面积，然后求距离即可．
解：设 A1到面 MBD 的距离为 d，由等积变形可得．VA1 MBD VB A1MD ．
2
1 3 1 1 5 2 2 d 6即： a d 2a a a ，即易求 a ．
12 3 2 4 4 6
故选 D
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．
【变式 1】已知在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E 是侧棱 BB1的中点，则直线 AE 与平面 A1ED1
所成角的大小为（ ）
A．60° B．90°
C．45° D．以上都不对
【答案】B
【分析】
根据题意画出图形建立合适的空间直角坐标系，根据线面角的向量求法进行求解即可.
【详解】
以点 D 为原点，分别以 DA，DC，DD1所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意知，A1（1，0，2），E（1，1，1），D1（0，0，2），A（1，0，0），
所以 A1E 0,1, 1 , D1E 1,1, 1 , EA 0, 1, 1 .
设平面 A1ED1的一个法向量为 n x, y, z ，
n
A1E 0 y z 0
则 ,得 ，
n D1E 0 x y z 0
令 z=1，得 n 0,1,1 ，
设直线与平面 A1ED1所成角为 ，
n EA 1 1
所以 sin cos n, EA 1，
n EA 2 2
又因为0 180 ，
所以直线 AE 与平面 A1ED1所成的角为 90°.
故选:B
【变式 2】如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1中，CA=CC1=2CB，则直线 BC1与直线 AB1所成角的余弦值为（ ）
A 5 5． B．
5 3
3
C 2 5． D．
5 5
【答案】A
【分析】
根据题意不妨设 CA=CC1=2CB=2，写出 AB1 2, 2,1 ,C1B 0, 2,1 ，根据异面直线夹角的向量公式代入计
算即可.
【详解】
不妨设 CA=CC1=2CB=2，所以B 0,0,1 ,C1 0,2,0 , A 2,0,0 , B1 0,2,1 ,
则 AB1 2,2,1 ,C1B 0, 2,1 ，
AB1 C1B 4 1
所以 cos AB1,C1B
5
.
AB1 C1B 3 5 5
所以直线 BC1与直线 AB
5
1所成角的余弦值为 .5
故选:A
【变式 3】如图，长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AA1 AB 4， AD 2，E 、F 、G 分别是DD1、 AB 、CC1
的中点，则异面直线 A1E 与GF 所成角的余弦值是（ ）
A 0 B 10． ． C 2 15． D．
5 2 5
【答案】A
【分析】
建立空间直角坐标系，表示 A1E,GF ，然后利用空间向量的夹角公式计算即可.
【详解】
如图
A1 2,0,4 ，E 0,0,2 , F 2,2,0 ,G 0,4,2
所以 A1E 2,0, 2 ,GF 2, 2, 2
A E A 1 E GF所以异面直线 1 与GF 所成角的余弦值 0A1E GF
故选：A
【点睛】
本题考查异面直线所成角的余弦值，利用向量的方法，便于计算，将几何问题代数化，属基础题.
【变式 4】在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，异面直线 AC 与B1D所成的角为（ ）
A
． 6 B． 4
C． D．
3 2
【答案】D
【分析】
以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线 AC
与B1D所成的角.
【详解】
解：以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系，
设正方体 ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为 1，
则 A（1，0，0），C（0，1，0），D（0，0，0），B1（1，1，1），
AC ＝（﹣1，1，0），B1D＝（﹣1，﹣1，﹣1），
设异面直线 AC 与 B1D 所成的角为 θ，
| A C B D |则 cosθ＝ 1 ＝0，
| AC | | B1D |
∴θ＝ .
2
∴异面直线 AC 与 B1D 所成的角为 .2
故选：D.
【点睛】
本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解
能力，是中档题.
