5.2.3++简单复合函数的导数+课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册(共15张PPT)

(共15张PPT)
5.2.3简单复合函数的导数
5.2 导数的运算
思 考
如何求函数的导数呢？
=
的导数呢？
提示：设 ，从而可以看作是两个函数“复合”得到的，.
复合函数
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)).
新 知
例 求函数.
解：令, .
解： 令,得
以表示对的导数，表示对的导数，
一方面， =
=2
2
另一方面 = ， =2
可以发现
例1 求函数.
复合函数求导法则：
一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为 即y对x的导数等于y对u的导数与u对x 的导数的乘积．
注：（1）函数y＝f(u)和u＝g(x)通常为基本初等函数；
（2）求导时分清是对哪个变量求导；
（3）计算结果尽量简洁.
新 知
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
√
√
×
×
判 断
复合函数求导步骤：
1.分层——选择中间变量，写出构成它的内、外层函数
2.求导——分别求内、外层函数对应变量的导数
3.相乘——把上述求导的结果相乘
4.代回——把中间变量回代
（1）函数 可以看作函数 的复合函数.根据复合函数的求导法则，有
解：
（2）函数 可以看作函数 的复合函数.根据复合函数的求导法则，有
（3）函数 可以看作函数 和 的复合函数.根据复合函数的求导法则，有
例2 求下列函数的导数：
（1） （2） （3）
例3 某个弹簧振子在振动过程中的位移y（单位：mm）关于时间t（单位：s）的函数满足关系式为 . 求函数y在t=3s 时的导数，并解释它的实际意义.
函数可以看作函数 和 的复合函数.根据复合函数的求导法则，有
当 t=3 时，
它表示当t=3 s 时，弹簧振子振动的瞬时速度为0 mm/s .
解：
（3） （4）
（5） （6）
练习 求导
（1） （2）
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(1)
解：
练习
1. 已知函数 ，若，则__________ .
2.设函数 f(x) 的导函数是 ，若 ，则 ______ .
3. 已知函数 为可导的偶函数，（c为常数），
若，则______ .
1
-2
-
总 结
分层——选择中间变量，写出构成它的内、外层函数
求导——分别求内、外层函数对应变量的导数
相乘——把上述求导的结果相乘
代回——把中间变量回代
复合函数求导
复合函数
对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)). 且 .
课后提升
1．下列求导运算正确的是（ ）A． B． C． D．
2．函数在处的切线方程为（ ）A． B． C． D．
3．已知函数 ,则（ ）
A． B． C． D．
4．若曲线在点(1,0)处的切线与直线 平行，则（ ）A．0 B．1 C．2 D．3
B
C
A
D
5．已知函数 .
(1)求的导数.
(2)求曲线在点（1，0）处的切线方程，并求出切线与坐标轴所围三角形的面积．
课后提升
解（1）因为 ,所以 ,
当时，；当时，.
故切线与坐标轴所围三角形的面积 .
（2）由（1）得， ,则所求切线的斜率为1，故所求切线方程为,
【分析】（1）利用导数的除法运算法则进行求解即可；
（2）先利用导数求出切线的斜率，然后用点斜式即可求解，求得截距，利用三角形面积公式可得答案.