平面向量运算限时练答案
一、选择题
1.下列命题中正确的是( )
A.||＝|| ＝ B.||>|| >
C.＝ ∥ D.单位向量都相等
答案 C
解析 由a＝b知a与b的长度相等，方向相同，故a∥b.
2.下列结论中，正确的是( )
A.2 022 cm长的有向线段不可能表示单位向量
B.若O是直线l上的一点，单位长度已选定，则l上有且仅有两个点A，B，使得，是单位向量
C.方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量不可能是平行向量
D.一人从A点向东走500米到达B点，则向量不能表示这个人从A点到B点的位移
答案 B
解析 一个单位长度取作2 022 cm时，2 022 cm长的有向线段就表示单位向量，故A错误，B正确；C中两向量为平行向量，故C错误；D中表示从点A到点B的位移，故D错误.
3.在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则( )
A.与共线 B.与共线
C.与相等 D.与相等
4.下列等式错误的是( )
A.＋＝＋＝
B.＋＋＝
C.＋＝
D.＋＝＋＋
答案 B
解析 ＋＋＝＋＝2≠0，故B错.
5.如图所示，在四边形ABCD中，＝＋，则四边形ABCD为( )
A.矩形 B.正方形
C.平行四边形 D.菱形
答案 C
解析 ∵＝＋，
∴＝＋＝＋＋＝＋＋＝，即＝.∴DC＝AB且DC∥AB，
∴四边形ABCD为平行四边形.
6.已知＝，＝，||＝5，||＝12，∠AOB＝90°，则|－|＝( )
A.7 B.17
C.13 D.8
答案 C
解析 以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，
由∠AOB＝90°，知四边形OACB为矩形，
∴|a－b|＝||＝＝13.
7设非零向量，，满足||＝||＝||，＋＝，则与的夹角θ为( )
A.150° B.120°
C.60° D.30°
答案 B
解析 由|a|＝|b|＝|c|且a＋b＝c，得|a＋b|＝|b|，
平方得|a|2＋|b|2＋2a·b＝|b|2，∴2a·b＝－|a|2，
则2|a||b|cos θ＝－|a|2，∴cos θ＝－.
又0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.
8.已知非零向量，满足⊥，且＋2与－2的夹角为120°，则等于( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 ∵a⊥b，∴a·b＝0，
|a＋2b|＝＝，
|a－2b|＝＝，
∴(a＋2b)·(a－2b)＝a2－4b2
＝·cos 120°，
化简得a2－2b2＝0，∴＝.
9.(多选题)给出下列说法正确的是( )
A.若＝，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点
B.在平行四边形ABCD中，一定有＝
C.若＝，＝，则＝
D.＝的充要条件是||＝||且∥
答案 BC
解析 ＝，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故A不正确.在平行四边形ABCD中，||＝||，与平行且方向相同，所以＝，故B正确.若a＝b，则|a|＝|b|，且a与b方向相同；若b＝c，则|b|＝|c|，且b与c方向相同，则a与c长度相等且方向相同，所以a＝c，故C正确.对于D，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故D不正确.
10.(多选题)已知△ABC是正三角形，则在下列结论中，正确的为( )
A.|＋|＝|＋|
B.|＋|＝|＋|
C.|＋|＝|＋|
D.|＋＋|＝|＋＋|
答案 ACD
解析 ＋＝，＋＝，而||＝||，故A正确；|＋|＝||≠|＋|，故B不正确；画图(图略)可知C正确；|＋＋|＝2||，|＋＋|＝2||，故D正确.
11．有下列说法，其中错误的说法为（ ）.
A．、为实数，若，则与共线 B．若、，则
C．两个非零向量、，若，则与垂直
D．若，、分别表示、的面积，则
解：对于A选项，当时，与可以为任意向量，满足，但与不一定共线，故A错误，
对于B选项，如果、都是非零向量，，满足已知条件，但是结论不成立，故B错，
对于C选项，若，所以，即，即，所以，∴与垂直，故C正确，
若，设，，可得为的重心，
设，，，
则，，，由，
可得，故D正确；
故选：AB.
12．已知 是两个单位向量，时，的最小值为则下列结论正确的是（ ）
A． 的夹角是 B． 的夹角是 C． D．
【分析】根据条件知，的最小值为，结合二次函数与方程的特点可求出的夹角为或，从而求出的值．
【详解】，是两个单位向量，且的最小值为，
的最小值为，
的最小值为，
即在上有唯一一个解，
所以，所以
与的夹角为或，所以正确，
或3，
或，所以正确，
故选：．
13.在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________.
答案 2
解析 ∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，∴＋＝＝2，∴λ＝2.
14.若||＝1，||＝2，与的夹角为60°，若(3＋5)⊥(m－)，则m的值为________.
答案
解析 由题意知(3a＋5b)·(ma－b)＝3ma2＋(5m－3)a·b－5b2＝0，即3m＋(5m－3)×2×cos 60°－5×4＝0，解得m＝.
15.已知||＝2，||＝10，与的夹角为120°，与同向的单位向量为，则向量在向量方向上的投影向量是________.
答案 －5e
解析 向量b在向量a方向上的投影向量为|b|cos θ e＝10×cos 120°e＝－5e.
16..在△ABC中，＝2，＝2，若＝m＋n，则m＋n＝________.
答案
解析 由题意，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋×＝＋，又，不共线，所以故m＋n＝.
17..计算：
(1)6(3－2)＋9(－2＋)；
(2)；
(3)6(－＋)－4(－2＋)－2(－2＋).
解 (1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.
(2)原式＝－
＝a＋b－a－b＝0.
(3)原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c
＝(6a－4a＋4a)＋(8b－6b)＋(6c－4c－2c)
＝6a＋2b.
18.如图所示，在的边、上分别有点、，且，，与的交点是，直线与交于点.设，.
（1）用、表示；
（2）设，求的值.
【详解】解：(1)由、、三点共线可设，
∵，，∴，
∵、、三点共线，∴，即，
∴；
(2)由(1)知，
∵、、三点共线，
∴，即.
19.已知||＝4，||＝3，(2－3)·(2＋)＝61.
(1)求|＋|；
(2)求向量在向量＋方向上的投影向量的模.
解 (1)(2a－3b)·(2a＋b)＝4a2－3b2－4a·b
＝4×16－3×9－4a·b＝61，
解得a·b＝－6，
∴|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝16＋9－12＝13，
∴|a＋b|＝.
(2)设a与a＋b的夹角为θ，
∵a·(a＋b)＝a2＋a·b＝10，
∴cos θ＝＝，则a在a＋b方向上的投影向量的模为||a|cos θ|＝4×＝.
20.【详解】（1）设与的夹角为θ
由已知得，即，因此，
得，于是，故 θ=，即与的夹角为；
由．
21.)证明 因为|a|＝|b|＝|c|＝1，且a，b，c之间夹角均为120°，
所以(a－b)·c＝a·c－b·c＝|a||c|cos 120°－|b||c|·cos 120°＝0，
所以(a－b)⊥c.
(2)解 因为|ka＋b＋c|>1，所以(ka＋b＋c)·(ka＋b＋c)>1，
即k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c>1.
因为a·b＝a·c＝b·c＝cos 120°＝－，所以k2－2k>0，解得k<0或k>2，
即k的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞).
22.（1）在直角三角形中，．
∴，，
，
∵，∴．
（2）
令，得或（舍）.
∴存在实数，使得．高中数学必修二向量运算限时练
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1.下列命题中正确的是( )
A.||＝|| ＝ B.||>|| >
C.＝ ∥ D.单位向量都相等
2.下列结论中，正确的是( )
A.2 022 cm长的有向线段不可能表示单位向量
B.若O是直线l上的一点，单位长度已选定，则l上有且仅有两个点A，B，使得，是单位向量
C.方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量不可能是平行向量
D.一人从A点向东走500米到达B点，则向量不能表示这个人从A点到B点的位移
3.在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则( )
A.与共线 B.与共线
C.与相等 D.与相等
4.下列等式错误的是( )
A.＋＝＋＝ B.＋＋＝ C.＋＝
D.＋＝＋＋
5.如图所示，在四边形ABCD中，＝＋，则四边形ABCD为( )
A.矩形 B.正方形
C.平行四边形 D.菱形
6.已知＝，＝，||＝5，||＝12，∠AOB＝90°，则|－|＝( )
A.7 B.17
C.13 D.8
7设非零向量，，满足||＝||＝||，＋＝，则与的夹角θ为( )
A.150° B.120°
C.60° D.30°
8.已知非零向量，满足⊥，且＋2与－2的夹角为120°，则等于( )
A. B. C. D.
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9.给出下列说法正确的是( )
A.若＝，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点
B.在平行四边形ABCD中，一定有＝
C.若＝，＝，则＝
D.＝的充要条件是||＝||且∥
10.已知△ABC是正三角形，则在下列结论中，正确的为( )
A.|＋|＝|＋| B.|＋|＝|＋| C.|＋|＝|＋|
D.|＋＋|＝|＋＋|
11．有下列说法，其中错误的说法为（ ）.
A．、为实数，若，则与共线 B．若、，则
C．两个非零向量、，若，则与垂直
D．若，、分别表示、的面积，则
12．已知 是两个单位向量，时，的最小值为则下列结论正确的是（ ）
A． 的夹角是 B． 的夹角是 C． D．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13.在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________.
14.若||＝1，||＝2，与的夹角为60°，若(3＋5)⊥(m－)，则m的值为________.
15.已知||＝2，||＝10，与的夹角为120°，与同向的单位向量为，则向量在向量方向上的投影向量是________.
16..在△ABC中，＝2，＝2，若＝m＋n，则m＋n＝________.
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．计算：
(1)6(3－2)＋9(－2＋)；
(2)；
(3)6(－＋)－4(－2＋)－2(－2＋).
18．如图所示，在的边、上分别有点、，且，，与的交点是，直线与交于点.设，.
（1）用、表示；
（2）设，求的值.
19.已知||＝4，||＝3，(2－3)·(2＋)＝61.
(1)求|＋|；
(2)求向量在向量＋方向上的投影向量的模.
20.设向量满足，且．
（1）求与的夹角；
（2）求的大小.
21.已知平面上三个向量，，的模均为1，它们相互之间的夹角为120°.
(1)求证：(－)⊥；
(2)若|k＋＋|>1(k∈R)，求k的取值范围.
22．如图，在直角三角形中，．点分别是线段上的点，满足．
(1)求的取值范围；
(2)是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
