一元函数的导数检测（A卷）
单选题（共8小题，每小题5分，共40分）
1.一个物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝5t2＋mt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26 m/s，则实数m的值为( )
A．2 B．1
C．－1 D．6
【解析】由已知，得＝26，所以(5×32＋3m)－(5×22＋2m)＝26，解得m＝1，故选B.
2.已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在函数y＝f(x)的图象上，若函数f(x)从x1到x2的平均变化率为，则下列叙述正确的是( )
A．曲线y＝f(x)的割线AB的倾斜角为
B．曲线y＝f(x)的割线AB的倾斜角为
C．曲线y＝f(x)的割线AB的斜率为－
D．曲线y＝f(x)的割线AB的斜率为－
【解析】函数f(x)从x1到x2的平均变化率就是割线AB的斜率，所以kAB＝，割线AB的倾斜角为，故选B.
3.已知函数y＝f(x)＝，且f′(m)＝－，则m的值为( )
A．－4 B．2
C．－2 D．±2
【解析】因为＝＝＝所以f′(m)＝ ＝－＝－，即m2＝4，解得m＝±2.
4.若可导函数f(x)的图象过原点，且满足 ＝－1，则f′(0)等于( )
A．－2 B．2
C．－1 D．1
【解析】因为f(x)图象过原点，所以f(0)＝0，所以f′(0)＝ ＝ ＝－1，故选C.
5.曲线f(x)＝x3的斜率等于1的切线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．不确定
【解析】因为f′(x)＝3x2，设切点为(x0，f(x0))，则3x＝1，得x0＝±，即在点和点处有斜率为1的切线。所以曲线f(x)＝x3的斜率等于1的切线有2条.
6.已知f(x)＝2x，g(x)＝ln x，则方程f(x)＋1＝g′(x)的解为( )
A．1 B. C．－1或 D．－1
【解析】由g(x)＝ln x，得x>0，且g′(x)＝.故2x＋1＝，即2x2＋x－1＝0，解得x＝或x＝－1(舍去).故选B.
7.若函数f(x)＝，则f′(0)等于( )
A．－2 B．－1
C．1 D．0
【解析】因为f′(x)＝，所以f′(0)＝＝1，故选C.
8.若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝( )
A．－1 B．－2
C．2 D．0
【解析】因为f′(x)＝4ax3＋2bx为奇函数，所以f′(－1)＝－f′(1)＝－2.
二、多选题（共4小题，每小题5分，选多部分给2分，多选或错选不给分，共20分）
9.下列结论中不正确的是( )
A．若y＝cos，则y′＝－sin
B．若y＝sin x2，则y′＝2xcos x2
C．若y＝cos 5x，则y′＝－sin 5x
D．若y＝xsin 2x，则y′＝xsin 2x
【解析】对于A，y＝cos，则y′＝·sin，故错误；对于B，y＝sin x2，则y′＝2xcos x2，故正确；对于C，y＝cos 5x，则y′＝－5sin 5x，故错误；对于D，y＝xsin 2x，则y′＝sin 2x＋xcos 2x，故错误.故选ACD.
10.已知定义在R上的函数f (x)，其导函数y＝f ′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )
A．f (b)>f (a) B．f (d)>f (e)
C．f (a)>f (d) D．f (c)>f (e)
【解析】由题图可得，当x∈(－∞，c)∪(e，＋∞)时，f ′(x)>0，当x∈(c，e)时，f ′(x)<0，故f (x)在(－∞，c)，(e，＋∞)上单调递增，在(c，e)上单调递减，所以f (b)>f (a)，f (d)>f (e)，f (c)>f (e).
11.已知函数f (x)的导函数为f ′(x)，且f ′(x)A．f (ln 2)<2f (0) B．f (2)C．f (ln 2)>2f (0) D．f (2)>e2f (0)
【解析】令g(x)＝，则g′(x)＝<0，故g(x)在R上单调递减，而ln 2>0,2>0，故g(ln 2)12.若函数f (x)＝ax3－3x2＋x＋1恰好有三个单调区间，则实数a的值可以是( )
A．－2 B．0
C．1 D．3
【解析】因为函数f (x)＝ax3－3x2＋x＋1，所以f ′(x)＝3ax2－6x＋1。由函数f (x)恰好有三个单调区间，得f ′(x)有两个不相等的零点，所以3ax2－6x＋1＝0满足a≠0，且Δ＝36－12a>0，解得a<3，且a≠0，所以a∈(－∞，0)∪(0,3)。结合选项可知A，C符合题意，故选AC.
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13.曲线y＝在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________.
【解析】因为y′＝，所以y′|x＝4＝e2。所以曲线在点(4，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－4)，整理得y＝e2x－e2，切线与坐标轴的交点分别是(0，－e2)，(2,0)，则切线与坐标轴围成的三角形面积为S＝×|－e2|×|2|＝e2
14.函数y＝的单调递减区间是________.
【解析】函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y′＝＝，令y′<0得x<1，且x≠0，故函数的单调递减区间是(－∞，0)，(0,1).
15.若函数f (x)＝(x2＋mx)ex的单调递减区间是，则实数m的值为________.
【解析】f ′(x)＝[x2＋(m＋2)x＋m]ex.因为f (x)的单调递减区间是，所以f ′(x)＝0的两个根分别为x1＝－，x2＝1，即解得m＝－.
16.定义在R上的函数y＝f (x)的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是( )
A．－3是f (x)的一个极小值点
B．－2和－1都是f (x)的极大值点
C．f (x)的单调递增区间是(－3，＋∞)
D．f (x)的单调递减区间是(－∞，－3)
【解析】因为当x<－3时，f ′(x)<0，当x>－3时，f ′(x)≥0，所以－3是y＝f (x)的极小值点，无极大值点，单调递增区间是(－3，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－3).故选ACD.
解答题（共6小题，17题10分，18-22题12分，需要写出必要的过程和步骤）
17.判断函数f (x)＝2x(ex－1)－x2的单调性
【解析】函数f (x)的定义域为R，f ′(x)＝2(ex－1＋xex－x)＝2(ex－1)(x＋1).
当x∈(－∞，－1)时，f ′(x)>0；
当x∈(－1,0)时，f ′(x)<0；
当x∈(0，＋∞)时，f ′(x)>0.
故f (x)在(－∞，－1)和(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)上单调递减
18.已知二次函数h(x)＝ax2＋bx＋2，其导函数y＝h′(x)的图象如图，f (x)＝6ln x＋h(x).
(1)求函数f (x)的解析式；
(2)若函数f (x)在区间上是单调函数，求实数m的取值范围.
【解析】(1)由已知得，h′(x)＝2ax＋b，
其图象为直线，且过(0，－8)，(4,0)两点，
把两点坐标代入h′(x)＝2ax＋b，
解得
所以h(x)＝x2－8x＋2，h′(x)＝2x－8，
所以f (x)＝6ln x＋x2－8x＋2.
(2)因为f ′(x)＝＋2x－8＝(x>0).
所以当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表：
x (0,1) 1 (1,3) 3 (3，＋∞)
f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f (x) 单调递增 －5 单调递减 6ln 3－13 单调递增
所以f (x)的单调递增区间为(0,1)和(3，＋∞)，f (x)的单调递减区间为(1,3).
要使函数f (x)在区间上是单调函数，
则解得即实数m的取值范围为.
19.设函数f (x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导函数为f ′(x)，若函数f ′(x)的图象关于直线x＝－对称，且f ′(1)＝0.
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数f (x)的极值.
【解析】(1)因为f (x)＝2x3＋ax2＋bx＋1，
所以f ′(x)＝6x2＋2ax＋b＝62＋b－，
即f ′(x)的图象关于直线x＝－对称，
故－＝－，a＝3.
由f ′(1)＝0，即6＋2a＋b＝0，得b＝－12.
(2)由(1)，知f (x)＝2x3＋3x2－12x＋1，
f ′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x－1)(x＋2).
令f ′(x)＝0，解得x＝－2或x＝1.
当x∈(－∞，－2)时，f ′(x)>0，
即f (x)在(－∞，－2)上单调递增；
当x∈(－2,1)时，f ′(x)<0，
即f (x)在(－2,1)上单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)>0，即f (x)在(1，＋∞)上单调递增.从而函数f (x)在x＝－2时取得极大值，为f (－2)＝21，在x＝1时取得极小值，为f (1)＝－6.
20.已知函数f (x)＝x3＋2x2＋x＋2，x∈.
(1)求f (x)的单调区间；
(2)求f (x)的最大值和最小值.
【解析】(1)f ′(x)＝3x2＋4x＋1＝3·(x＋1).
由f ′(x)>0，得x<－1或x>－；
由f ′(x)<0，得－1因此，函数f (x)在上的单调递增区间为和，单调递减区间为.
(2)f (x)在x＝－1时取得极大值，极大值为f (－1)＝2；
f (x)在x＝－时取得极小值，
极小值为f ＝.
又f ＝，f (1)＝6，且>，
所以f (x)在上的最大值为f (1)＝6，最小值为f ＝.
21.某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)，设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率).
(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；
(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.
【解析】(1)因为蓄水池的侧面的建造成本为200πrh元，底面的建造成本为160πr2元，
所以蓄水池的总建造成本为200πrh＋160πr2元，
即200πrh＋160πr2＝12 000π，
所以h＝(300－4r2)，
所以V(r)＝πr2h＝πr2×(300－4r2)＝(300r－4r3)，
又由r>0，h>0可得0故函数V(r)的定义域为.
(2)由(1)中V(r)＝(300r－4r3)，0＜r＜5，
可得V′(r)＝(300－12r2)(0令V′(r)＝(300－12r2)＝0，则r＝5，
所以当r∈(0,5)时，V′(r)>0，函数V(r)单调递增，
当r∈(5,5)时，V′(r)<0，函数V(r)单调递减，
所以当r＝5，h＝8时该蓄水池的体积最大.
22.已知函数f (x)＝.
(1)求曲线y＝f (x)在点(0，－1)处的切线方程；
(2)证明：当a≥1时，f (x)＋e≥0.
【解析】(1)f ′(x)＝，f ′(0)＝2.
因此曲线y＝f (x)在(0，－1)处的切线方程是2x－y－1＝0.
(2)证明：当a≥1时，f (x)＋e≥(x2＋x－1＋ex＋1)·e－x.
令g(x)＝x2＋x－1＋ex＋1(x∈R)，
则g′(x)＝2x＋1＋ex＋1.
当x<－1时，g′(x)<0，g(x)单调递减；
当x>－1时，g′(x)>0，g(x)单调递增.
所以g(x)≥g(－1)＝0.
因此f (x)＋e≥0.一元函数的导数检测（A卷）
单选题（共8小题，每小题5分，共40分）
1.一个物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝5t2＋mt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26 m/s，则实数m的值为( )
A．2 B．1
C．－1 D．6
2.已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在函数y＝f(x)的图象上，若函数f(x)从x1到x2的平均变化率为，则下列叙述正确的是( )
A．曲线y＝f(x)的割线AB的倾斜角为
B．曲线y＝f(x)的割线AB的倾斜角为
C．曲线y＝f(x)的割线AB的斜率为－
D．曲线y＝f(x)的割线AB的斜率为－
3.已知函数y＝f(x)＝，且f′(m)＝－，则m的值为( )
A．－4 B．2
C．－2 D．±2
4.若可导函数f(x)的图象过原点，且满足 ＝－1，则f′(0)等于( )
A．－2 B．2
C．－1 D．1
5.曲线f(x)＝x3的斜率等于1的切线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．不确定
6.已知f(x)＝2x，g(x)＝ln x，则方程f(x)＋1＝g′(x)的解为( )
A．1 B. C．－1或 D．－1
7.若函数f(x)＝，则f′(0)等于( )
A．－2 B．－1
C．1 D．0
8.若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝( )
A．－1 B．－2
C．2 D．0
二、多选题（共4小题，每小题5分，选多部分给2分，多选或错选不给分，共20分）
9.下列结论中不正确的是( )
A．若y＝cos，则y′＝－sin
B．若y＝sin x2，则y′＝2xcos x2
C．若y＝cos 5x，则y′＝－sin 5x
D．若y＝xsin 2x，则y′＝xsin 2x
10.已知定义在R上的函数f (x)，其导函数y＝f ′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )
A．f (b)>f (a) B．f (d)>f (e)
C．f (a)>f (d) D．f (c)>f (e)
11.已知函数f (x)的导函数为f ′(x)，且f ′(x)A．f (ln 2)<2f (0) B．f (2)C．f (ln 2)>2f (0) D．f (2)>e2f (0)
12.若函数f (x)＝ax3－3x2＋x＋1恰好有三个单调区间，则实数a的值可以是( )
A．－2 B．0
C．1 D．3
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13.曲线y＝在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________.
14.函数y＝的单调递减区间是________.
15.若函数f (x)＝(x2＋mx)ex的单调递减区间是，则实数m的值为________.
16.定义在R上的函数y＝f (x)的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是( )
A．－3是f (x)的一个极小值点
B．－2和－1都是f (x)的极大值点
C．f (x)的单调递增区间是(－3，＋∞)
D．f (x)的单调递减区间是(－∞，－3)
解答题（共6小题，17题10分，18-22题12分，需要写出必要的过程和步骤）
17.判断函数f (x)＝2x(ex－1)－x2的单调性
18.已知二次函数h(x)＝ax2＋bx＋2，其导函数y＝h′(x)的图象如图，f (x)＝6ln x＋h(x).
(1)求函数f (x)的解析式；
(2)若函数f (x)在区间上是单调函数，求实数m的取值范围.
19.设函数f (x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导函数为f ′(x)，若函数f ′(x)的图象关于直线x＝－对称，且f ′(1)＝0.
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数f (x)的极值.
20.已知函数f (x)＝x3＋2x2＋x＋2，x∈.
(1)求f (x)的单调区间；
(2)求f (x)的最大值和最小值.
21.某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)，设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率).
(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；
(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.
22.已知函数f (x)＝.
(1)求曲线y＝f (x)在点(0，－1)处的切线方程；
(2)证明：当a≥1时，f (x)＋e≥0.
