一元函数的导数检测（B卷）
单选题（共8小题，每小题5分，共40分）
1.甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图，则在[0，t0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度1，2的关系是( )
A.1>2 B.1<2
C.1＝2 D．大小关系不确定
【解析】设直线AC，BC的斜率分别为kAC，kBC，由平均速度的几何意义知，甲在[0，t0]内的平均速度1＝kAC，乙在[0，t0]内的平均速度2＝kBC.因为kAC2.已知抛物线y＝x2－2上一点P，则在点P处的切线的倾斜角为( )
A．30° B．45°
C．135° D．165°
【解析】k＝ ＝1，故切线的倾斜角为45°.
3.曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x＋y＋1＝0，则( )
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
【解析】将(0，b)代入切线方程可得0＋b＋1＝0，所以b＝－1，y′＝li ＝2x＋a，所以当x＝0时，y′|x＝0＝a＝－1.
4.如图，曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线l过点(2,0)，且f′(1)＝－2，则f(1)的值为( )
A．－1 B．1
C．2 D．3
【解析】曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线l过点(2,0)，且f′(1)＝－2，所以切线方程为y＝－2(x－2)。因为切点在曲线上也在切线上，所以f(1)＝－2×(1－2)＝2.故选C.
5.正弦曲线y＝sin x上一点P，以P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是( )
A.∪ B．[0，π)
C. D.∪
【解析】因为y′＝cos x，而cos x∈[－1,1].所以直线l的斜率的范围是[－1,1]，所以直线l倾斜角的范围是∪.
6.函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为( )
A．y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1
C．y＝2x－3 D．y＝2x＋1
【解析】解法一：因为f(x)＝x4－2x3，所以f′(x)＝4x3－6x2，所以f′(1)＝－2，又f(1)＝1－2＝－1，所以所求的切线方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.故选B.
解法二：因为f(x)＝x4－2x3，所以f′(x)＝4x3－6x2，f′(1)＝－2，所以切线的斜率为－2，排除C，D。又f(1)＝1－2＝－1，所以切线过点(1，－1)，排除A.故选B.
7.已知f(x)＝x2＋sin，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的大致图象是( )
【解析】因为f(x)＝x2＋sin＝x2＋cos x，所以f′(x)＝x－sin x。易知f′(x)＝x－sin x是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D.由f′＝－<0，排除C，故选A.
8.若曲线y＝e－x＋2在点P处的切线垂直于直线x－2y＋1＝0，则点P的坐标是( )
A. B．(－ln 2,4)
C．(0,3) D．(－1，e＋2)
【解析】因为y′＝，y′P＝＝－2，所以exP＝，所以xP＝ln＝－ln 2，yP＝4，所以点P的坐标为(－ln 2，4).
二、多选题（共4小题，每小题5分，选多部分给2分，多选或错选不给分，共20分）
9.曲线y＝e2xcos 3x在点(0,1)处的切线与其平行直线l的距离为，则直线l的方程可能为( )
A．y＝2x＋6 B．y＝2x－4
C．y＝3x＋1 D．y＝3x－4
【解析】y′＝e2x(2cos 3x－3sin 3x)，所以y′|x＝0＝2，则所求的切线方程为y＝2x＋1，设直线l的方程为y＝2x＋b，则＝，解得b＝6或b＝－4.所以直线l的方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.
10.若函数f (x)＝ax3－3x2＋x＋1恰好有三个单调区间，则实数a的值可以是( )
A．－2 B．0
C．1 D．3
【解析】因为函数f (x)＝ax3－3x2＋x＋1，所以f ′(x)＝3ax2－6x＋1.由函数f (x)恰好有三个单调区间，得f ′(x)有两个不相等的零点，所以3ax2－6x＋1＝0满足a≠0，且Δ＝36－12a>0，解得a<3，且a≠0，所以a∈(－∞，0)∪(0,3).结合选项可知A，C符合题意，故选AC.
11.已知函数f (x)＝xln x，若0A．x2f (x1)B．x1＋f (x1)C.<0
D．当ln x>－1时，x1f (x1)＋x2f (x2)>2x2f (x1)
【解析】对于A，令g(x)＝＝ln x，易知g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以g(x1)0，h(x)单调递增，所以x1＋f (x1)0，f (x)单调递增，所以<0不恒成立，故C错误；对于D，当x∈(e－1，＋∞)，即ln x>－1时，f (x)单调递增，由e－1f (x1)，所以x1[f (x1)－f (x2)]－x2[f (x1)－f (x2)]＝(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]>0，则x1f (x1)＋x2f (x2)>x1f (x2)＋x2f (x1)，由选项A我们求得了x2f (x1)2x2f (x1)，故D正确.故选AD.
12.已知函数f (x)＝x3－4x＋2，则下列说法中正确的有( )
A．函数f (x)的极大值为，极小值为－
B．当x∈[3,4]时，函数f (x)的最大值为，最小值为－
C．函数f (x)的单调递减区间为[－2,2]
D．曲线y＝f (x)在点(0,2)处的切线的方程为y＝－4x＋2
【解析】f (x)的定义域为R，f ′(x)＝x2－4。令f ′(x)＝0，得x＝－2或x＝2，所以f (x)在(－∞，－2)和(2，＋∞)上单调递增，在[－2,2]上单调递减，故C正确；f (x)极大值＝f (－2)＝×(－2)3－4×(－2)＋2＝，f (x)极小值＝f (2)＝×23－4×2＋2＝－，故A正确；f (3)＝×33－4×3＋2＝－1，f (4)＝×43－4×4＋2＝，所以当x∈[3,4]时，函数f (x)的最大值为，最小值为－1，故B不正确；f ′(0)＝－4，曲线在点(0,2)处的切线的方程为y－2＝－4(x－0)，即y＝－4x＋2，故D正确.
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是________.
【解析】当x>0时，－x<0，则f(－x)＝ex－1＋x，又f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x，f′(x)＝ex－1＋1，则f′(1)＝2，故所求切线方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.
14.函数f (x)＝x2－5x＋2ln(2x)的单调递增区间是 .
【解析】f (x)的定义域是(0，＋∞)，f ′(x)＝，由f ′(x)>0得x>2或015.定义在R上的函数f (x)满足f (1)＝1，f ′(x)<2，则满足f (x)>2x－1的x的取值范围是________.
【解析】令g(x)＝f (x)－2x＋1，则g′(x)＝f ′(x)－2<0，故g(x)在R上单调递减.又g(1)＝f (1)－2×1＋1＝0，所以当g(x)>g(1)＝0，即f (x)－2x＋1>0时，x<1.
16.定义在R上的函数f (x)，已知x0(x0≠0)是它的极大值点，则以下结论正确的是( )
A．－x0是f (－x)的一个极大值点
B．－x0是－f (x)的一个极小值点
C．x0是－f (x)的一个极大值点
D．－x0是－f (－x)的一个极小值点
【解析】x0(x0≠0)是f (x)的极大值点，就是存在正数m，使得在(x0－m，x0)上，f ′(x)>0，在(x0，x0＋m)上，f ′(x)<0。设g(x)＝f (－x)，g′(x)＝－f ′(－x)，当－x00，g′(x)<0，同理－x0－m0，所以－x0是f (－x)的一个极大值点，从而－x0是－f (－x)的一个极小值点，x0是－f (x)的一个极小值点。不能判定－x0是不是－f (x)的极值点.
解答题（共6小题，17题10分，18-22题12分，需要写出必要的过程和步骤）
17.已知函数f (x)＝(k为常数，e为自然对数的底数)，曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线与x轴平行.
(1)求实数k的值；
(2)求函数f (x)的单调区间.
【解析】(1)由f (x)＝，可得f ′(x)＝.
因为曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线与x轴平行，
所以f ′(1)＝0，即＝0，解得k＝1.
(2)由(1)可知，f ′(x)＝(x>0)，
设h(x)＝－ln x－1(x>0)，则h′(x)＝－－<0.
可知h(x)在(0，＋∞)上单调递减，
由h(1)＝0知，当0h(1)＝0，从而f ′(x)>0.
当x>1时，h(x)综上可知，f (x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞).
18.已知函数f (x)＝aln x－ax－3(a∈R)。
(1)求函数f (x)的单调区间；
(2)当a＝－1时，证明：当x∈(1，＋∞)时，f (x)＋2>0.
【解析】(1)根据题意知，f ′(x)＝(x>0)，
当a>0时，在x∈(0,1)时，f ′(x)>0，
在x∈(1，＋∞)时，f ′(x)<0，所以f (x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)；
同理，当a<0时，f (x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)；
当a＝0时，f (x)＝－3，不是单调函数，无单调区间.
(2)证明：当a＝－1时，f (x)＝－ln x＋x－3，
所以f (1)＝－2，
由(1)知f (x)＝－ln x＋x－3在(1，＋∞)上单调递增，
所以当x∈(1，＋∞)时，f (x)>f (1).
即f (x)>－2，所以f (x)＋2>0.
19.设函数f (x)＝x2ex－1＋ax3＋bx2，已知－2和1为f (x)的极值点。
(1)求a和b的值；
(2)讨论f (x)的单调性.
【解析】(1)f ′(x)＝ex－1(2x＋x2)＋3ax2＋2bx＝xex－1(x＋2)＋x(3ax＋2b)因为－2和1是f (x)的极值点，所以f ′(－2)＝f ′(1)＝0，
即解得
(2)因为a＝－，b＝－1，
所以f ′(x)＝x(x＋2)(ex－1－1)(x∈R).
令f ′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝0，x3＝1.
因为当x∈(－∞，－2)∪(0,1)时，f ′(x)<0；
当x∈(－2,0)∪(1，＋∞)时，f ′(x)>0，
所以f (x)在(－2,0)，(1，＋∞)上单调递增；在(－∞，－2)，(0,1)上单调递减.
20.已知函数f (x)＝12－x2.
(1)求曲线y＝f (x)的斜率等于－2的切线方程；
(2)设曲线y＝f (x)在点(t，f (t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t)，求S(t)的最小值.
【解析】(1)函数f (x)＝12－x2的定义域为R，f ′(x)＝－2x，令f ′(x)＝－2x＝－2，得x＝1，所以f ′(1)＝－2，又f (1)＝11，
所以曲线y＝f (x)的斜率等于－2的切线方程为y－11＝－2(x－1)，即2x＋y－13＝0.
(2)由(1)知f ′(x)＝－2x，则f ′(t)＝－2t，又f (t)＝12－t2，
所以曲线y＝f (x)在点(t，f (t))处的切线方程为y－(12－t2)＝－2t(x－t)，即y＝－2tx＋t2＋12。若t＝0，则围不成三角形故t≠0.
令x＝0，得y＝t2＋12，记A(0，t2＋12)，O为坐标原点，则|OA|＝t2＋12，令y＝0，得x＝，记B，则|OB|＝，所以S(t)＝|OA|·|OB|＝.
因为S(t)为偶函数，所以仅考虑t>0即可.
当t>0时，S(t)＝，
则S′(t)＝＝(t2－4)(t2＋12)，令S′(t)＝0，得t＝2，
所以当t变化时，S′(t)与S(t)的变化情况如表所示.
t (0,2) 2 (2，＋∞)
S′(t) － 0 ＋
S(t) 单调递减 32 单调递增
所以S(t)min＝S(2)＝32.
21.若方程x3＋ax＋1＝0有两个不同的实数根，求实数a的值.
【解析】令f (x)＝x3＋ax＋1，则f ′(x)＝x2＋a.
由f (x)＝0有两个不同的实数根，得
由Δ>0，得a<0，令f ′(x)＝0，
得x1＝，x2＝－，
所以f (x1)＝()3＋a＋1＝－(－a)＋1，
f (x2)＝(－)3－a＋1＝(－a)＋1，
则f (x1)·f (x2)＝·＝1－(－a)3＝0，解得a＝－.
综上，实数a的取值为－.
22.已知函数f (x)＝x3－(a＋1)x，g(x)＝x－2ln x。
(1)求函数f (x)的单调区间和函数g(x)的最值；
(2)已知不等式g(x)－f (x)≥－x3＋2x＋a对任意的x∈(0,1]恒成立，求实数a的取值范围。
【解析】(1)因为f (x)＝x3－(a＋1)x(x∈R)，
所以f ′(x)＝x2－(a＋1).
当a＋1≤0，即a≤－1时，f ′(x)≥0恒成立，f (x)在(－∞，＋∞)上单调递增.
当a＋1>0，即a>－1时，令f ′(x)>0，则x<－或x>；令f ′(x)<0，则－所以f (x)在(－∞，－)和(，＋∞)上单调递增，在(－，)上单调递减.
综上，当a≤－1时，f (x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间；当a>－1时，f (x)的单调递增区间为(－∞，－)，(，＋∞)，单调递减区间为(－，)。
因为g(x)＝x－2ln x，其定义域为(0，＋∞)，
所以g′(x)＝1－＝，
当x>2时，g′(x)>0，g(x)在(2，＋∞)上单调递增，
当0所以g(2)为g(x)在(0，＋∞)上的极小值，也是最小值.
所以g(x)min＝g(2)＝2－2ln 2，无最大值.
(2)g(x)－f (x)≥－x3＋2x＋a对任意的x∈(0,1]恒成立，
即a(x－1)－2ln x≥0对任意的x∈(0,1]恒成立.
令h(x)＝a(x－1)－2ln x，x∈(0,1]，则h′(x)＝a－＝.
当a≤2时，因为x∈(0,1]，所以ax－2≤0，
所以h′(x)≤0，h(x)在(0,1]上单调递减，
所以h(x)在(0,1]上的最小值为h(1)＝0，符合题意.
当a>2时，令h′(x)<0，得00，得所以h(x)在上单调递减，在上单调递增，
所以h(x)在(0,1]上的极小值为h＝a－2ln＝2－2ln 2－(a－2ln a)＝g(2)－g(a)，
由(1)知g(2)－g(a)<0，又h(1)＝0，所以h(x)min＝h<0，不符合题意.
综上，实数a的取值范围为(－∞，2].一元函数的导数检测（B卷）
单选题（共8小题，每小题5分，共40分）
1.甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图，则在[0，t0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度1，2的关系是( )
A.1>2 B.1<2
C.1＝2 D．大小关系不确定
2.已知抛物线y＝x2－2上一点P，则在点P处的切线的倾斜角为( )
A．30° B．45°
C．135° D．165°
3.曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x＋y＋1＝0，则( )
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
4.如图，曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线l过点(2,0)，且f′(1)＝－2，则f(1)的值为( )
A．－1 B．1
C．2 D．3
5.正弦曲线y＝sin x上一点P，以P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是( )
A.∪ B．[0，π)
C. D.∪
6.函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为( )
A．y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1
C．y＝2x－3 D．y＝2x＋1
7.已知f(x)＝x2＋sin，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的大致图象是( )
8.若曲线y＝e－x＋2在点P处的切线垂直于直线x－2y＋1＝0，则点P的坐标是( )
A. B．(－ln 2,4)
C．(0,3) D．(－1，e＋2)
二、多选题（共4小题，每小题5分，选多部分给2分，多选或错选不给分，共20分）
9.曲线y＝e2xcos 3x在点(0,1)处的切线与其平行直线l的距离为，则直线l的方程可能为( )
A．y＝2x＋6 B．y＝2x－4
C．y＝3x＋1 D．y＝3x－4
10.若函数f (x)＝ax3－3x2＋x＋1恰好有三个单调区间，则实数a的值可以是( )
A．－2 B．0
C．1 D．3
11.已知函数f (x)＝xln x，若0A．x2f (x1)B．x1＋f (x1)C.<0
D．当ln x>－1时，x1f (x1)＋x2f (x2)>2x2f (x1)
12.已知函数f (x)＝x3－4x＋2，则下列说法中正确的有( )
A．函数f (x)的极大值为，极小值为－
B．当x∈[3,4]时，函数f (x)的最大值为，最小值为－
C．函数f (x)的单调递减区间为[－2,2]
D．曲线y＝f (x)在点(0,2)处的切线的方程为y＝－4x＋2
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是________.
14.函数f (x)＝x2－5x＋2ln(2x)的单调递增区间是 .
15.定义在R上的函数f (x)满足f (1)＝1，f ′(x)<2，则满足f (x)>2x－1的x的取值范围是________.
16.定义在R上的函数f (x)，已知x0(x0≠0)是它的极大值点，则以下结论正确的是( )
A．－x0是f (－x)的一个极大值点
B．－x0是－f (x)的一个极小值点
C．x0是－f (x)的一个极大值点
D．－x0是－f (－x)的一个极小值点
解答题（共6小题，17题10分，18-22题12分，需要写出必要的过程和步骤）
17.已知函数f (x)＝(k为常数，e为自然对数的底数)，曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线与x轴平行.
(1)求实数k的值；
(2)求函数f (x)的单调区间.
18.已知函数f (x)＝aln x－ax－3(a∈R)。
(1)求函数f (x)的单调区间；
(2)当a＝－1时，证明：当x∈(1，＋∞)时，f (x)＋2>0.
19.设函数f (x)＝x2ex－1＋ax3＋bx2，已知－2和1为f (x)的极值点。
(1)求a和b的值；
(2)讨论f (x)的单调性.
20.已知函数f (x)＝12－x2.
(1)求曲线y＝f (x)的斜率等于－2的切线方程；
(2)设曲线y＝f (x)在点(t，f (t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t)，求S(t)的最小值.
21.若方程x3＋ax＋1＝0有两个不同的实数根，求实数a的值.
22.已知函数f (x)＝x3－(a＋1)x，g(x)＝x－2ln x。
(1)求函数f (x)的单调区间和函数g(x)的最值；
(2)已知不等式g(x)－f (x)≥－x3＋2x＋a对任意的x∈(0,1]恒成立，求实数a的取值范围。
