8.3简单几何体的表面积与体积跟踪训练
一、选择题
1、已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为( )
A.2 B.2 C.4 D.4
2、现有同底等高的圆锥和圆柱，已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面积为( )
A.3π B. C. D.π
3、等腰直角三角形的直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积为( )
A．π B．π或π
C．2π D．2π或π
4、对24小时内降水在平地上的积水厚度(mm)进行如下定义：
0～10 10～25 25～50 50～100
小雨 中雨 大雨 暴雨
小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于哪个等级( )
A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨
5、埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )
A． B．
C． D．
6、已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )
A．12π B．12π
C．8π D．10π
7、已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为( )
A．81π B．100π
C．168π D．169π
8、正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为( )
A.20＋12 B.28
C. D.
9、已知三棱锥S－ABC中，∠SAB＝∠ABC＝，SB＝4，SC＝2，AB＝2，BC＝6，则三棱锥S－ABC的体积是( )
A.4 B.6 C.4 D.6
10、如图，四面体各个面都是边长为1的正三角形，其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面圆心，圆柱的侧面积是( )
A．π B．π
C．π D．π
11、已知三棱锥S-ABC中，∠SAB＝∠ABC＝，SB＝4，SC＝2，AB＝2，BC＝6，则三棱锥S-ABC的体积是( )
A．4 B．6
C．4 D．6
12、(多选)已知正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为θ，若θ＝30°，侧棱长为，则( )
A.正四棱锥的底面边长为6
B.正四棱锥的底面边长为3
C.正四棱锥的侧面积为24
D.正四棱锥的侧面积为12
二、填空题
13、已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为________．
14、一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm，若两底面圆心的连线长为12 cm，则这个圆台的母线长为________cm.
15、已知圆锥的顶点为A，过母线AB，AC的截面面积是2.若AB，AC的夹角是60°，且AC与圆锥底面所成的角是30°，则该圆锥的表面积为________.
16、学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABCD－A1B1C1D1挖去四棱锥O－EFGH后所得的几何体.其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为______g.
17、棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1－D1MN的体积为________.
18、圆台的上、下底面半径分别为10 cm，20 cm，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的表面积为_______cm2.(结果中保留π)
＋π×202＝1 100π(cm2).
故圆台的表面积为1 100π cm2.
19、如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为______.
20、如图，设正三棱锥S-ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，则此正三棱锥的表面积为________．
21、已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为________.
22、如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，ED＝2FC＝2，则四面体ABEF的体积为________.
23、若E，F是三棱柱ABC－A1B1C1侧棱BB1和CC1上的点，且B1E＝CF，三棱柱的体积为m，则四棱锥A－BEFC的体积为________.
24、现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍，若AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？
25、如图所示，底面半径为1，高为1的圆柱OO1中有一内接长方体A1B1C1D1-ABCD.设矩形ABCD的面积为S，长方体A1B1C1D1-ABCD的体积为V，AB＝x.
(1)将S表示为x的函数；
(2)求V的最大值．8.3简单几何体的表面积与体积跟踪训练(答案)
一、选择题
1、已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为( B )
A.2 B.2 C.4 D.4
解：设圆锥的母线长为l，因为该圆锥的底面半径为，侧面展开图为一个半圆，所以2π×＝πl，解得l＝2.
2、现有同底等高的圆锥和圆柱，已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面积为( D )
A.3π B. C. D.π
解：设底面圆的半径为R，圆柱的高为h，
依题意2R＝h＝2，∴R＝1.
∴圆锥的母线l＝＝＝，
因此S圆锥侧＝πRl＝1×π＝π.
3、等腰直角三角形的直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积为( B )
A．π B．π或π
C．2π D．2π或π
解：如果绕直角边所在直线旋转，那么形成圆锥，圆锥底面半径为1，高为1，母线长就是直角三角形的斜边长，所以所形成的几何体的表面积S＝πrl＋πr2＝π×1×＋π×12＝(＋1)π；如果绕斜边所在直线旋转，那么形成的是同底的两个圆锥，圆锥的底面半径是直角三角形斜边高为，两个圆锥的母线长都是1，所以形成的几何体的表面积S＝2×πrl＝2×π××1＝π.综上可知，形成几何体的表面积是(＋1)π或π.故选B．
4、对24小时内降水在平地上的积水厚度(mm)进行如下定义：
0～10 10～25 25～50 50～100
小雨 中雨 大雨 暴雨
小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于哪个等级( B )
A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨
解：由相似关系可得，雨水形成的小圆锥的底面半径r＝＝50(mm)，故
V小圆锥＝×π×502×150＝503·π(mm3)，从而可得积水厚度h＝＝＝12.5(mm)，属于中雨.
5、埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( C )
A． B．
C． D．
解：设正四棱锥的高为h，底面正方形的边长为2a，斜高为m，依题意得h2＝×2a×m，即h2＝am ①，易知h2＋a2＝m2 ②，由①②得m＝a(舍负)，所以＝＝.故选C．
6、已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( B )
A．12π B．12π
C．8π D．10π
解：设圆柱的轴截面的边长为x，则由x2＝8，得x＝2，所以S表＝2S底＋S侧＝2×π×()2＋2π××2＝12π.故选B．
7、已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为( C )
A．81π B．100π
C．168π D．169π
解：圆台的轴截面如图，设上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为l，则它的母线长l＝＝＝5r＝10，
所以r＝2，R＝8.
故S侧＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，
S表＝S侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.
8、正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为( D )
A.20＋12 B.28
C. D.
解：连接该正四棱台上、下底面的中心，如图，因为该四棱台上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，所以该棱台的高h＝＝，下底面面积S1＝16，上底面面积S2＝4，所以该棱台的体积V＝h(S1＋S2＋)＝××(16＋4＋)＝.
9、已知三棱锥S－ABC中，∠SAB＝∠ABC＝，SB＝4，SC＝2，AB＝2，BC＝6，则三棱锥S－ABC的体积是( C )
A.4 B.6 C.4 D.6
解：∵∠ABC＝，AB＝2，BC＝6，∴AC＝＝＝2.∵∠SAB＝，AB＝2，SB＝4，∴AS＝＝＝2.由SC＝2，得AC2＋AS2＝SC2，∴AC⊥AS.又∵SA⊥AB，AC∩AB＝A，∴AS⊥平面ABC，∴AS为三棱锥S－ABC的高，∴V三棱锥S－ABC＝××2×6×2＝4.
10、如图，四面体各个面都是边长为1的正三角形，其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面圆心，圆柱的侧面积是( C )
A．π B．π
C．π D．π
解：如图所示，过点P作PE⊥平面ABC，E为垂足，点E为等边三角形ABC的中心，连接AE并延长，交BC于点D.
AE＝AD，AD＝，
所以AE＝×＝，
所以PE＝＝.
设圆柱底面半径为r，则r＝AE＝，
所以圆柱的侧面积S＝2πr·PE＝2π××＝.
11、已知三棱锥S-ABC中，∠SAB＝∠ABC＝，SB＝4，SC＝2，AB＝2，BC＝6，则三棱锥S-ABC的体积是( C )
A．4 B．6
C．4 D．6
解：因为∠ABC＝，AB＝2，BC＝6，所以AC＝＝＝2.因为∠SAB＝，AB＝2，SB＝4，所以AS＝＝＝2 .由SC＝2，得AC2＋AS2＝SC2，所以AC⊥AS.又因为SA⊥AB，AC∩AB＝A，所以AS⊥平面ABC，所以AS为三棱锥S-ABC的高，所以V三棱锥S-ABC＝××2×6×2 ＝4 .
12、(多选)已知正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为θ，若θ＝30°，侧棱长为，则( AC )
A.正四棱锥的底面边长为6
B.正四棱锥的底面边长为3
C.正四棱锥的侧面积为24
D.正四棱锥的侧面积为12
解： 如图，在正四棱锥S－ABCD中，O为正方形ABCD的中心，SH⊥AB，设底面边长为2a(a＞0)，因为∠SHO＝30°，所以OH＝a，OS＝a，SH＝a，在Rt△SAH中，a2＋＝21，所以a＝3，底面边长为6，侧面积为S＝×6×2×4＝24.故选AC.
二、填空题
13、已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为__39π______．
解：设该圆锥的高为h，则由已知条件可得×π×62×h＝30π，解得h＝，则圆锥的母线长为＝＝，故该圆锥的侧面积为π×6×＝39π.
14、一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm，若两底面圆心的连线长为12 cm，则这个圆台的母线长为____13____cm.
解：如图，过点A作AC⊥OB，交OB于点C.
在Rt△ABC中，AC＝12 cm，BC＝8－3＝5(cm).
所以AB＝＝13(cm).
15、已知圆锥的顶点为A，过母线AB，AC的截面面积是2.若AB，AC的夹角是60°，且AC与圆锥底面所成的角是30°，则该圆锥的表面积为___(6＋4)π_____.
解：如图所示，∵AB，AC的夹角是60°，AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，
∴×AC2＝2，
解得AC＝2.
∵AC与圆锥底面所成的角是30°，
∴圆锥底面半径r＝OC＝ACcos 30°＝2×＝.
则该圆锥的表面积＝π×()2＋×2π××2＝(6＋4)π.
16、学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABCD－A1B1C1D1挖去四棱锥O－EFGH后所得的几何体.其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为__118.8____g.
解：由题意得，四棱锥O－EFGH的底面积为4×6－4××2×3＝12(cm2)，其高为点O到底面EFGH的距离，为3 cm，则此四棱锥的体积为V1＝×12×3＝12(cm3).
又长方体ABCD－A1B1C1D1的体积为
V2＝4×6×6＝144(cm3)，
所以该模型的体积V＝V2－V1＝144－12＝132(cm3)，
因此模型所需原材料的质量为0.9×132＝118.8(g).
17、棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1－D1MN的体积为____1____.
解：如图，由正方体棱长为2及M，N分别为BB1，AB的中点，得
S△A1MN＝2×2－2××2×1－×1×1＝，又易知D1A1为三棱锥D1－A1MN的高，且D1A1＝2，
∴VA1－D1MN＝VD1－A1MN
＝·S△A1MN·D1A1＝××2＝1.
18、圆台的上、下底面半径分别为10 cm，20 cm，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的表面积为___1 100π_____cm2.(结果中保留π)
解：如图所示，设圆台的上底面周长为c cm，
因为扇环的圆心角是180°，
故c＝π·SA＝2π×10(cm)，
所以SA＝20 cm.
同理可得SB＝40 cm，
所以AB＝SB－SA＝20 cm，
所以S表＝S侧＋S上底＋S下底＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm2).
故圆台的表面积为1 100π cm2.
19、如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为________.
解：如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH.
则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱.
依题意，三棱锥E－ADG的高EG＝，直三棱柱AGD－BHC的高AB＝1.
则AG＝＝＝.
取AD的中点M，则MG＝，
所以S△AGD＝×1×＝，
∴V多面体＝VE－ADG＋VF－BHC＋VAGD－BHC＝2VE－ADG＋VAGD－BHC
＝×××2＋×1＝.
20、如图，设正三棱锥S-ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，则此正三棱锥的表面积为________．
解：如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h′，过点O作OE⊥AB，与AB交于点E，连接SE，则SE⊥AB，SE＝h′.
因为S侧＝2S底，
所以·3a·h′＝a2×2.
所以a＝h′.
因为SO⊥OE，所以SO2＋OE2＝SE2.
所以32＋＝h′2.
所以h′＝2，所以a＝h′＝6.
所以S底＝a2＝×62＝9，S侧＝2S底＝18.
所以S表＝S侧＋S底＝9＋18＝27.
21、已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为__39π______.
解;设该圆锥的高为h，则由已知条件可得×π×62·h＝30π，解得h＝，则圆锥的母线长为＝＝，故该圆锥的侧面积为π×6×＝39π.
22、如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，ED＝2FC＝2，则四面体ABEF的体积为________.
解： ∵ED⊥平面ABCD且AD 平面ABCD，∴ED⊥AD.
∵在正方形ABCD中，AD⊥DC，
而DC∩ED＝D，
∴AD⊥平面CDEF.
易知FC＝＝1，VA－BEF＝VABCDEF－VF－ABCD－VA－DEF.
∵VE－ABCD＝ED×S正方形ABCD×＝2×2×2×＝，VB－EFC＝BC×S△EFC×＝2×2×1××＝，
∴VABCDEF＝＋＝.又VF－ABCD＝FC×S正方形ABCD×＝1×2×2×＝，VA－DEF＝AD×S△DEF×＝2×2×2××＝，VA－BEF＝－－＝.
23、若E，F是三棱柱ABC－A1B1C1侧棱BB1和CC1上的点，且B1E＝CF，三棱柱的体积为m，则四棱锥A－BEFC的体积为________.
解： 如图所示，连接AB1，AC1.
因为B1E＝CF，所以梯形BEFC的面积等于梯形B1EFC1的面积.
又四棱锥A－BEFC的高与四棱锥A－B1EFC1的高相等，
所以VA－BEFC＝VA－B1EFC1＝VA－BB1C1C.
又VA－A1B1C1＝S△A1B1C1·AA1，
VABC－A1B1C1＝S△A1B1C1·AA1＝m，
所以VA－A1B1C1＝，
所以VA－BB1C1C＝VABC－A1B1C1－VA－A1B1C1＝，
所以VA－BEFC＝×＝，
即四棱锥A－BEFC的体积是.
24、现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍，若AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？
解：由PO1＝2 m，知O1O＝4PO1＝8 m．
因为A1B1＝AB＝6 m，所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积V锥＝·A1B·PO1＝×62×2＝24(m3)；
正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)，
所以仓库的容积V＝V锥＋V柱＝24＋288＝312(m3).
故仓库的容积是312 m3.
25、如图所示，底面半径为1，高为1的圆柱OO1中有一内接长方体A1B1C1D1-ABCD.设矩形ABCD的面积为S，长方体A1B1C1D1-ABCD的体积为V，AB＝x.
(1)将S表示为x的函数；
(2)求V的最大值．
解：(1)连接AC(图略)，因为矩形ABCD内接于⊙O，
所以AC为⊙O的直径．
因为AC＝2，AB＝x，
所以BC＝，
所以S＝AB·BC＝x(0(2)因为长方体的高AA1＝1，
所以V＝S·AA1＝x＝＝.
因为0故当x2＝2即x＝时，V取得最大值，此时Vmax＝2.
