5.3.2第2课时函数的最大(小)值与导数课后同步检测（基础卷）
一、单选题
1. 函数y＝x－sin x，x∈的最大值是( )
A.π－1 B.－1 C.π D.π＋1
【解析】y′＝1－cos x，当x∈时，y′>0，
则函数在区间上单调递增，
所以y的最大值为ymax＝π－sin π＝π.
2. 函数f(x)＝x3－3x(|x|＜1)( )
A.有最值，但无极值
B.有最值，也有极值
C.既无最值，也无极值
D.无最值，但有极值
【解析】f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，
当x∈(－1，1)时，f′(x)＜0，
所以f(x)在(－1，1)上单调递减，
无最大值和最小值，也无极值.
3. 当0A.f2B.fC.fD.f【解析】根据0所以根据对数函数的单调性可知，当00，
从而可得f′>0，函数f单调递增，
所以f而f2＝2>0，
所以有f4. 已知函数f (x)，g(x)均为[a，b]上的连续可导函数，且f ′(x)A．f (a)－g(a) B．f (b)－g(b)
C．f (a)－g(b) D．f (b)－g(a)
【解析】令F (x)＝f (x)－g(x)，因为f ′(x)5. 已知f (x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是( )
A．－37 B．－29
C．－5 D．－3
【解析】因为f ′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，所以f (x)在(－2,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，所以当x＝0时，f (0)＝m最大，所以m＝3.因为f (－2)＝－37，f (2)＝－5，所以最小值为－37.
6. 函数f (x)＝x3－x2＋a，函数g(x)＝x2－3x，它们的定义域均为[1，＋∞)，并且函数f (x)的图象始终在函数g(x)图象的上方，那么a的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C. D.
【解析】设h(x)＝f (x)－g(x)＝x3－2x2＋3x＋a，则h′(x)＝x2－4x＋3＝(x－3)(x－1)，所以当x∈(1,3)时，h(x)单调递减；当x∈(3，＋∞)时，h(x)单调递增.当x＝3时，函数h(x)取得最小值。因为f (x)的图象始终在g(x)的图象上方，则有h(x)min>0，即h(3)＝a>0，所以a的取值范围是(0，＋∞).
二、多选题
7. 下列关于函数f(x)＝(2x－x2)ex的判断正确的是( )
A.f(x)>0的解集是{x|0B.f(－)是极小值，f()是极大值
C.f(x)没有最小值，也没有最大值
D.f(x)有最大值无最小值
【解析】由f(x)>0得0f′(x)＝(2－x2)ex，
令f′(x)＝0，得x＝±，
当x<－或x>时，f′(x)<0，
当－0，
∴当x＝－时，f(x)取得极小值，
当x＝时，f(x)取得极大值，故B正确.
当x→－∞时，f(x)<0，当x→＋∞时，
f(x)<0，且f()>0，
结合函数的单调性可知，函数f(x)有最大值无最小值，故C不正确，D正确.
8. 下列关于函数f (x)＝(2x－x2)ex的判断正确的是( )
A．f (x)>0的解集是{x|0B．f (－)是极小值，f ()是极大值
C．f (x)无最小值，有最大值
D．f (x)有最小值，无最大值
【解析】由f (x)>0，得0时，f ′(x)<0，当－0，所以当x＝－时，f (x)取得极小值，当x＝时，f (x)取得极大值，故B正确。当x→－∞时，f (x)<0，当x→＋∞时，f (x)<0，且f ()>0，结合函数的单调性可知，函数f (x)有最大值无最小值，故C正确，D不正确.
三、填空题
9. 函数f (x)＝x3＋x2－2x＋3，x∈[－3,4]的最大值为________，最小值为________
【解析】f ′(x)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，令f ′(x)＝0，得x＝1或x＝－2.因为f (－3)＝，f (－2)＝，f (1)＝，f (4)＝，所以f (x)max＝，f (x)min＝.
10. 函数f(x)＝x－ln x在区间(0，e]上的最小值为________．
【解析】f′(x)＝1－，令f′(x)＝0，得x＝1.
当x∈(0，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，e]时，f′(x)＞0，所以当x＝1时，f(x)有极小值，也是最小值，最小值为f(1)＝1.
11. 函数f(x)＝x3－3x在区间(－2，m)上有最大值，则m的取值范围是
【解析】由于f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，故函数在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减，f(－1)＝f(2)＝2，画出函数图象如图所示，由于函数在区间(－2，m)上有最大值，根据图象可知m∈(xB，xA]，即m∈(－1，2].
解答题
12. 求下列函数的最值：
(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]；
(2)f(x)＝x＋sin x，x∈[0,2π]．
【解析】(1)因为f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]，
所以f′(x)＝6x2－12
＝6(x＋)(x－)，
令f′(x)＝0，
解得x＝－ 或x＝.
因为f(－2)＝8，f(3)＝18，
f()＝－8，f(－)＝8，
所以当x＝时，
f(x)取得最小值－8；
当x＝3时，
f(x)取得最大值18.
(2)f′(x)＝＋cos x，令f′(x)＝0，
又x∈[0,2π]，
解得x＝或x＝.
因为f(0)＝0，f(2π)＝π，f ＝＋，
f ＝－.
所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；
当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.
13. 已知函数f(x)＝ex－e(ln x＋1)，求证f(x)≥0恒成立．
【解析】由题意知f′(x)＝ex－＝，
设F＝xex－e，则F(x)在(0，＋∞)上单调递增，且F＝0.
当x∈时，F<0，
∴f′＝<0，f单调递减，
当x∈时，F>0，
∴f′＝>0，f单调递增．
f的最小值为fmin＝f＝0，
∴f≥0恒成立．
14. 已知函数f(x)＝aln x－bx2，a，b∈R，且曲线y＝f(x)在x＝1处与直线y＝－相切．
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)在上的最大值．
【解析】(1)f′(x)＝－2bx(x>0)．
由曲线y＝f(x)在x＝1处与直线y＝－相切，
得即解得
(2)由(1)，得f(x)＝ln x－x2，定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝－x＝.
令f′(x)>0，得0令f′(x)<0，得x>1，
所以f(x)在上单调递增，在(1，e]上单调递减，
所以f(x)在上的最大值为f(1)＝－.5.3.2第2课时函数的最大(小)值与导数课后同步检测（基础卷）
一、单选题
1. 函数y＝x－sin x，x∈的最大值是( )
A.π－1 B.－1 C.π D.π＋1
2. 函数f(x)＝x3－3x(|x|＜1)( )
A.有最值，但无极值
B.有最值，也有极值
C.既无最值，也无极值
D.无最值，但有极值
3. 当0A.f2B.fC.fD.f4. 已知函数f (x)，g(x)均为[a，b]上的连续可导函数，且f ′(x)A．f (a)－g(a) B．f (b)－g(b)
C．f (a)－g(b) D．f (b)－g(a)
5. 已知f (x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是( )
A．－37 B．－29
C．－5 D．－3
6. 函数f (x)＝x3－x2＋a，函数g(x)＝x2－3x，它们的定义域均为[1，＋∞)，并且函数f (x)的图象始终在函数g(x)图象的上方，那么a的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C. D.
二、多选题
7. 下列关于函数f(x)＝(2x－x2)ex的判断正确的是( )
A.f(x)>0的解集是{x|0B.f(－)是极小值，f()是极大值
C.f(x)没有最小值，也没有最大值
D.f(x)有最大值无最小值
8. 下列关于函数f (x)＝(2x－x2)ex的判断正确的是( )
A．f (x)>0的解集是{x|0B．f (－)是极小值，f ()是极大值
C．f (x)无最小值，有最大值
D．f (x)有最小值，无最大值
三、填空题
9. 函数f (x)＝x3＋x2－2x＋3，x∈[－3,4]的最大值为________，最小值为________
10. 函数f(x)＝x－ln x在区间(0，e]上的最小值为________．
11. 函数f(x)＝x3－3x在区间(－2，m)上有最大值，则m的取值范围是
解答题
12. 求下列函数的最值：
(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]；
(2)f(x)＝x＋sin x，x∈[0,2π]．
13. 已知函数f(x)＝ex－e(ln x＋1)，求证f(x)≥0恒成立．
14. 已知函数f(x)＝aln x－bx2，a，b∈R，且曲线y＝f(x)在x＝1处与直线y＝－相切．
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)在上的最大值．
