5.3.2第3课时含参数的函数的最值课后同步检测（基础卷）
一、单选题
1. 已知函数f(x)＝ax3＋c，且f′＝6，函数在[1，2]上的最大值为20，则c的值为( )
A.1 B.4 C.－1 D.0
2. 函数f＝的最大值为( )
A.a B.e
C.e1－a D.ea－1
3. 若函数y＝x3＋x2＋m在[－2，1]上的最大值为，则m等于( )
A.0 B.1 C.2 D.
4. 函数f(x)＝3x－x3在[0，m]上的最大值为2，最小值为0，则实数m的取值范围为( )
A.[1，] B.[1，＋∞)
C.(1，] D.(1，＋∞)
5. 函数f(x)＝x3－3ax－a在(0，1)内有最小值，则a的取值范围为( )
A．0≤a<1 B．0
C．－16. 若函数f(x)＝2x3－6x2＋3－a对任意的x∈(－2，2)都有f(x)≤0，则a的取值范围为( )
A.(－∞，3) B．(2，＋∞)
C.[3，＋∞) D．(0，3)
二、多选题
7. 函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的值可以为( )
A．0 B. C. D．1
8. 已知不等式(x－2)ex≥a对任意的x∈R恒成立，则满足条件的整数a的可能值为( )
A．－4 B．－3 C．－2 D．－1
三、填空题
9. 已知函数f (x)＝－x3＋2ax2＋3x(a>0)的导数f ′(x)的最大值为5，则在点(1，f (1))处的切线方程是________
10. 已知函数f (x)＝2ln x＋(a>0)。若当x∈(0，＋∞)时，f (x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________
11. 已知a≤4x3＋4x2＋1对任意x∈[－1，1]都成立，则实数a的取值范围是________．
解答题
12. 已知a为常数，求函数f(x)＝－x3＋3ax(0≤x≤1)的最大值．
13. 已知函数f (x)＝aex－ln x－1.
(1)设2是f (x)的极值点，求a的值，并求f (x)的单调区间；
(2)证明：当a≥时，f (x)≥0
14. 已知函数f(x)＝2x3－3ax2－2，其中a∈R.
(1)若a＝1，求f(x)在[0，2]上的最大值和最小值；
(2)若x＝2是函数f(x)的一个极值点，求实数a的值．5.3.2第3课时含参数的函数的最值课后同步检测（基础卷）
一、单选题
1. 已知函数f(x)＝ax3＋c，且f′＝6，函数在[1，2]上的最大值为20，则c的值为( )
A.1 B.4 C.－1 D.0
【解析】由题意得，f′(x)＝3ax2，
则f′(1)＝3a＝6，解得a＝2，
所以f′(x)＝6x2≥0，
故f(x)在[1，2]上单调递增，
则f(2)＝2×23＋c＝20，解得c＝4.
2. 函数f＝的最大值为( )
A.a B.e
C.e1－a D.ea－1
【解析】f(x)＝，则f′＝，
所以当x<1－a时，f′>0，
当x>1－a时，f′<0，
所以f(x)在(－∞，1－a)上单调递增，在(1－a，＋∞)上单调递减，
所以fmax＝f＝ea－1.
3. 若函数y＝x3＋x2＋m在[－2，1]上的最大值为，则m等于( )
A.0 B.1 C.2 D.
【解析】y′＝3x2＋3x＝3x(x＋1)，
易知当－1当－20，
所以函数y＝x3＋x2＋m在(－2，－1)，(0，1)上单调递增，在(－1，0)上单调递减，又当x＝－1时，y＝m＋，
当x＝1时，y＝m＋，
所以最大值为m＋＝，解得m＝2.
4. 函数f(x)＝3x－x3在[0，m]上的最大值为2，最小值为0，则实数m的取值范围为( )
A.[1，] B.[1，＋∞)
C.(1，] D.(1，＋∞)
【解析】∵f(x)＝3x－x3，
∴f′(x)＝3－3x2＝3(1＋x)(1－x)，
令f′(x)＝0，则x＝1或x＝－1(舍去)，
当0≤x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减.
∵函数f(x)在[0，m]上的最大值为2，最小值为0，且f(0)＝f()＝0，f(1)＝2，如图所示，
∴1≤m≤.
5. 函数f(x)＝x3－3ax－a在(0，1)内有最小值，则a的取值范围为( )
A．0≤a<1 B．0C．－1【解析】因为f′(x)＝3x2－3a，则f′(x)＝0有解，可得a＝x2.
又因为x∈(0，1)，所以06. 若函数f(x)＝2x3－6x2＋3－a对任意的x∈(－2，2)都有f(x)≤0，则a的取值范围为( )
A.(－∞，3) B．(2，＋∞)
C.[3，＋∞) D．(0，3)
【解析】f(x)＝2x3－6x2＋3－a，f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
在(－2，0)上f′(x)＞0，f(x)单调递增；
在(0，2)上f′(x)＜0，f(x)单调递减，
所以f(x)max＝f(0)＝3－a.因为对任意的x∈(－2，2)都有f(x)≤0，
所以f(x)max＝3－a≤0，得a≥3.
二、多选题
7. 函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的值可以为( )
A．0 B. C. D．1
【解析】∵f′(x)＝3x2－3a，
且f′(x)＝0有解，∴a＝x2.
又∵x∈(0,1)，∴08. 已知不等式(x－2)ex≥a对任意的x∈R恒成立，则满足条件的整数a的可能值为( )
A．－4 B．－3 C．－2 D．－1
【解析】令f＝ex，则a≤f(x)min.
f′(x)＝(x－1)ex，当x<1时，f′(x)<0；
当x>1时，f′(x)>0.
所以，函数y＝f(x)的单调递减区间为(－∞，1)，单调递增区间为(1，＋∞)，
所以f(x)min＝f(1)＝－e，所以a≤－e.
因此，满足条件的整数a的可能值为－4，－3.
三、填空题
9. 已知函数f (x)＝－x3＋2ax2＋3x(a>0)的导数f ′(x)的最大值为5，则在点(1，f (1))处的切线方程是________
【解析】因为f ′(x)＝－2x2＋4ax＋3＝－2(x－a)2＋3＋2a2，所以f ′(x)max＝3＋2a2＝5，因为a>0，所以a＝1.所以f ′(x)＝－2x2＋4x＋3，f ′(1)＝－2＋4＋3＝5。又f (1)＝－＋2＋3＝，所以所求切线方程为y－＝5(x－1)，即15x－3y－2＝0.
10. 已知函数f (x)＝2ln x＋(a>0)。若当x∈(0，＋∞)时，f (x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________
【解析】f (x)≥2，即a≥2x2－2x2ln x.令g(x)＝2x2－2x2ln x，x>0，则g′(x)＝2x(1－2ln x)。由g′(x)＝0得x＝e，且当00；当x>e，g′(x)<0，所以当x＝e时，g(x)取最大值g(e)＝e，所以a≥e.
11. 已知a≤4x3＋4x2＋1对任意x∈[－1，1]都成立，则实数a的取值范围是________．
【解析】设f(x)＝4x3＋4x2＋1，则f′(x)＝12x2＋8x＝4x(3x＋2)，由f′(x)＝0得x＝－或x＝0.
又f(－1)＝1，＝，f(0)＝1，f(1)＝9，
故f(x)在[－1，1]上的最小值为1.
故a≤1.
解答题
12. 已知a为常数，求函数f(x)＝－x3＋3ax(0≤x≤1)的最大值．
【解析】f′(x)＝－3x2＋3a＝－3(x2－a)．
若a≤0，则f′(x)≤0，函数f(x)单调递减，
所以当x＝0时，f(x)有最大值f(0)＝0.
若a>0，则令f′(x)＝0，解得x＝±.
因为x∈[0,1]，
所以只考虑x＝的情况．
①若0<<1，即0x 0 (0，) (，1) 1
f′(x) ＋ 0 －
f(x) 0 ↗ 2a ↘ 3a－1
②若≥1，即a≥1，则当0≤x≤1时，f′(x)≥0，函数f(x)在[0,1]上单调递增，当x＝1时，f(x)有最大值f(1)＝3a－1.
综上可知，当a≤0，x＝0时，f(x)有最大值0，
当0当a≥1，x＝1时，f(x)有最大值3a－1.
13. 已知函数f (x)＝aex－ln x－1.
(1)设2是f (x)的极值点，求a的值，并求f (x)的单调区间；
(2)证明：当a≥时，f (x)≥0
【解析】(1)函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，
f ′(x)＝aex－.
由题设，知f ′(2)＝0，所以a＝.
从而f (x)＝ex－ln x－1，
f ′(x)＝ex－。
当0当x>2时，f ′(x)>0.
所以f (x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，＋∞).
(2)证明：当a≥时，f (x)≥－ln x－1.
设g(x)＝－ln x－1，
则g′(x)＝－.
当0当x>1时，g′(x)>0.
所以1是g(x)的极小值点，也是最小值点。
故当x>0时，g(x)≥g(1)＝0.
因此，当a≥时，f (x)≥0.
14. 已知函数f(x)＝2x3－3ax2－2，其中a∈R.
(1)若a＝1，求f(x)在[0，2]上的最大值和最小值；
(2)若x＝2是函数f(x)的一个极值点，求实数a的值．
【解析】(1)当a＝1时，f(x)＝2x3－3x2－2，f′(x)＝6x2－6x，
令f′(x)＝6x2－6x＝0，得x1＝0，x2＝1，
列表：
x 0 (0，1) 1 (1，2) 2
f′(x) 0 － 0 ＋
f(x) －2 减 －3 增 2
由表可知，函数f(x)在[0，2]上最大值为2，最小值为－3.
(2)f′(x)＝6x2－6ax，因为x＝2是函数f(x)的一个极值点，
所以f′(2)＝0，解得a＝2.
当a＝2时，f′(x)＝6x2－12x，令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝2.
列表：
x 0 (0，2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 增 极大 值f(0) 减 极小 值f(2) 增
因此，当a＝2时，x＝2是函数f的一个极值点．