第十六章 专题七 二次根式相关的最值与应用 核心考点训练（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
第十六章 二次根式
专题七 二次根式相关的最值与应用
01．对于任意正实数，只有当时，等号成立．结论：在(均为正实数)中，若为定值，则，只有当时，有最小值．根据上述内容，回答下列问题：
(1)初步探究：若，只有当时，有最小值；
(2)深入思考：下面一组图是由4个全等的矩形围成的大正方形，中空部分是小正方形，矩形的长和宽分别为，试利用大正方形与四个矩形的面积的大小关系，验证，并指出等号成立时的条件．
(3)拓展延伸：如图，已知，点是第一象限内的一个动点，过点向坐标轴作垂线，分别交轴和轴于两点，矩形的面积始终为48，求四边形面积的最小值以及此时点的坐标．
02．由得，；如果两个正数，即，则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号．
例如：已知，求式子的最小值．
解：令，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4．
请根据上面材料回答下列问题：
(1)当，式子的最小值为；当，则当时，式子取到最大值；
(2)用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙(墙长20米)，问这个长方形的长，宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少
(3)如图，四边形的对角线相交于点的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值．
专题七二次根式相关的最值与应用
8.12
解:(2),显然,即成立等号当且仅当小正方形面积为0;此时,即时成立.
（3）假设.
,
.
四边形面积的最小值为96,此时,解得或.
(舍去),,即点坐标为.
9.2.
解:(2)设这个长方形的长为,宽为,
这个花园的周长为.
,当且仅当时,等号成立.
长方形的长为,宽为,此时所用篱笆最短,为.(3)设,
由等高三角形可知:,
,
.
当且仅当时,等号成立,
四边形面积的最小值为.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)