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专题三 电磁感应中的
电路、电荷量及图像问题
课堂探究评价
课后课时作业
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口专题三 电磁感应中的电路、电荷量及图像问题
课题任务 电磁感应中的电路问题
1．对电源的理解：在电磁感应现象中，产生感应电动势的那部分导体就是电源。如：切割磁感线的导体棒、内有磁通量变化的线圈等。这种电源将其他形式的能量转化为电能。
对于感应电流和感应电动势的方向，都是对“相当于电源”的部分，根据右手定则或楞次定律判定的。实际问题中应注意外电路电流由高电势流向低电势，而内电路则相反。
2．对电路的理解：内电路是切割磁感线的导体或磁通量发生变化的线圈，外电路由电阻、电容等电学元件组成。
在闭合电路中，“相当于电源”的导体两端的电压与真实的电源两端的电压一样，等于路端电压，而不等于感应电动势。
3．问题分类
(1)确定等效电源的正负极、感应电流的方向、电势高低、电容器极板带电性质等问题。
(2)根据闭合电路规律求解电路中的总电阻、路端电压、电功率等问题。
例1 如图所示，半径为r＝1 m的光滑金属圆环固定在水平面内，垂直于环面的匀强磁场的磁感应强度大小为B＝2.0 T，一金属棒OA在外力作用下绕过O点且垂直于环面的轴以角速度ω＝2 rad/s沿逆时针方向匀速转动，金属环和导线电阻不计，金属棒OA电阻r0＝1 Ω，电阻R1＝2 Ω，R2＝3 Ω，R3＝7.5 Ω，电容器的电容C＝4 μF。闭合开关S，电路稳定后，求：
(1)通过金属棒OA的电流大小和方向；
(2)外力的功率；
(3)断开开关S到电路稳定，这一过程中通过电流表的电荷量。
[规范解答] (1)由右手定则判定通过金属棒OA的电流方向是由A到O，
金属棒OA产生的感应电动势大小为E＝Br2ω
S闭合时的等效电路如图所示
R外＝＝3 Ω
由闭合电路的欧姆定律，得
E＝I(r0＋R外)
联立解得I＝0.5 A。
(2)根据能量守恒定律，外力的功率为P＝IE＝1 W。
(3)S断开前，电路路端电压为U＝IR外
电阻R1两端电压为U1＝ U＝0.6 V
电容器C的电荷量为Q1＝CU1＝2.4×10－6 C
且a板带正电，b板带负电。
S断开时的等效电路如图所示
电容器C两端电压等于电阻R2两端电压U2，则
U2＝R2＝1 V
电容器C的电荷量为Q2＝CU2＝4×10－6 C
且a板带负电，b板带正电。
断开S到电路稳定的过程中，通过电流表的电荷量为ΔQ＝Q1＋Q2
联立解得：ΔQ＝6.4×10－6 C。
[完美答案] (1)0.5 A 方向由A到O (2)1 W (3)6.4×10－6 C
模型点拨
解决电磁感应中电路问题的基本步骤
1 确定电源。切割磁感线的导线或磁通量发生变化的回路将产生感应电动势，该导线或回路就相当于电源，利用或E＝Blv、E＝求感应电动势的大小，利用右手定则或楞次定律判断电流方向。
2 分析电路结构 内、外电路及外电路的串、并联关系 ，画出等效电路图。
3 利用电路规律求解。主要应用欧姆定律及串、并联电路的基本性质等列方程求解。
规律点拨
注意：对于含电容器的电路，知道电容器在电路中充、放电的原理，电容器在稳定电路中相当于断路，可以通过对电路的分析，计算电容器两极板间的电压和充、放电的电荷量。
如图所示，PN与QM两平行金属导轨相距L＝1 m，电阻不计，两端分别接有电阻R1和R2，且R1＝6 Ω，ab杆的电阻为r＝2 Ω，在导轨上可无摩擦地滑动，垂直穿过导轨平面的匀强磁场的磁感应强度为B＝1 T。现ab以恒定速度v＝3 m/s匀速向右移动，这时ab杆上消耗的电功率与R1、R2消耗的电功率之和相等，求：
(1)R2的阻值。
(2)R1与R2消耗的电功率分别为多少？
(3)拉ab杆的水平向右的外力F为多大？
答案 (1)3 Ω (2)0.375 W 0.75 W (3)0.75 N
解析 (1)内、外电路功率相等，则内、外电路电阻相等，有＝r
解得R2＝3 Ω。
(2)感应电动势大小为E＝BLv＝1×1×3 V＝3 V
路端电压为U＝E＝1.5 V
R1消耗的功率P1＝＝ W＝0.375 W
R2消耗的功率P2＝＝ W＝0.75 W。
(3)ab中的电流I＝
则拉ab杆的水平向右的外力为F＝F安＝BIL＝0.75 N。
课题任务 电磁感应中的电荷量问题
利用平均电流求解电磁感应中的电荷量
求解电荷量的公式推导：
电荷量表达式：q＝Δt；
由闭合电路欧姆定律得：＝；
由法拉第电磁感应定律得：＝n；
综合上面三式，得
q＝Δt＝Δt＝nΔt＝n。
例2 如图所示，导线全部为裸导线，半径为r的圆内有垂直于圆平面的匀强磁场，磁感应强度为B，一根长度大于2r的导线MN以速率v在圆环上无摩擦地自左端匀速滑动到右端，电路的固定电阻为R，其余电阻不计，求MN从圆环的左端滑到右端的过程中，通过电阻R的电荷量。
[规范解答] 本题直导线MN是在圆环上匀速滑动，粗看起来是“切割”类型，要用E＝Blv求解，但导线MN切割磁感线的有效长度在不断变化，用E＝Blv难以求平均感应电动势，只能用E＝n计算平均电动势和平均电流及电荷量。直导线MN、圆环和电阻R组成闭合回路，磁通量变化为ΔΦ＝Bπr2，所用时间Δt＝，根据法拉第电磁感应定律＝n，通过电阻R的平均电流＝＝，又因为在本题中n＝1，通过电阻R的电荷量q＝Δt＝＝。
[完美答案]
模型点拨
由q＝n\f(ΔΦ,R＋r)，可知电荷量与磁通量变化的快慢无关，只取决于n、ΔΦ和R总。
如图所示，矩形线圈abcd面积为S，匝数为N，电阻为r，在磁感应强度为B的匀强磁场中绕OO′轴以角速度ω匀速转动，外电路电阻为R，当线圈由图示位置转过60°的过程中，通过电阻R的电荷量为________。
答案
解析 根据法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律和电荷量表达式，得q＝Δt＝＝N＝。
课题任务 电磁感应中的图像问题
电磁感应中的图像问题综合了法拉第电磁感应定律(计算感应电动势的大小)、楞次定律和右手定则(判断感应电流方向)、动力学知识(判定运动时间以及速度等)等，是对电磁感应知识的综合考查。
1．思路导图
2．分析方法
对图像的分析，应做到“四明确一理解”：
(1)明确图像所描述的物理意义；明确各种“＋”“－”的含义；明确斜率的含义；明确图像和电磁感应过程之间的对应关系。
(2)理解三个相似关系及其各自的物理意义：
v—Δv—，B—ΔB—，Φ—ΔΦ—。
3．电磁感应中图像类选择题的两种常见解法
(1)排除法：定性地分析电磁感应过程中物理量的变化趋势(增大还是减小)、变化快慢(均匀变化还是非均匀变化)，特别是物理量的正负，排除错误的选项。
(2)函数法：根据题目所给条件定量地写出两个物理量之间的函数关系，然后由函数关系对图像作出分析和判断，这未必是最简捷的方法，但却是最有效的方法。
例3 (多选)如图所示，在竖直方向的磁感应强度为B的匀强磁场中，金属框架ABCD固定在水平面内，AB与CD平行且足够长，BC与CD夹角为θ(θ<90°)，光滑导体棒EF(在ABCD平面内且垂直于CD)在外力作用下以垂直于自身的速度v向右匀速运动，框架中的BC部分与导体棒单位长度的电阻均为R，AB与CD的电阻不计，导体棒在滑动过程中始终保持与框架良好接触，经过C点瞬间作为计时起点，下列关于电路中电流大小I与时间t、消耗的电功率P与导体棒水平移动的距离x变化规律的图像中正确的是( )
[规范解答] 导体棒在BC导轨间运动时E＝Bvttanθ·v＝Bv2ttanθ，回路中电阻R总＝(vttanθ)R＋R，回路中电流I＝＝是定值；导体棒在AB、CD平行导轨间运动时E′＝BLv，L为AB、CD平行导轨的间距，R总′＝LR＋R，I′＝＝是定值，A正确，B错误。导体棒未离开BC时电路中消耗的电功率P＝I2R总＝I2Rx，P与x成正比；导体棒离开BC段导轨后在AB与CD平行导轨间运动时，电路中消耗的电功率P′＝I′2R总′，I′一定，R总′一定，P′是定值，C错误，D正确。
[完美答案] AD
模型点拨
解决图像问题的一般步骤
1 明确图像的种类，即是B t图像还是Φ t图像，或者E t图像、i t图像等。
2 分析电磁感应的具体过程。
3 用右手定则或楞次定律等确定各物理量的方向对应关系。
4 结合法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、牛顿运动定律等规律写出函数关系式。
5 根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等。
6 画图像或判断图像。
一圆形线圈位于一随时间t变化的匀强磁场内，磁场方向垂直线圈所在的平面(纸面)，以向里为正方向，如图甲所示。规定线圈上电流沿顺时针方向时为正，则当磁场按图乙变化时，线圈中电流随时间变化的i t图像正确的是( )
答案 D
解析 由法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律得I＝＝＝·，所以线圈中的感应电流大小决定于磁感应强度B随t的变化率。由图乙可知，0～1 s时间内，B增大，Φ增大，感应电流的磁场方向向外，由安培定则知感应电流是逆时针的，可判断0～1 s电流为负的恒定值；同理，1～3 s为正的恒定值，3～5 s为零，5～6 s为负的恒定值。故D正确。
1．电吉他是利用电磁感应原理工作的一种乐器。如图甲为电吉他的拾音器的原理图，在金属弦的下方放置有一个连接到放大器的螺线管。一条形磁体固定在管内，当拨动金属弦后，螺线管内就会产生感应电流，经一系列转化后可将电信号转为声音信号。若由于金属弦的振动，螺线管内的磁通量随时间的变化如图乙所示，则对应感应电流的变化为( )
答案 B
解析 由感应电流公式I＝＝n，感应电流大小与磁通量的变化率有关，在Φ t图线上各点切线的斜率的绝对值正比于感应电流的大小，斜率的正、负号表示感应电流的方向；根据图乙，感应电流的图像应为余弦函数图像，在0～t0时间内，感应电流I的大小先减小到零，然后再逐渐增大，电流的方向改变一次，B符合要求。
2. (2020·吉林省长春市田家炳实验中学高二上学期期末)用均匀导线做成的正方形线框边长为0.2 m，正方形的一半放在垂直纸面向里的匀强磁场中，如图所示，当磁场以10 T/s的变化率增强时，线框中a、b两点的电势差是( )
A．Uab＝0.1 V B．Uab＝－0.1 V
C．Uab＝0.2 V D．Uab＝－0.2 V
答案 B
解析 由于磁场是均匀增强的，而原磁场的方向垂直纸面向里，由楞次定律可知，线框中感应电流产生的磁场方向垂直纸面向外，再由右手螺旋定则可知，线框中的感应电流方向沿逆时针方向，故a点电势小于b点电势，a、b两点间的电势差是负值，故A、C错误；线框产生的感应电动势E＝＝·S＝10 T/s××(0.2 m)2＝0.2 V，故Uab＝－＝－＝－0.1 V，B正确。
3．矩形导线框abcd放在匀强磁场中，磁感线方向与线圈平面垂直，磁感应强度B随时间变化的图像如图所示，t＝0时刻，磁感应强度的方向垂直纸面向里。若规定导线框中感应电流沿逆时针方向为正，则在0～4 s时间内，线框中的感应电流I以及线框的ab边所受安培力F随时间变化的图像为图中的(安培力取向上为正)( )
答案 C
解析 由图可知，0～2 s内，线框中磁通量的变化率不变，故0～2 s内电流的方向不变，由楞次定律可知，电流方向为顺时针，即电流为负；同理可知，2～4 s内电流方向为逆时针，由E＝＝S可知，两段时间内电流大小相等，A、B错误。电流大小恒定不变，故由F＝BIl可知，安培力大小与B成正比，再由左手定则知，C正确，D错误。
4. 如图所示，两根平行光滑导轨竖直放置，相距L＝0.1 m，处于垂直轨道平面的匀强磁场中，磁感应强度B＝10 T，质量m＝0.1 kg、电阻为R＝2 Ω的金属杆ab接在两导轨间，在开关S断开时让ab自由下落，ab下落过程中，始终保持与导轨垂直并与之接触良好，设导轨足够长且电阻不计，取g＝10 m/s2，当下落h＝0.8 m时，开关S闭合。若从开关S闭合时开始计时，则ab下滑的速度v随时间t变化的图像是图中的( )
答案 D
解析 开关S闭合时，金属杆的速度v＝＝4 m/s，感应电动势E＝BLv，感应电流I＝，安培力F＝BIL，联立解出F＝2 N。因为F>mg＝1 N，故ab杆做减速直线运动，速度减小，安培力也减小，加速度越来越小，最后加速度减为零，ab做匀速直线运动，故D正确。
5. (2020·湖北省十堰市高二上学期期末)如图所示，水平匀强磁场的理想边界MN和PQ均竖直，等腰直角三角形闭合导线框的直角边恰好和磁场宽度相同。从线框右顶点刚进入磁场开始计时，若线框匀速通过磁场(线框的一条直角边与边界平行)，取感应电流沿逆时针方向时为正，则下列四幅图中，能正确反映线框中的电流随时间的变化关系的是( )
答案 D
解析 感应电流大小i＝，线框做匀速直线运动，有效切割长度发生变化，电流就发生变化；设线框的直角边长为L，运动速度为v，0～时间内，由右手定则判断可知，感应电流方向沿逆时针方向，i是正值，线框切割磁感线的有效长度l均匀增加，则电流i均匀增加；～时间内，由右手定则判断可知，感应电流方向沿顺时针方向，i是负值，线框切割磁感线的有效长度l均匀增加，则电流i均匀增加，故选D。
6. (多选)如图所示，虚线右侧存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外，正方形金属框电阻为R，边长是L，开始计时时线框右边与磁场左边界重合，同时使线框在外力作用下由静止开始，以垂直于磁场边界的恒定加速度a进入磁场区域，t1时刻线框全部进入磁场。若外力大小为F，线框中电功率的瞬时值为P，线框磁通量的变化率为，通过导体横截面的电荷量为q，则下列各图中(其中P t图像为抛物线)表示这些量随时间变化的关系正确的是( )
答案 BD
解析 线框做匀加速运动，其速度v＝at，感应电动势E＝BLv，线框进入磁场过程中受到的安培力F安＝BIL＝＝，由牛顿第二定律得F－＝ma，则F＝＋ma，故A错误；线框中的感应电流I＝＝，线框的电功率P＝I2R＝t2，B正确；线框的位移x＝at2，t时刻磁通量的变化率＝E＝BLat，C错误；电荷量q＝·Δt＝·Δt＝·Δt＝＝＝＝·t2，D正确。
7．(多选)如图1所示，在竖直方向分布均匀的磁场中水平放置一个金属圆环，圆环所围面积为0.1 m2，圆环电阻为0.2 Ω。在第1 s内感应电流I沿顺时针方向，磁场的磁感应强度B随时间t的变化规律如图2所示(其中在4～5 s时间段呈直线)。则( )
A．在0～5 s时间段，感应电流先减小再增大
B．在0～2 s时间段感应电流沿顺时针方向，在2～5 s时间段感应电流沿逆时针方向
C．在0～5 s时间段，线圈最大发热功率为5.0×10－4 W
D．在0～2 s时间段，通过圆环横截面的电荷量为5.0×10－1 C
答案 BC
解析 根据法拉第电磁感应定律及闭合电路欧姆定律得I＝＝，知磁感应强度的变化率越大，则感应电流越大，则在0～5 s时间段，感应电流先减小再增大，最后不变，A错误。由题意知，在第1 s内感应电流I沿顺时针方向，根据楞次定律知，磁场方向向上为正方向；在0～2 s时间段感应电流沿顺时针方向，在2～5 s时间段，根据楞次定律知感应电流的方向为逆时针，B正确。在0～5 s时间段，当电流最大时，发热功率最大，磁感应强度变化率最大值为0.1 T/s，则最大电流Im＝0.05 A，则Pm＝IR＝0.052×0.2 W＝5×10－4 W，C正确。在0～2 s时间段，通过圆环横截面的电荷量为q＝＝ C＝0.05 C，D错误。
8．有一个n＝1200匝的线圈，在t＝0.24 s内穿过它的磁通量从Φ1＝0.020 Wb均匀增加到Φ2＝0.064 Wb。求：
(1)线圈中的感应电动势E；
(2)如果线圈的总电阻r＝10 Ω，把它跟一个电阻R＝90 Ω的电热器串联组成闭合电路时，通过电热器的电流I。
答案 (1)220 V (2)2.2 A
解析 (1)由题可知：n＝1200匝，Δt＝t＝0.24 s，ΔΦ＝(0.064－0.020) Wb＝0.044 Wb，
根据法拉第电磁感应定律得感应电动势为
E＝n＝1200× V＝220 V。
(2)由闭合电路欧姆定律得通过电热器的电流为
I＝＝ A＝2.2 A。
9．(2019·宜宾市叙州区第二中学高二期末)如图所示，在磁感应强度为B的匀强磁场的边界上固定放有一半径为L的金属圆环，长度为L、电阻为r0的金属棒OA绕过圆环圆心O且垂直圆环面的转轴在电阻为4r0的圆环上滑动，外电阻R1＝R2＝4r0，其他电阻不计。如果OA棒以某一角速度顺时针匀速转动时电阻R1的电功率最小值为P0。
(1)画出等效电路图；
(2)求OA棒匀速转动的角速度。
答案 (1)图见解析 (2)
解析 (1)OA棒顺时针转动，相当于电源，由右手定则可知，OA棒中感应电流从O到A，所以A为电源正极，O为电源负极。等效电路图如图所示。
(2)由题意可知，OA棒转动时感应电动势为：
E＝BL2ω
棒转动时，R1的电功率变化，当棒的A端处于环的最上端时，圆环接入电路的总电阻最大，电路中电流最小，R1的电功率最小。
此时有：r1＝r2＝2r0
电路中的总电阻为：
R＝r0＋＋＝r0＋r0＋2r0＝4r0
R1的最小电功率为：P0＝2R1＝
可解得：ω＝。
10．如图a所示，横截面积为S＝0.10 m2、匝数为N＝120匝的闭合线圈放在平行于线圈轴线的匀强磁场中，该匀强磁场的磁感应强度B随时间t变化的规律如图b所示。线圈电阻为r＝1.2 Ω，电阻R＝4.8 Ω。求：
(1)线圈中的感应电动势；
(2)从t1＝0到t2＝0.3 s时间内，通过电阻R的电荷量q。
答案 (1)12 V (2)0.6 C
解析 (1)由B t图像知＝1 T/s
根据法拉第电磁感应定律得
E＝NS＝120×0.10×1 V＝12 V。
(2)由闭合电路欧姆定律得感应电流强度
I＝＝ A＝2 A
通过电阻R的电荷量为q＝IΔt＝2×0.3 C＝0.6 C。
11．如图a所示，一个电阻值为R、匝数为n的圆形金属线圈与阻值为2R的电阻R1连接成闭合回路。线圈的半径为r1。在线圈中半径为r2的圆形区域存在垂直于线圈平面的磁场，磁感应强度B随时间t变化的关系图线如图b所示。图线与横、纵轴的截距分别为t1和B0(取向里的磁场方向为正)，导线的电阻不计。求0至2t1时间内：
(1)通过电阻R1的电流大小和方向；
(2)通过电阻R1的电荷量q。
答案 (1) 方向由a到b (2)
解析 (1)根据法拉第电磁感应定律，产生的感应电动势为E＝＝n·S＝n(πr)
根据闭合电路欧姆定律，产生的感应电流为
I＝＝
根据楞次定律和安培定则，感应电流的方向由a到b。
(2)通过电阻R1的电荷量为q＝I·2t1＝。
12．如图所示，磁感应强度B＝0.2 T的匀强磁场中有一折成θ＝45°角的金属导轨aOb，导轨平面垂直磁场方向，一条直导线MN垂直Ob方向放置在导轨上并接触良好。当MN以v＝4 m/s的速度从导轨O点开始向右沿水平方向匀速运动时，若所有导线(轨)单位长度的电阻r＝0.1 Ω/m，求：
(1)经过时间t后，闭合回路的感应电动势的瞬时值；
(2)闭合回路中的电流大小和方向。
答案 (1)3.2t (2)2.34 A 方向为逆时针
解析 (1)设经过时间t，MN前进距离为x，则x＝vt，
MN在导轨之间有效切割长度为l＝xtanθ，
感应电动势为E＝Blv，
联立解得：E＝3.2t。
(2)由θ＝45°可知回路中总电阻
R＝r＝(2＋)xr，
由闭合电路的欧姆定律，得
I＝＝＝，
解得：I≈2.34 A，
由右手定则知电流方向为逆时针。
13．如图所示，有一范围足够大的匀强磁场，磁感应强度B＝0.2 T，磁场方向垂直纸面向里。在磁场中有一半径r＝0.4 m的金属圆环，磁场与圆环面垂直，圆环上分别接有灯L1、L2，两灯的电阻均为R0＝2 Ω。一金属棒MN与圆环接触良好，棒与圆环的电阻均忽略不计。
(1)若棒以v0＝5 m/s的速率在环上向右匀速滑动，求棒滑过圆环直径的瞬间MN中的电动势和流过灯L1的电流；
(2)撤去金属棒MN，若此时磁场随时间均匀变化，磁感应强度的变化率为＝ T/s，求回路中的电动势和灯L1的电功率。
答案 (1)0.8 V 0.4 A
(2)0.64 V 5.12×10－2 W
解析 (1)等效电路如图所示
棒滑过圆环直径的瞬间，MN中的电动势
E1＝B·2r·v0＝0.8 V
流过灯L1的电流I1＝＝0.4 A。
(2)若磁场随时间均匀变化，则圆环中产生感应电动势，相当于电源，与灯L1、L2串联，则
回路中的电动势E2＝·πr2＝0.64 V
回路中的电流I′＝＝0.16 A
灯L1的电功率P1＝I′2R0＝5.12×10－2 W。
14．如图甲所示，正六边形导线框abcdef放在匀强磁场中静止不动，边长L＝1 m，总电阻R＝3 Ω。磁场方向始终垂直线框平面，t＝0时刻，磁场方向向里。磁感应强度B随时间t的变化关系如图乙所示，设产生的感应电流在导线框中沿顺时针方向时为正，求：
(1)0～3 s时间内流过导体横截面的电荷量；
(2)画出0～6 s时间内感应电流I随时间t变化的图像。(不需要写出计算过程，只作图)
答案 (1)3 C (2)图见解析
解析 (1)由法拉第电磁感应定律有E＝S
由图像可知，0～3 s时间内磁感应强度的变化量ΔB＝6 T，
由几何关系可得回路面积为S＝ m2
回路中感应电流为I＝
0～3 s时间内流过导体横截面的电荷量为q＝IΔt
联立以上各式可求得q＝3 C。
(2)0～2 s内，磁场的方向垂直纸面向里，且磁通量逐渐减小，根据楞次定律，感应电流的方向为顺时针方向，I为正值；根据法拉第电磁感应定律，感应电流I＝，代入数值得I＝1 A。2～3 s内，磁场方向垂直纸面向外，且磁通量逐渐增大，根据楞次定律和法拉第电磁感应定律可知，感应电流为正值，大小为1 A。同理可得，3～6 s内，感应电流为负值，大小为1 A，故0～6 s时间内感应电流I随时间t变化的图像如图所示。
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