3．简谐运动的回复力和能量
1．明确回复力的概念和特点，掌握简谐运动的动力学特征。2.知道简谐运动中机械能守恒，能量大小与振幅有关。3.会分析水平弹簧振子中动能、势能的变化规律，能定性地说明势能与动能的转化过程。4.掌握简谐运动中位移、回复力、加速度、速度、动能、势能等各物理量的变化规律。
一、简谐运动的回复力
1．回复力的定义：使物体在平衡位置附近做往复运动的力。
2．简谐运动回复力的表达式：F＝－kx，即回复力的大小与物体的位移大小成正比，“－”表示回复力与位移方向始终相反。k是常数，对于弹簧振子，k为弹簧的劲度系数。
3．简谐运动的动力学定义：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。
二、简谐运动的能量
1．振动系统(弹簧振子)的状态与能量的对应关系：弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程。
(1)在最大位移处，势能最大，动能为零。
(2)在平衡位置处，动能最大，势能最小。
2．简谐运动的能量特点：在简谐运动中，系统的动能与势能之和一定，遵守机械能守恒定律。而实际的运动都有一定的能量损耗，所以简谐运动是一种理想化的模型。
3．对于弹簧劲度系数和小球质量都一定的系统，振幅越大，机械能越大。
判一判
(1)简谐运动是匀变速运动。( )
(2)简谐运动的回复力总是指向平衡位置。( )
(3)简谐运动的回复力可以是恒力。( )
(4)水平弹簧振子运动到平衡位置时，回复力为零，因此机械能一定为零。( )
(5)回复力的大小与速度大小无关，速度增大时，回复力可能增大，也可能减小。( )
(6)回复力的方向总是与速度的方向相反。( )
(7)弹簧振子位移最大时，势能也最大。( )
提示：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)× (7)√
想一想
(1)公式F＝－kx中的k是否就是指弹簧的劲度系数？
提示：不一定。做简谐运动的物体，其回复力F＝－kx，这是判断物体是否做简谐运动的依据，k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数。
(2)振子经过同一位置时，位移、回复力、加速度、速率、速度、动能、势能各物理量的关系如何？
提示：振子经过同一位置时，位移、回复力、加速度、速率、动能、势能一定相同，但速度不一定相同，速度大小一定相等，但方向可能相反。
课堂任务 简谐运动的回复力
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：图甲为弹簧振子的模型，请分析振子在运动过程中所受的力，这些力的合力有什么特点？合力的作用是什么？
提示：振子受重力、杆的支持力、弹簧弹力(平衡位置不受弹簧弹力)，其中重力与支持力平衡，合力等于弹簧弹力，根据弹簧弹力的特点，合力F＝－kx，即合力的方向指向平衡位置，与位移方向相反。合力的作用总是要把振子拉回到平衡位置。
活动2：如图甲所示，弹簧振子所受的合力称为简谐运动的回复力，如图乙所示的弹簧振子做竖直方向上的简谐运动时的回复力是什么？
提示：弹力和重力的合力充当弹簧振子的回复力。
活动3：图丙M、m保持相对静止(地面光滑)，对M、m这个整体是什么充当它们的回复力？对m呢？
提示：对M、m组成的整体，弹簧的弹力提供它们做简谐运动的回复力；单独对m而言，M给m的静摩擦力提供其做简谐运动的回复力。
1．回复力
使物体在平衡位置附近做往复运动的力，称为回复力，它的作用总是要把物体拉回到平衡位置。回复力是根据力的效果命名的，它可能由几个力的合力、某个力或某个力的分力提供。回复力一定等于物体在振动方向上所受的合力。
2．简谐运动的动力学特征：回复力F＝－kx。
(1)凡是满足F＝－kx的运动都是简谐运动。k是比例系数，并非一定是弹簧的劲度系数(水平弹簧振子中k为弹簧的劲度系数)，其值由振动系统决定，与振幅无关。
(2)“－”号表示回复力的方向与物体偏离平衡位置的位移的方向相反。
(3)判断一个物体是否做简谐运动，可找出回复力F与位移x之间的关系，若满足F＝－kx，则物体做简谐运动，否则就不是简谐运动。
3．简谐运动的运动学特征：加速度a＝－k′x。
(1)a＝＝－x可以简化为a＝－k′x。表示加速度也跟位移大小成正比，并总指向平衡位置。当然k′也可以写为k，这里用k′表示是为了与F＝－kx的比例系数相区别，k′＝。
(2)a＝－k′x表明简谐运动是变加速运动，且加速度和速度都在做周期性的变化。
(3)判断一个振动是否为简谐运动就看它是否满足动力学特征或运动学特征。F＝－kx与a＝－k′x都可以作为判断的依据。
例1 如图所示，在劲度系数为k、原长为l0的一端固定的弹簧下端挂一质量为m的小物块，释放后小物块做上下振动，此过程中弹簧没有超出弹性限度。证明：小物块的振动是简谐运动。
(1)物块在平衡位置时的受力有何特点？
提示：物块在平衡位置时，所受合外力为零，即kx0＝mg。
(2)物块运动时，回复力由谁来提供？
提示：回复力由重力与弹力的合力提供。
[规范解答] 如图所示，设物块静止在平衡位置O时，弹簧的形变量为x0，有mg＝kx0。当物块向下运动x时，物块所受重力与弹簧弹力的合力提供物块所需的回复力。
设向下为正方向，有F＝mg－k(x＋x0)＝－kx。
可见物块所受回复力的大小与位移的大小成正比，方向与位移方向相反，且指向平衡位置，因此小物块的振动是简谐运动。
[完美答案] 见规范解答
规律点拨
判断物体是否做简谐运动的一般方法
1 通过对位移的分析，列出位移—时间表达式，看看是否满足正弦函数的规律，如果满足，则物体做简谐运动。
2 对物体进行受力分析，求振动方向上的合力，看看此合力是否满足简谐运动的动力学特征F＝－kx，如果满足，则物体做简谐运动。
3 由运动学规律，求解振动的加速度，利用简谐运动的运动学特征进行判断。
(2020·河北承德一中高二月考) 如图所示，质量为m的物体A放置在质量为M的物体B上，B与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐运动，振动过程中A、B之间无相对运动，设弹簧的劲度系数为k，当物体离开平衡位置的位移为x时，A、B间摩擦力的大小等于( )
A．0 B．kx C.kx D.kx
答案 D
解析 以整体为研究对象，当物体离开平衡位置的位移为x时，回复力(即弹簧弹力)的大小为kx，此时A与B具有相同的加速度，根据牛顿第二定律kx＝(m＋M)a，得a＝。以A为研究对象，使其产生加速度的力即B对A的静摩擦力F，由牛顿第二定律可得F＝ma＝kx。故D正确。
课堂任务 简谐运动的能量
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：如图，作为一个振动系统，弹簧振子的势能与什么有关？动能与什么有关？
提示：弹簧振子的势能与弹簧的伸长量和压缩量有关，即与位移大小有关。动能与小球的速度大小有关。
活动2：从A开始运动的一个周期内动能和势能是如何变化的？
提示：从A→O的过程中，动能增大，势能减小；从O→B，动能减小，势能增大；从B→O，动能增大，势能减小；从O→A，动能减小，势能增大。在平衡位置处，动能最大，势能最小；在最大位移处，动能为零，势能最大。在一个周期内，动能和势能大小做两次周期性变化。
活动3：振子在A、B之间往复运动的过程中机械能守恒吗？为什么？
提示：振子在A、B之间往复运动的整个过程中只有弹簧的弹力做功，根据机械能守恒的条件可知，机械能一直守恒。
活动4：如果把振子的振幅增大，弹簧振子的能量怎么变化？
提示：振子的振幅增大，弹簧振子在最大位移处的势能增大，在平衡位置处的动能增大，即振动系统的机械能增大。
1．简谐运动的能量
(1)不考虑阻力，水平弹簧振子振动过程中只有弹力做功，在任意时刻振动系统的动能与势能之和不变，即机械能守恒。
(2)简谐运动的机械能的大小由振子的振幅决定
对同一振动系统来说，振幅越大，振动的能量越大。如果没有能量损耗，振幅保持不变，它将永不停息地振动下去，因此简谐运动又称等幅振动。
(3)动能、势能随位置的变化情况
①在最大位移处，势能最大，动能为零。
②在平衡位置处，动能最大，势能最小。
(4)实际的运动都有一定的能量损耗，所以简谐运动是一种理想化的物理模型。
2．简谐运动中各物理量的变化规律
如图所示，振子以O为平衡位置在A、B之间做简谐运动，各物理量的变化规律为：
续表
总结：(1)在简谐运动中，位移、回复力、加速度和势能四个物理量同时增大或减小，与速度和动能的变化步调相反。
(2)平衡位置是位移、加速度和回复力方向变化的转折点。
(3)最大位移处是速度方向变化的转折点。
例2 如图所示，一弹簧振子在A、B间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子的质量为M。
(1)简谐运动的能量取决于________，物体振动时动能和________能相互转化，总机械能________。
(2)关于振子的振动，下列说法中正确的是( )
A．振子在平衡位置，动能最大，势能最小
B．振子在最大位移处，势能最大，动能最小
C．振子在向平衡位置运动时，由于振子振幅减小，故总机械能减小
D．在任意时刻，动能与势能之和保持不变
(3)若振子运动到B处时将一质量为m的物体放到M的上面，且m和M无相对滑动而一起运动，下列说法正确的是( )
A．振幅不变 B．振幅减小
C．最大动能不变 D．最大动能减小
弹簧振子的能量由什么决定？与振子的质量有关吗？
提示：弹簧振子一定时，系统的能量由振子的振幅决定，此题中就是弹簧的最大形变量，与振子的质量无关。
[规范解答] (1)振动系统一定时，系统的能量由振幅决定，物体振动时动能和弹性势能相互转化，总机械能守恒。
(2)振子在平衡位置两侧往复运动，在最大位移处速度为零，动能为零，此时弹簧的形变最大，势能最大，B正确；在振子运动的过程中，只有弹簧的弹力做功，所以任意时刻动能与势能之和不变，D正确；到平衡位置处速度达到最大，动能最大，势能最小，A正确；振幅的大小与振子的位置无关，C错误。
(3)振子运动到B点时速度恰为零，此时放上m，系统的总能量即为此时弹簧储存的弹性势能，故简谐运动的机械能不变，所以振幅保持不变，A正确，B错误；由于机械能守恒，故最大动能不变，C正确，D错误。
[完美答案] (1)振幅 弹性势 守恒 (2)ABD (3)AC
规律点拨
(1)要明确简谐运动的动能和势能的变化规律，就必须明确物体的实际振动情况。结合路径草图或振动图像，确定物体所处的位置、状态及运动过程中的速度、位移的变化规律。
(2)做简谐运动的物体，在同一位置位移相同，回复力、加速度、动能、势能、速率也都相同，但速度方向可能相同也可能相反。关于平衡位置对称的两点，动能、势能相同，加速度、回复力大小相等、方向不同；速度大小相等，方向可能相同，也可能不同。
(多选)如图所示是某一质点做简谐运动的振动图像，下列说法正确的是( )
A．在第1 s内，质点的速度逐渐增大
B．在第1 s内，质点的加速度逐渐增大
C．在第1 s内，质点的回复力逐渐增大
D．在第4 s内，质点的动能逐渐增大
E．在第4 s内，质点的势能逐渐增大
F．在第4 s内，质点的机械能逐渐增大
答案 BCD
解析 在第1 s内，质点由平衡位置向正向最大位移处运动，速度减小，位移增大，回复力和加速度都增大，A错误，B、C正确；在第4 s内，质点由负向最大位移处向平衡位置运动，速度增大，位移减小，动能增大，势能减小，机械能守恒，D正确，E、F错误。
1．(简谐运动的回复力)(多选)关于简谐运动的回复力公式F＝－kx，下列说法正确的是( )
A．k只表示弹簧的劲度系数
B．式中的负号表示回复力总是负值
C．位移x是相对平衡位置的位移
D．回复力随位移的增大而增大
答案 CD
解析 简谐运动的回复力公式F＝－kx中，k是比例系数，不一定表示弹簧的劲度系数，A错误；F＝－kx中的负号表示回复力总是与振动物体的位移方向相反，B错误；位移x是相对平衡位置的位移，C正确；简谐运动中，回复力随振动物体位移的增大而增大，D正确。
2．(简谐运动的加速度)如图所示，一弹簧振子在A、B间做简谐运动，O点为平衡位置，以某时刻作为计时零点(t＝0)，经过周期，振子具有正方向的最大加速度，那么下列四个运动图像中能正确反映运动情况的图像是( )
答案 D
解析 从t＝0开始经过周期，振子具有正方向的最大加速度，此时位移为负的最大值，D正确，A、B、C错误。
3．(简谐运动的回复力)(2019·山东泰安高二期中)一根劲度系数为k的轻弹簧，上端固定，下端挂一质量为m的物体，让其上下振动，振幅为A，当物体运动到最高点时，其回复力大小为( )
A．mg＋kA B．mg－kA
C．kA D．kA－mg
答案 C
解析 在平衡位置时，回复力为零，有mg＝kx0。在下端最大位移处，回复力F＝k(A＋x0)－mg＝kA。由对称性可知在最高点时的回复力大小也为kA，故C正确。
4．(加速度和速度)(多选)弹簧振子做简谐运动，其位移x与时间t的关系如图所示，则( )
A．在t＝1 s时，振子的速度最大、方向为负，加速度为零
B．在t＝2 s时，振子的速度最大、方向为负，加速度为零
C．在t＝3 s时，振子的速度最大、方向为正，加速度最大
D．在t＝4 s时，振子的速度最大、方向为正，加速度为零
E．在t＝5 s时，振子的速度为零，加速度最大、方向为负
答案 BDE
解析 在t＝1 s和t＝5 s时，位移最大，加速度最大，加速度的方向为负方向，速度为零，A错误，E正确；在t＝2 s时，位移为零，加速度为零，而速度最大，速度方向要看该点切线斜率的正负，t＝2 s时，速度为负值，B正确；在t＝3 s时，位移最大，加速度最大，速度为零，C错误；在t＝4 s时，位移为零，加速度为零，速度最大，方向为正，D正确。
5．(简谐运动的回复力和加速度)做简谐运动的弹簧振子质量为0.2 kg，当它运动到平衡位置左侧20 cm时受到的回复力是4 N；当它运动到平衡位置右侧40 cm时，它的加速度为( )
A．20 m/s2，向右 B．20 m/s2，向左
C．40 m/s2，向右 D．40 m/s2，向左
答案 D
解析 由回复力和位移的大小关系F＝kx可知，当x1＝20 cm时，F1＝4 N，故当x2＝40 cm时，F2＝8 N，a＝＝40 m/s2，方向指向平衡位置，因此方向向左，D正确。
6．(综合)(2019·河北邢台高二期末)如图所示为某物体做简谐运动的振动图像，下列说法正确的是( )
A．0.3 s时刻与0.5 s时刻物体的动能相同
B．0.3 s时刻与0.5 s时刻物体的速度相同
C．0.1 s时刻与0.3 s时刻物体的回复力方向相同
D．0.1 s时刻与0.3 s时刻物体的回复力大小不同
答案 A
解析 由图知，在0.3 s与0.5 s这两个时刻，物体的位移是相同的，则物体具有相等的动能，A正确；x t图像的切线斜率表示速度，在0.3 s和0.5 s这两个时刻，物体的速度方向相反，故B错误；由图可知，0.1 s时刻与0.3 s时刻物体的位移大小相等，方向相反，根据回复力表达式F＝－kx，可知在这两个时刻物体的回复力大小相等，方向相反，故C、D错误。
7．(周期、振幅与能量)如图，一轻弹簧一端固定，另一端连接一物块构成弹簧振子，该物块是由a、b两个小物块粘在一起组成的。物块在光滑的水平桌面上左右振动。振幅为A0，周期为T0。当物块向右通过平衡位置时，a、b之间的粘胶脱开；以后小物块a振动的振幅和周期分别为A和T，则：A________A0，T________T0。(均填“>”“<”或“＝”)
答案 < <
解析 小物块a、b通过平衡位置时弹性势能为零，动能最大。向右通过平衡位置后，a由于受到弹簧弹力做减速运动，b做匀速运动。小物块a与弹簧组成的系统机械能小于原来系统的机械能，所以小物块a的振幅减小，A
8．(振动图像和各物理量)如图所示为一弹簧振子的振动图像，在A、B、C、D、E、F各时刻中：
(1)哪些时刻振子有最大动能？
(2)哪些时刻振子有相同速度？
(3)哪些时刻振子有最大势能？
(4)哪些时刻振子有相同的最大加速度？
答案 (1)B、D、F时刻振子有最大动能
(2)A、C、E时刻振子速度相同，B、F时刻振子速度相同
(3)A、C、E时刻振子有最大势能
(4)A、E时刻振子有相同的最大加速度
解析 由题图知，B、D、F时刻振子在平衡位置，具有最大动能，此时振子的速率最大。A、C、E时刻振子在最大位移处，具有最大势能和最大加速度，此时振子的速度为0。B、F时刻振子向负方向运动，D时刻振子向正方向运动，可知D时刻与B、F时刻虽然速率相同，但运动方向相反。A、E两时刻振子的位移相同，C时刻振子的位移虽然大小与A、E两时刻相同，但方向相反，由回复力知识可知C时刻与A、E时刻振子受力大小相等，但方向相反，故加速度大小相等，方向相反。
9．(简谐运动的能量)一个做简谐运动的物体，当每次振动系统的势能相同时，下列说法中正确的是( )
A．物体的动能相同 B．物体的位移相同
C．物体的加速度相同 D．物体的速度相同
答案 A
解析 做简谐运动的物体，系统机械能守恒，当系统的势能相同时，物体的动能一定相同，A正确；当系统的势能相同时，物体的位移大小相同，但方向可能相同，也可能相反，同理加速度及速度的方向可能相同，也可能相反，B、C、D错误。
10．(综合)如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动。取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是( )
A．t＝0.8 s时，振子的速度方向向左
B．t＝0.2 s时，振子在O点右侧6 cm处
C．t＝0.4 s和t＝1.2 s时，振子的加速度相同
D．t＝0.4 s到t＝0.8 s的时间内，振子的速度逐渐减小
答案 A
解析 从t＝0.8 s时起，再过一段微小时间，振子的位移为负值，因为取向右为正方向，故t＝0.8 s时，速度方向向左，A正确；由题图乙得振子的位移x＝12sint cm，故t＝0.2 s时，x＝6 cm，B错误；t＝0.4 s和t＝1.2 s时，振子的位移方向相反，由a＝知，加速度方向相反，C错误；t＝0.4 s到t＝0.8 s的时间内，振子的位移逐渐变小，故振子逐渐衡位置，其速度逐渐增大，D错误。
11．(简谐运动的应用)公路上匀速行驶的货车受一扰动，车上货物随车厢底板上下振动但不脱离底板。一段时间内货物在竖直方向的振动可视为简谐运动，周期为T。取竖直向上为正方向，以某时刻为计时起点，其振动图像如图所示，则( )
A．t＝T时，货物对车厢底板的压力最大
B．t＝T时，货物对车厢底板的压力最小
C．t＝T时，货物对车厢底板的压力最大
D．t＝T时，货物对车厢底板的压力最小
答案 C
解析 要使货物对车厢底板的压力最大，即车厢底板对货物的支持力最大，则要求货物向上的加速度最大，由振动图像可知在t＝T时，货物向上的加速度最大，故A错误，C正确；要使货物对车厢底板的压力最小，即车厢底板对货物的支持力最小，则要求货物向下的加速度最大，由振动图像可知在t＝时，货物向下的加速度最大，故B、D错误。
12．(振动图像与各物理量)甲、乙两弹簧振子的弹簧劲度系数相等，且均沿水平方向振动，其振动图像如图所示，则它们振动的机械能大小关系是E甲________(填“>”“＝”或“<”)E乙；振动频率的大小关系是f甲________(填“>”“＝”或“<”)f乙；在0～4 s内，甲的加速度为正向最大的时刻是________，乙的加速度为正向最大的时刻是________________。
答案 > < 3 s末 0.5 s末和2.5 s末
解析 甲、乙两弹簧振子的弹簧劲度系数相等，且均沿水平方向振动，振动的机械能是由振幅决定的，由题图可知A甲＝10 cm，A乙＝5 cm，因此E甲>E乙。由题图知T甲＝4 s，T乙＝2 s，则f甲＝＝ Hz，f乙＝＝ Hz，故f甲13．(简谐运动的综合应用)一质点做简谐运动，其位移和时间的关系如图所示。
(1)求t＝0.25×10－2 s时的位移；
(2)在t＝1.5×10－2 s到2×10－2 s的振动过程中，质点的位移、回复力、速度、动能、势能如何变化？
(3)在t＝0到8.5×10－2 s时间内，质点的路程、位移各多大？
答案 (1)－ cm
(2)变大 变大 变小 变小 变大
(3)34 cm 2 cm
解析 (1)由题图可知A＝2 cm，T＝2×10－2 s，振动方程为
x＝Asin＝－Acosωt＝－2cost cm
＝－2cos100πt cm
当t＝0.25×10－2 s时，x＝－2cos cm＝－ cm。
(2)由图可知在1.5×10－2～2×10－2 s内，质点的位移变大，回复力变大，速度变小，动能变小，势能变大。
(3)从t＝0至8.5×10－2 s为个周期，质点的路程为s＝17A＝34 cm，质点在t＝0时刻在负的最大位移处，在t＝8.5×10－2 s时刻，质点在平衡位置处，故位移为2 cm。
1(共83张PPT)
3．简谐运动的回复力和能量
课前自主学习
课堂探究评价
课后课时作业
6
口