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勾股定理（基础卷）
一．选择题（每小题3分，共24分）
1.在下列四组数中，不是勾股数的一组数是（ ）
A．15，8，19 B．6，8，10 C．5，12，13 D．3，5，4
2.如图，两个较大正方形的面积分别为 576、625，则字母 A所代表的正方形的边长为（ ）
A．1 B．49 C．16 D．7
3.直角三角形的两边长分别为和，则第三条边长为( )
A． B． C．或 D．或10
4.如图，中， ，， ，将折叠，使点 C 与 的中点 D 重合，折痕交 于点 M，交 于点 N，则线段 的长为（ ）．
A． B． C．4 D．
5.如图，将等边折叠，使得点C落在边上的点D处，是折痕，若，，则的长是（ ）
A．2 B．4 C． D．
6.如图是一块长、宽、高分别是、和的长方体木块，一只蚂蚁要从顶点出发，沿长方体的表面爬到和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路线的长是（ ）
A． B． C． D．
7.如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为斜边向外作四个等腰直角三角形，设它们的面积分别为，，，．若，，则为（ ）
A．16 B．26 C．34 D．9
8.如图，在直线m上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是3，6，9，正放置的四个正方形的面积依次是，，，，则＝（ ）
A．6 B．6.5 C．7 D．8
二．填空题（每小题2分，共16分）
9.若等边三角形的边长为，则该等边三角形的面积是________．
10.一直角三角形的两直角边长满足，则该直角三角形的斜边长为________．
11.在中，斜边，则______．
12.如图所示，一根长为的吸管放在一个圆柱形的水杯中，测得水杯内部的底面直径为，高为，则吸管露出在水杯外面的最短长度为___________．
13.如图，数轴上点C所表示的数是___________
14.如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若，则图中阴影部分的面积为___________．
15.如图，将矩形纸片沿对折，使得点与点重合，若，，则线段______．
16.如图，在笔直的公路旁有一个城市书房C，C到公路的距离为80米，为100米，为300米．一辆公交车以3米/秒的速度从A处向B处缓慢行驶，若公交车鸣笛声会使以公交车为中心170米范围内受到噪音影响，那么公交车至少______秒不鸣笛才能使在城市书房C看书的读者不受鸣笛声影响．
三．解答题（共60分）
17.（6分）如图，由若干个大小相同的小正方形组成的网格中．小华按下列要求作图：
(1)顶点都在格点上的直角三角形．
(2)所画三角形的三边长度至少有两边长度是无理数．小华在左边的网格中已经作出，请你按照同样的要求，在右边的两个网格中各画一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形互不全等．
18.（8分）在中，，，，，求阴影部分的面积．
19.（8分）金塔县绿化环卫部门为美化环境，要在如图所示的一块四边形空地种植草皮，工人师傅量得，，，，，若每平方米草皮需要300元，则需要投资多少元？
20.（8分）已知：如图，在中，，，动点P从点B出发沿射线BC以的速度移动，设运动的时间为．
(1)求边的长；
(2)当为直角三角形时，求t的值．
21.（10分）某校的九（1）班教室A位于工地处的正东方向，且米，一辆大型货车卸货后从处出发，沿北偏东方向的公路上行驶，试问：
(1)若大型货车的噪声污染半径为150米，教室A是否在大型货车的噪声污染范围内？试说明理由；
(2)若大型货车的噪声污染半径为200米，为了不干扰九年级同学的学习，计划在货车行驶的公路一侧安装隔音板，则至少需隔音板多少米？
22.（10分））阅读与思考．
两点之间的距离公式：如果数轴上的点分别表示实数，两点间的距离记作，那么．
对于平面上的两点间的距离是否有类似的结论呢？
运用勾股定理，就可以推出平面上两点之间的距离公式．
(1)如图1，已知平面上两点，求A，B两点之间的距离；
(2)如图2，已知平面上两点A（1，2），B（5，5），求这两点之间的距离|AB|；
(3)一般地，设平面上任意两点和，如图3，如何计算A，B两点之间的距离？
对于问题3，作轴，轴，垂足分别为点；作轴，垂足为点；作，垂足为点C，且延长与y轴交于点，则四边形是长方形．
∵ ， ，
∴ ．
∴．
这就是平面直角坐标系中两点之间的距离公式．
请你根据上面的公式求出下列两点之间的距离：．
23.（10分）如图①，在中，，，，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边→→运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为．
(1)如图①，当 时，的面积等于面积的一半；
(2)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边→→运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度．
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勾股定理（基础卷）
一．选择题（每小题3分，共24分）
1.在下列四组数中，不是勾股数的一组数是（ ）
A．15，8，19 B．6，8，10 C．5，12，13 D．3，5，4
【答案】A
【解析】解：∵，
∴A组不是勾股数，符合题意；
∵，
∴B组是勾股数，不符合题意；
∵，
∴C组是勾股数，不符合题意；
∵，
∴D组是勾股数，不符合题意；
故选：A．
2.如图，两个较大正方形的面积分别为 576、625，则字母 A所代表的正方形的边长为（ ）
A．1 B．49 C．16 D．7
【答案】D
【解析】解：由勾股定理可知，
∴字母 A所代表的正方形的边长为７，
故选D．
3.直角三角形的两边长分别为和，则第三条边长为( )
A． B． C．或 D．或10
【答案】D
【解析】解：设第三边为，
①当是直角边，则，解得：，
②当是斜边，则，解得．
∴第三边长为或．
故选：D．
4.如图，中， ，， ，将折叠，使点 C 与 的中点 D 重合，折痕交 于点 M，交 于点 N，则线段 的长为（ ）．
A． B． C．4 D．
【答案】B
【解析】解：∵点D为中点，，∴，
设，则，
∵由折叠得到，∴，
在中，根据勾股定理可得：，
即，解得：，
故选：B．
5.如图，将等边折叠，使得点C落在边上的点D处，是折痕，若，，则的长是（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】D
【解析】解：∵将等边折叠，使得点C落在边上的点D处，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
6.如图是一块长、宽、高分别是、和的长方体木块，一只蚂蚁要从顶点出发，沿长方体的表面爬到和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路线的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，
则这个长方形的长和宽分别是和，
则所走的最短线段是；
第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是和，
所以走的最短线段是；
第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是和，
所以走的最短线段是；
因为，
所以第二种情况最短．
故选：B．
7.如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为斜边向外作四个等腰直角三角形，设它们的面积分别为，，，．若，，则为（ ）
A．16 B．26 C．34 D．9
【答案】A
【解析】解：连接BD，如图，
由题意得、、、都是等腰直角三角形，
在中，，
同理可得，，，，
∵，
∴和都是直角三角形，
∴由勾股定理可得，，
∴，
∴，即，
∴．
故选：A．
8.如图，在直线m上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是3，6，9，正放置的四个正方形的面积依次是，，，，则＝（ ）
A．6 B．6.5 C．7 D．8
【答案】A
【解析】解：如图，观察发现，
∵，
∴，，∴，
在与中，，
∴（AAS），∴，
∵，∴，
即，同理，，
则，则．
故选：A．
二．填空题（每小题2分，共16分）
9.若等边三角形的边长为，则该等边三角形的面积是________．
【答案】
【解析】解：如图，过点A作等边的高，与交于点D，
∴，
在中，，，
∴，
∴．
故答案为：．
10.一直角三角形的两直角边长满足，则该直角三角形的斜边长为________．
【答案】
【解析】解：∵，
∴，
解得：，
∴该直角三角形的斜边长为，
故答案为：．
11.在中，斜边，则______．
【答案】2
【解析】∵在中，斜边
∴
∴
故答案为：2．
12.如图所示，一根长为的吸管放在一个圆柱形的水杯中，测得水杯内部的底面直径为，高为，则吸管露出在水杯外面的最短长度为___________．
【答案】4
【解析】解：设在杯里部分长为，则有：，解得：，（负根舍去）
所以露在外面最短的长度为，
故吸管露出杯口外的最短长度是，
故答案为：4．
13.如图，数轴上点C所表示的数是___________
【答案】
【解析】解：由题意可得：，，，，
由勾股定理可得：．
故答案为：
14.如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若，则图中阴影部分的面积为___________．
【答案】7
【解析】解：，
，
，
，
故答案是：7．
15.如图，将矩形纸片沿对折，使得点与点重合，若，，则线段______．
【答案】
【解析】解：矩形纸片沿对折，使得点与点重合，
,为直角三角形，
设，则，，，
解得，
故答案为：．
16.如图，在笔直的公路旁有一个城市书房C，C到公路的距离为80米，为100米，为300米．一辆公交车以3米/秒的速度从A处向B处缓慢行驶，若公交车鸣笛声会使以公交车为中心170米范围内受到噪音影响，那么公交车至少______秒不鸣笛才能使在城市书房C看书的读者不受鸣笛声影响．
【答案】70
【解析】解：如图，设米，
∵，米，
∴（米），
∵米，米，
∴（米），
∴（米），
∴公交车鸣笛声会受到噪音影响的时间为（秒），
故答案为：70．
三．解答题（共60分）
17.（6分）如图，由若干个大小相同的小正方形组成的网格中．小华按下列要求作图：
(1)顶点都在格点上的直角三角形．
(2)所画三角形的三边长度至少有两边长度是无理数．小华在左边的网格中已经作出，请你按照同样的要求，在右边的两个网格中各画一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形互不全等．
【答案】(1)见解析（答案不唯一）；(2)见解析（答案不唯一）
【解析】（1）解：即为所求作的三角形，如图所示：
（2）解：即为所求作的三角形，如图所示：
18.（8分）在中，，，，，求阴影部分的面积．
【答案】9
【解析】解：设，则，
∵，∴，
又∵，∴，∴，
解得，，∴，
∴，
∴阴影部分的面积．
19.（8分）金塔县绿化环卫部门为美化环境，要在如图所示的一块四边形空地种植草皮，工人师傅量得，，，，，若每平方米草皮需要300元，则需要投资多少元？
【答案】需要投资10800元
【解析】解：∵，，，∴，
∴是直角三角形，，
∵，，，∴，
∴为直角三角形，，
∴，
∴（元）．
答：需要投资10800元．
20.（8分）已知：如图，在中，，，动点P从点B出发沿射线BC以的速度移动，设运动的时间为．
(1)求边的长；
(2)当为直角三角形时，求t的值．
【答案】(1)；(2)当为直角三角形时，t的值为或．
【解析】（1）解：在中，，，
由勾股定理得；
（2）解：由题意知．
①当时，如图，点P与点C重合，，
∴；
②当时，如图2，，．
在中，，
在中，，
因此，
解得．
综上所述，当为直角三角形时，t的值为2或．
21.（10分）某校的九（1）班教室A位于工地处的正东方向，且米，一辆大型货车卸货后从处出发，沿北偏东方向的公路上行驶，试问：
(1)若大型货车的噪声污染半径为150米，教室A是否在大型货车的噪声污染范围内？试说明理由；
(2)若大型货车的噪声污染半径为200米，为了不干扰九年级同学的学习，计划在货车行驶的公路一侧安装隔音板，则至少需隔音板多少米？
【答案】(1)不在，见解析；(2)240米
【解析】（1）解：教室A不在大型货车的噪声污染范围内；理由如下：
如图，过点A向货车行驶公路作垂线，垂足为，
由题可得，于点，．在中，
，，（米），
，
教室A不在大型货车的噪声污染范围内．
（2）解：如图，以点A为圆心，200米为半径画圆弧，交公路于，两点，则米，
在中，，
由勾股定理，得，
，解得：米，
，于点，米，米，
所需隔音板的总长为240米．
22.（10分））阅读与思考．
两点之间的距离公式：如果数轴上的点分别表示实数，两点间的距离记作，那么．
对于平面上的两点间的距离是否有类似的结论呢？
运用勾股定理，就可以推出平面上两点之间的距离公式．
(1)如图1，已知平面上两点，求A，B两点之间的距离；
(2)如图2，已知平面上两点A（1，2），B（5，5），求这两点之间的距离|AB|；
(3)一般地，设平面上任意两点和，如图3，如何计算A，B两点之间的距离？
对于问题3，作轴，轴，垂足分别为点；作轴，垂足为点；作，垂足为点C，且延长与y轴交于点，则四边形是长方形．
∵ ， ，
∴ ．
∴．
这就是平面直角坐标系中两点之间的距离公式．
请你根据上面的公式求出下列两点之间的距离：．
【答案】(1)5；(2)5；(3)，，；．
【解析】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：由图可知，，
∴；
（3）解：∵，，
∴．
∴．
∵，
∴，
故答案为：，，；．
23.（10分）如图①，在中，，，，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边→→运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为．
(1)如图①，当 时，的面积等于面积的一半；
(2)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边→→运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度．
【答案】(1)或；(2)点Q的运动速度为或．
【解析】（1）解：①当点P在上时，如图，
的面积等于面积的一半，，
，，
此时，点P移动的距离为，
移动的时间为：秒，
②当点P在上时，如图，过点P作于点D，
的面积等于面积的一半，，即点P为中点，
此时，点P移动的距离为，
移动的时间为：秒，
综上可知，当为或时，的面积等于面积的一半，
故答案为：或；
（2）解：，对应点为A与D，P与E，Q与F,
，，，，，，
①当点P在上，如图所示，此时，点P移动的距离为，点Q移动的距离为，
秒，点Q移动的速度为，
②当点P在上，如图所示，
此时，点P移动的距离为，
点Q移动的距离为，秒，
点Q移动的速度为，
综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好，点Q的运动速度为或．
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