28.2.1 解直角三角形跟踪练（含解析）2022-2023学年人教版数学九年级下册

28.2.1 解直角三角形
一、单选题
1．在中，，则的值（ ）．
A．大于1 B．等于1 C．小于1 D．不能确定
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝3，则BC的长为（ ）
A．3sin35° B．2cos35° C．3cos35° D．3tan35°
3．如图，在矩形ABCD中，AD＝10，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转至BC恰好经过点D，得到矩形AB′C′D′，此时旋转角为θ，若tanθ＝，则cos∠ADD'为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，，，AC＝10，则的面积是（　　）
A．42 B．43 C．44 D．45
5．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝4，欲求∠A的值，最适宜的做法是( )
A．计算tanA的值求出 B．计算sinA的值求出
C．计算cosA的值求出 D．先根据sinB求出∠B，再利用90°－∠B求出
6．已知：如图，在△ABC中，∠A＝45°，sinB＝，AC＝，那么AB的长度是(　　)
A．1＋2 B．1＋ C．3 D．9
7．如图，校园内有两棵树，相距8米，一棵树树高13米，另一棵树高7米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞（ ）
A．8米 B．9米 C．10米 D．11米
8．如图，两建筑物的水平距离为32 m，从点A测得点C的俯角为30°，点D的俯角为45°，则建筑物CD的高约为(　　)
A．14 m B．17 m C．20 m D．22 m
二、填空题
9．在中，边上的高，则__________．
10．如图，在中，∠C＝90°，AC＝6，若cosA＝，则BC的长为_．
11．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5．则sin∠ACB_______．
12．如图，AB是的直径，弦，则阴影部分图形的面积为___________．
13．如图，在中，，D是的中点，则______．
14．已知△ABC中，AB=10，AC=2，∠B=30°，则△ABC的面积等于_____．
15．如图，的半径于点，．则________．
三、解答题
16．如图，在Rt中，，求和的值．
17．等腰三角形的底角是，腰长为，求它的周长．
18．在中，，根据下列条件解直角三角形：
（1），；
（2），；
（3），．
19．（1）已知是锐角，，求的其他三角函数值；
（2）已知是锐角，，求的其他三角函数值．
20．如图，中，是中点，过点作直线的垂线，垂足为点．
求的值．
连接求四边形的面积．
21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在CB的延长线上，连接AC，AE，∠ACB＝∠BAE＝45°．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若AB＝AD，AC＝，tan∠ADC＝3，求CD的长．
参考答案：
1．A
解：设直角三角形ABC中，∠A的对边长为a，∠B的对边长为b，∠C的对边长为c，
∴，，
∴，
由三角形三边的关系得：，
∴，
∴，
2．C
3．C
解：过点作于点，
将矩形绕点逆时针旋转至恰好经过点，
，，
，
，
设，，
在△中，由勾股定理得：，
，
，
，，
，
在中，由勾股定理得：
，
，
4．A
过点A作AD⊥BC于点D，
∵sinC＝ ，
∴AD＝AC sinC＝6，
∴由勾股定理可知：BC＝8，
∵cosB＝ ，
∴∠B＝45°，
∴BD＝AD＝6，
∴BC＝14，
∴△ABC的面积为BC AD＝×6×14＝42．
5．C
6．A
过C点作CD⊥AB于D，
∵在△ABC中，CD是AB边上的高，∠A=45°，sinB= ，AC= ，
∴CD=AD=1，
∴BC=3，
∴BD=，
∴AB=AD+BD=1+2．
7．C
如图所示，
AB，CD为树，且AB=13，CD=8，BD为两树距离12米，
过C作CE⊥AB于E，
则CE=BD=8，AE=AB-CD=6，
在直角三角形AEC中，
AC=10米，
答：小鸟至少要飞10米．
8．A
延长DC、交AE与E，
∠EAC=30°,∠EAD=45°，
∴CE=AE=米，DE=AE1=32米，
∴CD=32米 米≈14米，
9．
解：如图，
∵AD⊥BC，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴．
故答案为．
10．8
解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，cosA＝，
∴cosA＝，
∴AB＝10，
∴BC＝．
故答案为：8．
11．
解：作BD⊥AC交CA的延长线于D,如图,
∵∠BAC=120°,
∴∠BAD=60°,
在Rt△ABD中,∠ABD=30°,AB=10,
∴AD=AB=5,BD=5,
∴CD=AC+AD=5+5=10,
在Rt△BCD中,BC==5,
∴sin∠ACB===.
12．
解：如图，假设线段、交于点，
是的直径，弦，
，
又，
，，
，，
．
故答案为：．
13．
如图，过点D作于点E，
∵在中，
∴，设，则，，又∵D是边的中点，
∴，
在中，，
在中，，
在中，．
14．15或10
解：作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，
①如图1，当AB、AC位于AD异侧时，
在Rt△ABD中，∵∠B=30°，AB=10，
∴AD=ABsinB=5，BD=ABcosB=5，
在Rt△ACD中，∵AC=2，
∴CD=，
则BC=BD+CD=6，
∴S△ABC= BC AD=×6×5=15；
②如图2，当AB、AC在AD的同侧时，
由①知，BD=5，CD=，
则BC=BD-CD=4，
∴S△ABC= BC AD=×4×5=10．
综上，△ABC的面积是15或10，
故答案为15或10．
15．24
16．图（1）中，；图（2）中，
解：（1）在中，，
∴，
∴，
．
（2）在中，，
∴，
∴，
．
17．．
解：如图，中，，
过点作于点，
，
，
，
，
的周长为．
18．（1），，；（2），，；（3），，．
解：（1）由勾股定理得，a==10，
∵sinB=，
∴∠B≈42°，
∴∠A=90°-42°=48°，
（2）∵∠B=72°，
∴∠A=90°-∠B=18°，
∵sinA==0.309，sinB==0.951，
∴，；
（3）∵∠B=30°，
∴∠A=60°，
∴sinA=，
∴c=，
由勾股定理得b=．
19．（1），；（2），．
设，为锐角，，，分别都是、、的对应边
（1），
，即，
由勾股定理得：，
，
；
（2），
，即，
由勾股定理得：，
，
．
20．（1）；（2）
在中，
而，，
是中点，
；
在中，，
，
是中点，
，
即，
在中， ；
在中，，
是中点，
，
21．（1）见解析（2）
（1）证明：连接OA、OB，如图1所示：
∵∠ACB＝45°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
∵∠BAE＝45°，
∴∠OAE＝∠OAB＋∠BAE＝90°，
∴AE⊥OA，
∴AE是⊙O的切线；
（2）解：作AF⊥CD于F，如图2所示：
∵AB＝AD，
∴，
∴∠ACB＝∠ACD＝45°，
∵AF⊥CD，
∴∠AFC＝∠AFD＝90°，
∵AC＝2，
∴在Rt△AFC中，AF＝CF＝AC sin∠ACF＝2×＝2，
∵在Rt△AFD中，tan∠ADC＝＝3，
∴DF＝，
∴CD＝CF＋DF＝2＋＝．