18.2.2菱形的性质 课件(共29张PPT)

(共29张PPT)
18.2.2 菱形的性质
人教版八年级下册
知识回顾
对边平行且相等
四个角都是直角
对角线相等且互相平分
轴对称图形，有两条对称轴
矩形的性质有哪些？
教学目标
1.理解并掌握菱形的概念和性质.
2.能熟练运用菱形性质进行计算和证明.
新知导入
你认识这些生活中常见的图形吗？能找出它们的共同特点吗？
都具有
新知导入
将一张矩形的纸对折，然后沿着图中的虚线剪下，看看打开是个什么图形，与前面图中特别的四边形一样不？自己动手做一做.
观察得到的四边形的形状，它是一个怎样的四边形呢？
思考
新知探究
根据折叠的情况，得到的四边形的四条边 .
这个四边形叫菱形，什么样的平行四边形可以成为菱形？四条边相等吗？
相等
这个四边形四条边都相等，所以这个四边形一定是平行四边形，而平行四边形对边相等，所以只需要 组邻边相等的平行四边形就可以称为菱形。
一
新知探究
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
平行四边形
菱形
有一组邻边相等
（1）一组邻边相等的四边形不一定是菱形.
（2）菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的判定方法.
知识点1
菱形的定义及性质
新知探究
问题1 根据上面折叠过程，猜想菱形的四边相等.如何证明呢？
已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O.
求证: AB = BC = CD =AD；
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
A
B
D
C
新知探究
已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O.
求证: AB = BC = CD =AD；
A
B
D
C
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB = CD，AD = BC（平行四边形的对边相等）.
又∵AB=AD,
∴AB = BC = CD =AD.
新知小结
菱形的性质1：菱形的四条边都相等.
A
B
D
C
∵四边形ABCD是菱形
∴ AB=BC=CD=AD
数学语言：
新知探究
将剪下的菱形沿对角线对折，最后能得到什么样的图形？
通过上面的折纸，你能猜想菱形的对角线有什么特殊的性质吗？
猜想：对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
新知探究
已知：如图，四边形ABCD是菱形，求证： AC⊥BD，AC平分∠BAD、∠BCD，BD平分∠ABC、∠ADC.
证明：∵四边形ABCD是菱形
∴ AB=BC=CD=AD，OA=OC，OB=OD
∵在△ABO 和△ADO 中，AB=AD，OB=OD，OA=OA
∴ △ABO≌△ADO（SSS）， ∠AOB=∠AOD
∵∠AOB=∠AOD， ∠AOB+∠AOD=180
∴ ∠AOB=∠AOD=90 ，即AC⊥BD
A
B
D
C
O
新知探究
∵在△ABD 和△CBD 中，AB=CB，BD=BD，AD=CD
∴ △ABD≌△CBD（SSS），∠ABD=∠CBD， ∠ADB=∠CDB
∵在△BAC 和△DAC 中，AB=AD，BC=DC，AC=AC
∴ △BAC≌△DAC（SSS），∠BAC=∠DAC， ∠BCA=∠DCA
A
B
D
C
O
新知探究
菱形的性质2：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
∵四边形ABCD是菱形
∴ AC⊥BD，
∠BAC=∠DAC， ∠ACD=∠ACB，
∠ABD=∠CBD， ∠ADB=∠CDB.
数学语言：
A
B
D
C
O
┐
新知探究
如图，比较菱形的对角线和平行四边形的对角线，我们发现，菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，而平行四边形通常只被分成两对全等的三角形.
A
B
D
C
O
M
N
E
F
G
菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴.
由菱形两条对角线的长，你能求出它的面积吗？
新知探究
对角线互相垂直的任意四边形的面积都等于对角线长乘积的一半.
拓展
A
B
D
C
O
菱形的面积=△ABO的面积+△CBO的面积+△CDO的面积+△DAO的面积
=++
=
新知小结
菱形的面积计算有如下方法：
归纳
(1)一边长与 (即菱形的高)的积；
(2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；
(3)两条对角线长度乘积的一半．
两对边的距离
新知探究
例1　如图，菱形花坛ABCD的边长为20 m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD．求两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）．
A　
B　
C　
D　
O　
解：∵花坛ABCD是菱形，
新知小结
性质 数学语言 图形
边
对 角 线 对称性 菱形的四条边都相等
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
∵四边形ABCD是菱形
∴ AB=BC=CD=AD
∴AC⊥BD
∠ABD=∠CBD，∠ADB=∠CDB
∠BAC=∠DAC， ∠BCA=∠DCA
∵四边形ABCD是菱形
菱形是轴对称图形，它有两条对称轴.
A
B
D
C
O
┐
新知探究
1.下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（ ）.
D
A.对角线相等 B.对角线互相平分
C.邻边互相垂直 D.对角线互相垂直
新知探究
2.菱形ABCD的两对角线AC、BD的长为8、6，则其边长为多少
解：∵四边形ABCD是菱形
∴ AC、BD互相垂直平分
∵ AC⊥BD，
∴在Rt△AOB中，
A
B
D
C
O
∴菱形ABCD的边长为5
课堂总结
菱形
概念
特殊性质
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
①四条边都相等；
②对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
③轴对称图形.
课堂练习
1．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是(　 　)
A．两组对边分别平行
B．两组对角分别相等
C．对角线互相平分
D．四条边相等
D
课堂练习
2．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H，则DH等于____．
课堂练习
3．如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F.求证：CE＝CF.
证明：连接AC.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠DAB.
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE＝CF.
A
D
F
C
B
E
菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴，每条对角线平分一组对角．
归纳
课堂练习
4.四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB=5，AO=4. 求AC和BD的长.
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，
∴△ABO是直角三角形，
∴BO= =3
∴AC=2AO=8，BD=2BO=6
A
B
D
C
O
课堂练习
5.如图，菱形的周长为40，两条对角线的和为28，求菱形的面积.
证明：∵菱形的周长为40
∴ AB=BC=CD=DA=10
∵两条对角线的和为28
∴ AO+DO=14
∵，即100
D
A
B
C
O
∴ AO=8，DO=6，即AC=16，BD=12
∴ 菱形的面积为=96
谢谢
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