18.2.2菱形的判定 课件 (共32张PPT)

(共32张PPT)
18.2.2 菱形的判定
人教版八年级下册
知识回顾
四条边都相等
两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
轴对称图形，有两条对称轴.
菱形的特殊性质有哪些？
1.掌握菱形的判定及证明过程.
2.能熟练运用菱形的判定进行计算和证明.
教学目标
新知导入
思考 已知一个平行四边形，怎么样可以判定它是一个菱形？你能够证明吗？
平行四边形
什么条件？
菱形
新知探究
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
数学语言：
在平行四边形ABCD中， ∵ AB=BC
∴平行四边形ABCD是菱形
A
B
D
C
通过上节课的学习，我们知道菱形的定义既是菱形的性质，又是菱形的判定方法，因此有：
知识点1
菱形的判定
判定定理1（定义法）
新知典例
证明：
∵DE∥AC,CE∥BD,
例1.如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,DE∥AC,CE∥BD.
求证:四边形OCED是菱形.
∴四边形OCED是平行四边形.
（ ）
∵四边形ABCD是矩形,
∴OC=OD,（ ）
∴四边形OCED是菱形.
（ ）
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
矩形的对角线相等且互相平分
有一组邻边相等的平行四边形是菱形
新知练习
证明：
1.如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,点D、E、F分别是BC、AB、AC的中点.
求证:四边形AEDF是菱形.
∵点D、E、F分别是BC、AB、AC的中点,
∴DE∥AC,DF∥AB,
∴四边形AEDF是平行四边形.
又∵AD⊥BC,BD=CD,
∴AB=AC,
∴AE=AF,
∴平行四边形AEDF是菱形.
新知探究
与研究平行四边形和矩形的判定方法类似，我们研究菱形的性质定理的逆命题，看看它们是否成立.
前提条件是平行四边形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
菱形的对角线互相垂直.
题设
结论
新知探究
你能试着给出证明吗？
A
B
D
C
O
┐
猜想 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
已知：如图，在□ABCD中，对角线AC，
BD相交于点O，且AC⊥BD.
求证：□ABCD是菱形.
新知探究
已知：在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， AC⊥BD.
求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴ OB=OD
∵ AC⊥BD
∴AC垂直平分BD
∴ BA=AD（ ）
∴ 四边形ABCD是菱形（ ）
A
B
D
C
O
┐
垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
新知小结
判定定理2
由上述证明可以得到：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
几何语言描述：
∴ □ABCD是菱形.
∵在□ABCD中，AC⊥BD,
AC⊥BD
A
B
C
D
菱形ABCD
A
B
C
D
□ABCD
新知探究
例2 如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AB=5，AO=4，BO=3. 求证：平行四边形ABCD是菱形.
D
A
C
B
O
证明：∵ AB=5，AO=4，BO=3
∴+
∴△AOB是直角三角形（ ）
∴AC⊥BD
∴ 平行四边形ABCD是菱形
（ ）
勾股定理逆定理
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
新知探究
2.已知:如图,?ABCD的对角线AC垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F.
求证:四边形AFCE是菱形.
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AE∥FC. ∴∠1=∠2,
又∠AOE=∠COF,AO=CO,
∴△AOE≌△COF（ASA）
∴EO=FO.
∴四边形AFCE是平行四边形.
又∵EF⊥AC,
∴
AFCE是菱形.
新知探究
思考 动手画出一个四边形，满足有两条边相等的四边形是菱形吗？
不是
不是
？
你能进行证明吗？
三条边相等呢？
四条边相等呢？
新知探究
已知：在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA. 求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵ AB=CD=BC=DA
∴四边形ABCD是平行四边形
∵ AB=BC
∴四边形ABCD是菱形
A
B
D
C
新知小结
判定定理3
由上述证明可以得到：
四条边相等的四边形是菱形.
AB=BC=CD=AD
A
B
C
D
菱形ABCD
四边形ABCD
A
B
C
D
几何语言描述：
∴四边形 ABCD是菱形.
∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，
新知典例
证明： ∵ ∠1= ∠2,
又∵AE=AC,AD=AD,
∴ △ACD≌ △AED (SAS).
同理△ACF≌△AEF(SAS) .
∴CD=ED, CF=EF.
又∵EF=ED,∴CD=ED=CF=EF,
∴四边形CDEF是菱形.
2
例3 如图,在△ABC中, AD是角平分线,点E、F分别在AB、 AD上,且AE=AC,EF = ED.
求证：四边形CDEF是菱形.
A
C
B
E
D
F
1
新知练习
B
B
新知练习
3. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm.将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.求证：四边形ACFD是菱形．
证明：由平移变换的性质得CF＝AD＝10cm，DF＝AC.
∵∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，
∴AC＝DF＝AD＝CF＝10cm，
∴四边形ACFD是菱形．
四边形的条件中存在多个关于边的等量关系时，运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较方便．
归纳
新知探究
H
G
F
E
D
C
B
A
证明：连接AC、BD.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD.
∵点E、F、G、H为各边中点，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形.
例4 如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱形.
新知练习
C
A
B
D
E
F
G
H
4. 如图，顺次连接对角线相等的四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？
解：四边形EFGH是菱形.
又∵AC=BD,
∵点E、F、G、H为各边中点，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形.
顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，得到四边形是菱形.
归纳
理由如下：连接AC、BD
新知探究
知识点2
菱形的性质和判定综合运用
例5 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.
(1)求证：四边形BCFE是菱形；
(1)证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC且2DE＝BC.
又∵BE＝2DE，EF＝BE，
∴EF＝BC，EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形．
又∵EF＝BE，
∴四边形BCFE是菱形.
新知探究
(2)解：∵∠BCF＝120°，
∴∠EBC＝60°，
∴△EBC是等边三角形，
∴菱形的边长为4，高为 ，
∴菱形的面积为 .
(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以先尝试证出这个四边形是平行四边形．
归纳
课堂总结
菱形的判定
判定1
判定3
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
判定2
四条边相等的四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
课堂练习
1.下列说法中正确的是（ ）.
C
A.对角线互相垂直的四边形是菱形.
B.两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形.
C.对角线互相垂直平分的四边形是菱形.
D.两条邻边相等的四边形是菱形.
课堂练习
2.平行四边形ABCD的两对角线AC、BD相交于点O.
（1）若AB=AD，则平行四边形ABCD是 .
（2）若∠BAO=∠DAO，则平行四边形ABCD是 .
（3）若平行四边形ABCD是菱形，则AC BD.
菱形
菱形
⊥
A
B
D
C
O
课堂练习
3.如图，在菱形ABCD中，对角线 AC、BD 交于点O，点 E、F、G、H 分别是 OA、OB、OC、OD 的中点. 求证：四边形EFGH是菱形.
证明： ∵四边形ABCD是菱形
∴ AB=BC=CD=AD
D
A
B
C
O
E
F
G
H
∵点E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点
∴EF、FG、GH、EH是中位线
∴ EF=AB，FG=BC，GH=CD，EH=AD
∴EF=FG=GH=EH
∴四边形EFGH是菱形
课堂练习
4.如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC上的点，且DE=BF，AC⊥EF. 求证：四边形AECF是菱形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴ AD=BC， AD//BC
∵ DE=BF
∴ AE=CF， 又AE//CF
∴四边形AECF是平行四边形
A
B
C
D
E
F
∵ AC⊥EF
∴四边形AECF是菱形
课堂练习
4.如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，连接DE、BF、BD．
（1）求证：四边形DEBF为平行四边形；
（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴EB=DF，EB∥DF，
∴四边形DEBF为平行四边形.
A
B
C
D
E
F
课堂练习
4.如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，连接DE、BF、BD．
（2）当∠ADB=90°时，求证：四边形DEBF是菱形．
（2）证明：∵∠ADB=90°，E为边AB的中点，
∴DE= AB=EB，
∵四边形DEBF为平行四边形，
∴四边形DEBF为菱形．
A
B
C
D
E
F
谢谢
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