人教版九年级上册 第二十一章 一元二次方程 综合素质评价（含答案）

第二十一章 一元二次方程 综合素质评价
一、选择题(每题3分，共30分)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．下列式子是一元二次方程的是(　　)
A．3x2－6x＋2 B．x2－y＋1＝0 C．x2＝0 D.＋x＝2
2．【母题：教材P3例题】若方程2x2＋mx＝4x＋2不含x的一次项，则m＝(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
3．一元二次方程x2－2x＝0的根是(　　)
A．x1＝0，x2＝－2 B．x1＝1，x2＝2
C．x1＝1，x2＝－2 D．x1＝0，x2＝2
4．【母题：教材P9练习T1】用配方法解方程x2－6x＋5＝0，配方后所得的方程是(　　)
A．(x＋3)2＝－4 B．(x－3)2＝－4
C．(x＋3)2＝4 D．(x－3)2＝4
5．一元二次方程x2－2x＋1＝0的根的情况是(　　)
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
6．【2022·益阳】若x＝－1是方程x2＋x＋m＝0的一个根，则此方程的另一个根是(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
7．【2022·河池】某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x，则所列方程为(　　)
A．30(1＋x)2＝50 B．30(1－x)2＝50
C．30(1＋x2)＝50 D．30(1－x2)＝50
8．已知3是关于x的方程x2－(m＋1)x＋2m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两条边的长，则△ABC的周长为(　　)
A．7 B．10
C．11 D．10或11
9．在平面直角坐标系中，若直线y＝－x＋m不经过第一象限，则关于x的方程mx2＋x＋1＝0的实数根的个数为(　　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．1或2个
10．已知a，b是方程x2－3x－5＝0的两根，则代数式2a3－6a2＋b2＋7b＋1的值是(　　)
A．－25 B．－24 C．35 D．36
二、填空题(每题3分，共24分)
11．若关于x的方程(m－1)x|m＋1|＋3x－2＝0是一元二次方程，则m的值为________．
12．【母题：教材P4习题T1】一元二次方程(3x－1)(2x＋4)＝1化成一般形式为____________，其中二次项系数为________，一次项系数为________．
13．【母题：教材P4习题T7】已知m是一元二次方程x2＋x－6＝0的一个根，则代数式m2＋m的值等于________．
14．【2022·葫芦岛】若关于x的一元二次方程x2＋2x－k＋3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是__________．
15．设x1，x2是关于x的方程x2－3x＋k＝0的两个根，且x1＝2x2，则k＝________.
16．定义运算“★”：对于任意实数a，b，都有a★b＝a2－3a＋b，如3★5＝32－3×3＋5＝5.若x★2＝6，则实数x的值是____________．
17．【2023·吕梁孝义市教育科技局数学研究室模拟】在2022年第56届国际乒联世界乒乓球团体锦标赛女团决赛中，国乒女团零封日本女团，实现五连冠，第22次捧起象征“最强女子乒团”的荣誉——考比伦杯．此次世锦赛小组赛中，中国乒乓球女队被分在A组，在本组单循环赛中(每两个队之间比赛一场)共进行了10场比赛，则在A组中共有________个国家的女队参加了比赛．
18．【2022·重庆巴川中学期末】为适应常态化疫情防控形势，中央文明办在今年全国文明城市测评指标中，已明确要求，不将占道经营、马路市场、流动商贩列为文明城市测评考核内容．全国各地的夜市也出现了繁荣景象．小明和小李也加入逍遥广场夜市销售行列．一天晚上，两人共带了150个鸡蛋去夜市销售，很快两人的鸡蛋都卖完了，结果两人卖的钱一样多(两人带的鸡蛋个数不等)．小明对小李说：“你那些鸡蛋由我卖，我能给你卖135元”．小李说：“你的鸡蛋让我卖，只能给你卖60元”．那么小李的鸡蛋有________个．
三、解答题(19题16分，22题8分，23题12分，其余每题10分，共66分)
19．【母题：教材P25复习题T1】用适当的方法解下列方程：
(1)(x＋3)2－16＝0；　　　　　　　　　　　　(2)x(x－2)＝8(2－x)；
(3)x2－3x＋1＝0; (4)y2－2y＝5.
20．已知关于x的一元二次方程x2＋kx－2＝0的一个解与方程＝4的解相同，求：
(1)k的值；
(2)方程x2＋kx－2＝0的另一个解．
21．已知关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m－2＝0.
(1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有两个实数根x1，x2，且x1＋x2＋3x1x2＝1，求m的值．
22．【2023·山西新力惠中学月考】阅读与理解：
阅读材料：像x＋＝3这样，根号内含有未知数的方程，我们称之为无理方程．
解法如下：移项，得＝3－x；两边平方，得x－1＝9－6x＋x2.
解这个一元二次方程，得x1＝2，x2＝5.
检验所得的两个根，只有________是原无理方程的根．
理解应用：解无理方程x－＝2.
23．【2023·河南商水县希望初级中学模拟】近年来，电商平台直播带货成了一个火热的新兴职业．某主播带货图书《苏东坡传》，他用双语直播，风趣幽默，点燃了不同年龄者的读书热情．已知这本书的成本价为10元，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍，通过前几天的销售发现，该书每天的销售量y(本)与销售单价x(元)之间近似满足一次函数关系，部分对应数据如下表：
x/元 … 15 25 …
y/本 … 700 500 …
(1)根据表格提供的数据，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．
(2)若销售该书每天的利润为6 000元，求该书的销售单价．
(3)销售该书每天的利润能否达到9 000元？请说明理由．
24．【2022·周口四中期中】图解方程就是把方程的解和几何图形建立联系，通过几何直观反映代数抽象．历史上有多种关于一元二次方程的几何解法，例如：欧几里得解法、花拉子米解法、卡莱尔解法、斯陶特解法、赵爽解法等等．小华针对古代数学家赵爽的构图解法进行了探究，请你帮助进行归纳概括．
提出问题：怎样图解一元二次方程x2＋2x－35＝0(x>0)
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几何建模：
(1)变形：x(x＋2)＝35；
(2)构图：如图所示，画出四个长为x＋2，宽为x的矩形；
(3)解答：大正方形面积的两种表达方式为(x＋x＋2)2，4×x(x＋2)＋22.
由面积相等得(x＋x＋2)2＝4×x(x＋2)＋22.
∵x(x＋2)＝35，
∴(x＋x＋2)2＝4×35＋4.
∴(2x＋2)2＝144.
∵x>0，
∴2x＋2＝12，解得x＝5.
归纳概括：
请参照上述研究方法求一元二次方程x2＋bx＝c(x>0，b>0，c>0)的解，并画出示意图，标记出相应线段的长．
答案
一、1.C　2.D　3.D　4.D　5.B　
6.B　7.A　8.D　9.D
10．D　点拨：原式＝2a·(a2－3a)＋b2－3b＋10b＋1.将a＋b＝3，a2－3a＝5，b2－3b＝5代入化简求值．
二、11.－3　12.6x2＋10x－5＝0；6；10　13.6
14．k>2　15.2　16.4或－1
17．5　点拨：设在A组中共有x个国家的女队参加了比赛．
根据题意，得x(x－1)＝10，
解得x1＝5，x2＝－4(舍去)．
18．90　点拨：设小李有鸡蛋x个，小明有鸡蛋(150－x)个，则小李每个鸡蛋卖元，小明每个鸡蛋卖元．
根据题意，得＝.
化简，得x2－540x＋40 500＝0，
解得x1＝90，x2＝450(不符合题意，舍去)．
即小李有鸡蛋90个．
三、19.解：(1)原方程变形为(x＋3)2＝16.
开平方，得x＋3＝±4.
∴x1＝1，x2＝－7.
(2)原方程变形为x(x－2)－8(2－x)＝0，
因式分解得(x－2)(x＋8)＝0.
∴x－2＝0或x＋8＝0.
∴x1＝2，x2＝－8.
(3)∵a＝1，b＝－3，c＝1，
∴Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×1×1＝5.
∴x＝，即x1＝，x2＝.
(4)配方，得y2－2y＋1＝5＋1，即y2－2y＋1＝6，则(y－1)2＝6.
∴y－1＝±.∴y1＝1＋，y2＝1－.
20．解：(1)解＝4，得x＝2.
经检验，x＝2是分式方程的解．
∴x＝2是x2＋kx－2＝0的一个解．
∴4＋2k－2＝0，解得k＝－1.
(2)由(1)知方程为x2－x－2＝0，解得x1＝2，x2＝－1.
∴方程x2＋kx－2＝0的另一个解为x＝－1.
21．(1)证明：∵Δ＝(2m＋1)2－4×1×(m－2)＝4m2＋4m＋1－4m＋8＝4m2＋9>0，
∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
(2)解：由根与系数的关系得x1＋x2＝－(2m＋1)，x1x2＝m－2.
由x1＋x2＋3x1x2＝1，得－(2m＋1)＋3(m－2)＝1，
解得m＝8.
22．解：阅读材料：x＝2
理解应用：移项，得x－2＝.
两边平方，得x2－4x＋4＝(x＋1)．
解得x1＝，x2＝3.
经检验，原无理方程的根为x＝3.
23．解：(1)设y关于x的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)．
由题意得解得
∴y关于x的函数关系式为y＝－20x＋1 000(10≤x≤30)．
(2)依题意得(x－10)(－20x＋1 000)＝6 000，
整理得x2－60x＋800＝0，解得x1＝20，x2＝40.
∵10≤x≤30，
∴x＝20.
∴若销售该书每天的利润为6 000元，则该书的销售单价为20元．
(3)不能．理由如下：
依题意得(x－10)(－20x＋1 000)＝9 000，
整理得x2－60x＋950＝0.
∵Δ＝(－60)2－4×1×950＝－200<0，∴该方程没有实数根．
∴销售该书每天的利润不能达到9 000元．
24．解：变形：方程变形为x(x＋b)＝c.
构图：如图所示，画出四个长为x＋b，宽为x的矩形．
INCLUDEPICTURE"CO81DA.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\邵雪花\\23秋\\数学\\9RJ-全国\\word\\CO81DA.tif" \* MERGEFORMATINET
解答：由图知，大正方形面积的两种表达方式为(x＋x＋b)2，4x(x＋b)＋b2.
由面积相等得(x＋x＋b)2＝4x(x＋b)＋b2.
∵x(x＋b)＝c，∴(2x＋b)2＝4c＋b2.
∵x>0，∴x＝.