数学 2014届中考二轮复习真题演练（含答案解析）
文档属性
| 名称 | 数学 2014届中考二轮复习真题演练（含答案解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 321.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2014-04-16 08:34:59 | ||
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文档简介
二轮复习真题演练
探究型问题]
一、选择题
1．（2013 永州）如图，下列条件中能判定直线l1∥l2的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠1=∠5 C．∠1+∠3=180° D．∠3=∠5
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201307/21/f7dcb4b9.png" \* MERGEFORMATINET
1．C
2．（2013 安顺）如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（ ）
A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201306/98/d86a75c5.png" \* MERGEFORMATINET
2．B
3．（2013 湘潭）如图，在△ABC中 ( http: / / www.21cnjy.com )，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（ ）
A．BD=CE B．AD=AE C．DA=DE D．BE=CD
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201307/10/810af566.png" \* MERGEFORMATINET
3．C
[中~国%&*教育出︿版网]
二、填空题
4．（2013 娄底）如图，AB=AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是 ∠B=∠C或AE=AD
（添加一个条件即可）．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201307/24/577f9285.png" \* MERGEFORMATINET
4．∠B=∠C或AE=AD
5．（2013 白银）如图，已知BC=EC，∠BCE=∠ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为 AC=CD
．（答案不唯一，只需填一个）[来~源:中国教育出版%&网︿#]
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201306/106/54af345d.png" \* MERGEFORMATINET
5．AC=CD
6．（2013 上海）如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，BF=CE，AC∥DF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是 AC=DF
．（只需写一个，不添加辅助线）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201306/71/6c44a2d9.png" \* MERGEFORMATINET
6．AC=DF
7．（2013 黑龙江）如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件： AD=DC
，使得平行四边形ABCD为菱形．
7．AD=DC
8．（2013 西城区一模）在平面直角坐标系xOy中，有一只电子青蛙在点A（1，0）处．
第一次，它从点A先向右跳跃1个单位，再向上跳跃1个单位到达点A1；
第二次，它从点A1先向左跳跃2个单位，再向下跳跃2个单位到达点A2；
第三次，它从点A2先向右跳跃3个单位，再向上跳跃3个单位到达点A3；
第四次，它从点A3先向左跳跃4个单位，再向下跳跃4个单位到达点A4；
依此规律进行，点A6的坐标为 （-2-3）
；若点An的坐标为（2013，2012），则n= 4023
．[中
8．（-2-3），4023
9．（2013 湛江）如图，所有正三角形的一边平行于x轴，一顶点在y轴上．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1、A2、A3、A4…表示，其中A1A2与x轴、底边A1A2与A4A5、A4A5与A7A8、…均相距一个单位，则顶点A3的坐标是 -1）
，A92的坐标是 （31，-31）
．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201306/68/370e22ea.png" \* MERGEFORMATINET
9．（0， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ），（31，-31）
10．（2013 绍兴）如图钢架中，焊上等 ( http: / / www.21cnjy.com )长的13根钢条来加固钢架，若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，则∠A的度数是 12°
．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201307/44/114660b3.png" \* MERGEFORMATINET
10．12°
三、解答题
11．（2013 茂名）如图，在 ABCD中，点E是AB边的中点，DE与CB的延长线交于点F．[来
（1）求证：△ADE≌△BFE；
（2）若DF平分∠ADC，连接CE．试判断CE和DF的位置关系，并说明理由．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201307/65/f0800fb5.png" \* MERGEFORMATINET
11．解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
又∵点F在CB的延长线上，
∴AD∥CF，
∴∠1=∠2．
∵点E是AB边的中点，
∴AE=BE．
∵在△ADE与△BFE中，
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，21世纪教育网
∴△ADE≌△BFE（AAS）；
（2）解：CE⊥DF．理由如下：
如图，连接CE．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201307/76/d0fc22bc.png" \* MERGEFORMATINET
由（1）知，△ADE≌△BFE，
∴DE=FE，即点E是DF的中点，∠1=∠2．
∵DF平分∠ADC，
∴∠1=∠3，
∴∠3=∠2，
∴CD=CF，
∴CE⊥DF．
12．（2013 白银）如图，在△ABC ( http: / / www.21cnjy.com )中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．
（1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201208/30/b8538211.png" \* MERGEFORMATINET
12．解：（1）BD=CD．
理由如下：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△AEF和△DEC中， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF=CD，
∵AF=BD，
∴BD=CD；
（2）当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形．
理由如下：∵AF∥BD，AF=BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB=AC，BD=CD，
∴∠ADB=90°，
∴ AFBD是矩形．
13．（2013 无锡） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在①AB∥CD；②AO=CO；③AD=BC中任意选取两个作为条件，“四边形ABCD是平行四边形”为结论构造命题．
（1）以①②作为条件构成的命题是真命题吗？若是，请证明；若不是，请举出反例；
（2）写出按题意构成的所有命题中的假命题，并举出反例加以说明．（命题请写成“如果…，那么…．”的形式）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201307/14/ad9fdcce.png" \* MERGEFORMATINET
13．（1）以①②作为条件构成的命题是真命题，
证明：∵AB∥CD，
∴△AOB∽△COD，
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
∵AO=OC，
∴OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
（2）根据①③作为条件构成的命题是假命题，即如果有一组对边平行，而另一组对边相等的四边形时平行四边形，如等腰梯形符合，但不是平行四边形；
根据②③作为条件构成的命题是假命题，即如果一个四边形ABCD的对角线交于O，且OA=OC，AD=BC，那么这个四边形时平行四边形，如图，
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201307/21/dbeb55f2.png" \* MERGEFORMATINET
根据已知不能推出OB=OD或AD∥BC或AB=DC，即四边形不是平行四边形．[来源:z~@z︿step.#*com]
14．（2013 宁波）已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，-3）．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=-x上，并写出平移后抛物线的解析式．[中%国教*~育︿出版网@]
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14．解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），
可设抛物线解析式为y=a（x-1）（x-3），
把C（0，-3）代入得：3a=-3，
解得：a=-1，
故抛物线解析式为y=-（x-1）（x-3），
即y=-x2+4x-3，
∵y=-x2+4x-3=-（x-2）2+1，
∴顶点坐标（2，1）；
（2）先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y=-x2，平移后抛物线的顶点为（0，0）落在直线y=-x上．
15．（2013 凉山州）先阅读以下材料，然后解答问题：
材料：将二次函数y=-x2+2x+3的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，求平移后的抛物线的解析式（平移后抛物线的形状不变）．
解：在抛物线y=-x2+2x+3图象上 ( http: / / www.21cnjy.com )任取两点A（0，3）、B（1，4），由题意知：点A向左平移1个单位得到A′（-1，3），再向下平移2个单位得到A″（-1，1）；点B向左平移1个单位得到B′（0，4），再向下平移2个单位得到B″（0，2）．
设平移后的抛物线的解析式为y=-x2+bx+c．则点A″（-1，1），B″（0，2）在抛物线上．可得：
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，解得： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．所以平移后的抛物线的解析式为：y=-x2+2．
根据以上信息解答下列问题：
将直线y=2x-3向右平移3个单位，再向上平移1个单位，求平移后的直线的解析式．
15．解：在直线y=2x-3上任取一点A（0，-3），由题意知A向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到A′（3，-2），
设平移后的解析式为y=2x+b，
则A′（3，-2）在y=2x+b的解析式上，
-2=2×3+b，
解得：b=-8，
所以平移后的直线的解析式为y=2x-8．
16．（2013 湖州）一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：
如图，已知在Rt△ABC中，AB= ( http: / / www.21cnjy.com )BC，∠ABC=90°，BO⊥AC，于点O，点PD分别在AO和BC上，PB=PD，DE⊥AC于点E，求证：△BPO≌△PDE．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201306/77/7f4b526d.png" \* MERGEFORMATINET
（1）理清思路，完成解答（2）本题证明的思路可用下列框图表示：
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201306/80/051b5901.png" \* MERGEFORMATINET
根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程．
（2）特殊位置，证明结论
若PB平分∠ABO，其余条件不变．求证：AP=CD．
（3）知识迁移，探索新知
若点P是一个动点，点P运动到OC的 ( http: / / www.21cnjy.com )中点P′时，满足题中条件的点D也随之在直线BC上运动到点D′，请直接写出CD′与AP′的数量关系．（不必写解答过程）
16．（1）证明：∵PB=PD，
∴∠2=∠PBD，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠C=45°，
∵BO⊥AC，
∴∠1=45°，
∴∠1=∠C=45°，
∵∠3=∠PBO-∠1，∠4=∠2-∠C，
∴∠3=∠4，
∵BO⊥AC，DE⊥AC，
∴∠BOP=∠PED=90°，
在△BPO和△PDE中
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
∴△BPO≌△PDE（AAS）；
（2）证明：由（1）可得：∠3=∠4，
∵BP平分∠ABO，
∴∠ABP=∠3，
∴∠ABP=∠4，]
在△ABP和△CPD中
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 。
∴△ABP≌△CPD（AAS），
∴AP=CD．
（3）解：CD′与AP′的数量关系是CD′= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 AP′．
理由是：如图，
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201306/80/8ee3e1b3.png" \* MERGEFORMATINET
设OP=PC=x，则AO=OC=2x=BO，
则AP=2x+x=3x，
由（2）知BO=PE，
PE=2x，CE=2x-x=x，
∵∠E=90°，∠ECD=∠ACB=45°，
∴DE=x，由勾股定理得：CD= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 x，
即AP=3x，CD= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 x，
∴CD′与AP′的数量关系是CD′= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 AP′
17．（2013 淄博）分别以 ABCD（∠CDA≠90°）的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形，△ABE，△CDG，△ADF．
（1）如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF．请判断GF与EF的关系（只写结论，不需证明）；
（2）如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF，EF，（1）中结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201307/46/e0cd404a.png" \* MERGEFORMATINET
17．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠DAB+∠ADC=180°，
∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，
∴DG=CG=AE=BE，DF=AF，∠CDG=∠ADF=∠BAE=45°，
∴∠GDF=∠GDC+∠CDA+∠ADF=90°+∠CDA，
∠EAF=360°-∠BAE-∠DAF-∠BAD=270°-（180°-∠CDA）=90°+∠CDA，[来源:21世纪教育网]
∴∠FDG=∠EAF，
∵在△EAF和△GDF中，
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
∴△EAF≌△GDF（SAS），
∴EF=FG，∠EFA=∠DFG，即∠GFD+∠GFA=∠EFA+∠GFA，
∴∠GFE=90°，
∴GF⊥EF；
（2）GF⊥EF，GF=EF成立；
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠DAB+∠ADC=180°，
∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，
∴DG=CG=AE=BE，DF=AF，∠CDG=∠ADF=∠BAE=45°，
∴∠BAE+∠FDA+∠EAF+∠ADF+∠FDC=180°，
∴∠EAF+∠CDF=45°，
∵∠CDF+∠GDF=45°，
∴∠FDG=∠EAF，
∵在△EAF和△GDF中，
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
∴△EAF≌△GDF（SAS），
∴EF=FG，∠EFA=∠DFG，即∠GFD+∠GFA=∠EFA+∠GFA，
∴∠GFE=90°，
∴GF⊥EF．
18．（2013 张家界）如图，△ABC中 ( http: / / www.21cnjy.com )，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201306/106/555ab352.png" \* MERGEFORMATINET
18．（1）证明：如图，[
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201306/108/a031e6eb.png" \* MERGEFORMATINET
∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2=∠5，4=∠6，
∵MN∥BC，
∴∠1=∠5，3=∠6，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴EO=CO，FO=CO，
∴OE=OF；
（2）∵∠2=∠5，∠4=∠6，
∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，
∵CE=12，CF=5，
∴EF= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 =13，
∴OC= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 EF=6.5；
（3）答：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
证明：当O为AC的中点时，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
19．（2013 衡阳）如图，P为正方形ABCD的边AD上的一个动点，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分别为点E、F，已知AD=4．
（1）试说明AE2+CF2的值是一个常数；
（2）过点P作PM∥FC交CD于点M，点P在何位置时线段DM最长，并求出此时DM的值．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201306/87/a011bf86.png" \* MERGEFORMATINET
19．解：（1）由已知∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，
又∵∠ABE+∠FBC=∠BCF+∠FBC，
∴∠ABE=∠BCF，
∵在△ABE和△BCF中，
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AE=BF，
∴AE2+CF2=BF2+CF2=BC2=16为常数；
（2）设AP=x，则PD=4-x，
由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP，
∴△PDM∽△BAP，
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
即 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
∴DM= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
当x=2时，DM有最大值为1．
20．（2013 宁夏）在 ( http: / / www.21cnjy.com ) ABCD中，P是AB边上的任意一点，过P点作PE⊥AB，交AD于E，连结CE，CP．已知∠A=60°；[来%源︿#:&中教网@]
（1）若BC=8，AB=6，当AP的长为多少时，△CPE的面积最大，并求出面积的最大值．
（2）试探究当△CPE≌△CPB时， ABCD的两边AB与BC应满足什么关系？
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201307/14/f39d600c.png" \* MERGEFORMATINET [
20．解：（1）如图，延长PE交CD的延长线于F，
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201307/23/7ed9ec7e.png" \* MERGEFORMATINET
设AP=x，△CPE的面积为y，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=DC=6，AD=BC=8，
∵Rt△APE，∠A=60°，
∴∠PEA=30°，
∴AE=2x，PE= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 x，
在Rt△DEF中，∠DEF=∠PEA=30°，DE=AD-AE=8-2x，
∴DF= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 DE=4-x，
∵AB∥CD，PF⊥AB，
∴PF⊥CD，
∴S△CPE= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 PE CF，
即y= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 × HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 x×（10-x）=- HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 x2+5 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 x，
配方得：y=- HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 （x-5）2+ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
当x=5时，y有最大值 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
即AP的长为5时，△CPE的面积最大，最大面积是 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ；
（2）当△CPE≌△CPB时，有BC=CE，∠B=∠PEC=120°，
∴∠CED=180°-∠AEP-∠PEC=30°，
∵∠ADC=120°，
∴∠ECD=∠CED=180°-120°-30°=30°，
∴DE=CD，即△EDC是等腰三角形，
过D作DM⊥CE于M，则CM= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 CE，
在Rt△CMD中，∠ECD=30°，
∴cos30°= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
∴CM= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 CD，
∴CE= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 CD，
∵BC=CE，AB=CD，
∴BC= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 AB，
则当△CPE≌△CPB时，BC与AB满足的关系为BC= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 AB．
21．（2013 南平）在矩形ABCD中，点E在BC边上，过E作EF⊥AC于F，G为线段AE的中点，连接BF、FG、GB．设 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 =k．
（1）证明：△BGF是等腰三角形；
（2）当k为何值时，△BGF是等边三角形？
（3）我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．事实上，在一个三角形中，较大的边所对的角也较大；反之也成立．
利用上述结论，探究：当△BGF分别为锐角、直角、钝角三角形时，k的取值范围．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201307/66/e6843b8b.png" \* MERGEFORMATINET
21．解：（1）证明：∵EF⊥AC于点F，
∴∠AFE=90°[
∵在Rt△AEF中，G为斜边AE的中点，
∴GF= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 AE，
在Rt△ABE中，同理可得BG= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 AE，
∴GF=GB，
∴△BGF为等腰三角形；
（2）当△BGF为等边三角形时，∠BGF=60°
∵GF=GB=AG，
∴∠BGE=2∠BAE，∠FGE=2∠CAE
∴∠BGF=2∠BAC，
∴∠BAC=30°，
∴∠ACB=60°，
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 =tan∠ACB= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
∴当k= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 时，△BGF为等边三角形；
（3）由（1）得△BGF为等腰三角形，由（2）得∠BAC= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ∠BGF，
∴当△BGF为锐角三角形时，∠BGF＜90°，
∴∠BAC＜45°，
∴AB＞BC，
∴k= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ＞1；
当△BGF为直角三角形时，∠BGF=90°，
∴∠BAC=45°
∴AB=BC，
∴k= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 =1；
当△BGF为钝角三角形时，∠BGF＞90°，
∴∠BAC＞45°[
∴AB＜BC，
∴k= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ＜1；
∴0＜k＜1．
22．（2013 德阳） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，已知AB是⊙O直径，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于点F，交BC于点G，过点C作⊙O的切线与ED的延长线交于点P．
（1）求证：PC=PG；21世纪教育网
（2）点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若点G是BC的中点，试探究CG、BF、BO三者之间的数量关系，并写出证明过程；
（3）在满足（2）的条件下，已知⊙O的半径为5，若点O到BC的距离为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 时，求弦ED的长．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201307/67/ee1cbaa1.png" \* MERGEFORMATINET
22．（1）证明：连结OC，如图，
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201307/94/e5ce4806.png" \* MERGEFORMATINET
∵PC为⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠OCG+∠PCG=90°，
∵ED⊥AB，
∴∠B+∠BGF=90°，
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCG，
∴∠PCG=∠BGF，
而∠BGF=∠PGC，
∴∠PGC=∠PCG，
∴PC=PG；
（2）解：CG、BF、BO三者之间的数量关系为CG2=BO BF．理由如下：
连结OG，如图，
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201307/94/e5ce4806.png" \* MERGEFORMATINET
∵点G是BC的中点，
∴OG⊥BC，BG=CG，
∴∠OGB=90°，
∵∠OBG=∠GBF，
∴Rt△BOG∽Rt△BGF，
∴BG：BF=BO： BG，
∴BG2=BO BF，
∴CG2=BO BF；
（3）解：连结OE，如图，
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201307/94/e5ce4806.png" \* MERGEFORMATINET
由（2）得BG⊥BC，
∴OG= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
在Rt△OBG中，OB=5，
∴BG= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 =2 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
由（2）得BG2=BO BF，
∴BF= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 =4，
∴OF=1，
在Rt△OEF中，EF= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 =2 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
∵AB⊥ED，
∴EF=DF，
∴DE=2EF=4 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
23．（2013 泉州）如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A（-6，0），过点E（-2，0）作EF∥AB，交BO于F；
（1）求EF的长；
（2）过点F作直线l分别与直线AO、直线BC交于点H、G；
①根据上述语句，在图1上画出图形，并证明 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ；
②过点G作直线GD∥AB，交x轴于点D，以圆O为圆心，OH长为半径在x轴上方作半圆（包括直径两端点），使它与GD有公共点P．如图2所示，当直线l绕点F旋转时，点P也随之运动，证明： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，并通过操作、观察，直接写出BG长度的取值范围（不必说理）；
（3）在（2）中，若点M（2， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ），探索2PO+PM的最小值．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201307/106/4a47676d.png" \* MERGEFORMATINET
23．（1）解：解法一：在正方形OABC中，
∠FOE=∠BOA= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ∠COA=45°．
∵EF∥AB，
∴∠FEO=∠BAO=90°，
∴∠EFO=∠FOE=45°，
又E（-2，0），
∴EF=EO=2．
解法二：∵A（-6，0），C（0，6），E（-2，0），
∴OA=AB=6，EO=2，
∵EF∥AB，
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，即 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
∴EF=6× HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 =2．
（2）①画图，如答图1所示：
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201307/106/23f569c0.png" \* MERGEFORMATINET
证明：∵四边形OABC是正方形，
∴OH∥BC，
∴△OFH∽△BFG，
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ；
∵EF∥AB，
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ；
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
②证明：∵半圆与GD交于点P，
∴OP=OH．
由①得： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
又EO=2，EA=OA-EO=6-2=4，
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 = HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
通过操作、观察可得，4≤BG≤12．
（3）解：由（2）可得： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 = HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
∴2OP+PM=BG+PM．
如答图2所示，过点M作直线MN⊥AB于点N，交GD于点K，则四边形BNKG为矩形，
∴NK=BG．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201307/106/b151b5b7.png" \* MERGEFORMATINET
∴2OP+PM=BG+PM=NK+PM≥NK+KM，
当点P与点K重合，即当点P在直线MN上时，等号成立．
又∵NK+KM≥MN=8，
当点K在线段MN上时，等号成立．
∴当点P在线段MN上时，2OP+PM的值最小，最小值为8．
24．（2013 梅州）用如图①，②所示的两个直角三角形（部分边长及角的度数在图中已标出），完成以下两个探究问题：
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201307/112/5f1388f5.png" \* MERGEFORMATINET [来源︿:zz&step.co@~m%]
探究一：将以上两个三角形如图③拼接（BC和ED重合），在BC边上有一动点P．
（1）当点P运动到∠CFB的角平分线上时，连接AP，求线段AP的长；
（2）当点P在运动的过程中出现PA=FC时，求∠PAB的度数．21世纪教育网
探究二：如图④，将△DEF的顶点D放在 ( http: / / www.21cnjy.com )△ABC的BC边上的中点处，并以点D为旋转中心旋转△DEF，使△DEF的两直角边与△ABC的两直角边分别交于M、N两点，连接MN．在旋转△DEF的过程中，△AMN的周长是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201307/112/154e0a91.png" \* MERGEFORMATINET
24．解：探究一：（1）依题意画出图形，如答图1所示：
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201307/112/20242b76.png" \* MERGEFORMATINET
由题意，得∠CFB=60°，FP为角平分线，则∠CFP=30°，
∴CF=BC sin30°=3× HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 = HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
∴CP=CF tan∠CFP= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 × HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 =1．
过点A作AG⊥BC于点G，则AG= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 BC= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
∴PG=CG-CP= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 -1= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
在Rt△APG中，由勾股定理得：
AP= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
（2）由（1）可知，FC= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
如答图2所示，以点A为圆心，以FC= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 长为半径画弧，与BC交于点P1、P2，则AP1=AP2= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201307/112/2c9d35a5.png" \* MERGEFORMATINET [ww@w#.zzs%t~e&p.com]
过点A过AG⊥BC于点G，则AG= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 BC= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
在Rt△AGP1中，cos∠P1AG= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
∴∠P1AG=30°，[中国教#育%&@出~版网]
∴∠P1AB=45°-30°=15°；
同理求得，∠P2AG=30°，∠P2AB=45°+30°=75°．
∴∠PAB的度数为15°或75°．
探究二：△AMN的周长存在有最小值．
如答图3所示，连接AD．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201307/112/88e6bfe5.png" \* MERGEFORMATINET
∵△ABC为等腰直角三角形，点D为斜边BC的中点，
∴AD=CD，∠C=∠MAD=45°．
∵∠EDF=90°，∠ADC=90°，
∴∠MDA=∠NDC．
∵在△AMD与△CND中，
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
∴△AMD≌△CND（ASA）．
∴AM=CN．
设AM=x，则CN=x，AN=AC-CN= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 BC-CN= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 -x．[
在Rt△AMN中，由勾股定理得：
MN= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 = HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
△AMN的周长为：AM+AN+MN= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 + HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
当x= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 时，有最小值，最小值为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 = HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
∴△AMN周长的最小值为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．[来源:21世纪教育网]
点评：本题是几何综合题，考查了解直角三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形、勾股定理、全等三角形、二次函数最值等知识点．难点在于第（3）问，由发现并证明△AMD≌△CND取得解题的突破点，再利用勾股定理和二次函数的性质求出最小值．
探究型问题]
一、选择题
1．（2013 永州）如图，下列条件中能判定直线l1∥l2的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠1=∠5 C．∠1+∠3=180° D．∠3=∠5
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201307/21/f7dcb4b9.png" \* MERGEFORMATINET
1．C
2．（2013 安顺）如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（ ）
A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201306/98/d86a75c5.png" \* MERGEFORMATINET
2．B
3．（2013 湘潭）如图，在△ABC中 ( http: / / www.21cnjy.com )，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（ ）
A．BD=CE B．AD=AE C．DA=DE D．BE=CD
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201307/10/810af566.png" \* MERGEFORMATINET
3．C
[中~国%&*教育出︿版网]
二、填空题
4．（2013 娄底）如图，AB=AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是 ∠B=∠C或AE=AD
（添加一个条件即可）．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201307/24/577f9285.png" \* MERGEFORMATINET
4．∠B=∠C或AE=AD
5．（2013 白银）如图，已知BC=EC，∠BCE=∠ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为 AC=CD
．（答案不唯一，只需填一个）[来~源:中国教育出版%&网︿#]
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201306/106/54af345d.png" \* MERGEFORMATINET
5．AC=CD
6．（2013 上海）如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，BF=CE，AC∥DF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是 AC=DF
．（只需写一个，不添加辅助线）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201306/71/6c44a2d9.png" \* MERGEFORMATINET
6．AC=DF
7．（2013 黑龙江）如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件： AD=DC
，使得平行四边形ABCD为菱形．
7．AD=DC
8．（2013 西城区一模）在平面直角坐标系xOy中，有一只电子青蛙在点A（1，0）处．
第一次，它从点A先向右跳跃1个单位，再向上跳跃1个单位到达点A1；
第二次，它从点A1先向左跳跃2个单位，再向下跳跃2个单位到达点A2；
第三次，它从点A2先向右跳跃3个单位，再向上跳跃3个单位到达点A3；
第四次，它从点A3先向左跳跃4个单位，再向下跳跃4个单位到达点A4；
依此规律进行，点A6的坐标为 （-2-3）
；若点An的坐标为（2013，2012），则n= 4023
．[中
8．（-2-3），4023
9．（2013 湛江）如图，所有正三角形的一边平行于x轴，一顶点在y轴上．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1、A2、A3、A4…表示，其中A1A2与x轴、底边A1A2与A4A5、A4A5与A7A8、…均相距一个单位，则顶点A3的坐标是 -1）
，A92的坐标是 （31，-31）
．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201306/68/370e22ea.png" \* MERGEFORMATINET
9．（0， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ），（31，-31）
10．（2013 绍兴）如图钢架中，焊上等 ( http: / / www.21cnjy.com )长的13根钢条来加固钢架，若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，则∠A的度数是 12°
．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201307/44/114660b3.png" \* MERGEFORMATINET
10．12°
三、解答题
11．（2013 茂名）如图，在 ABCD中，点E是AB边的中点，DE与CB的延长线交于点F．[来
（1）求证：△ADE≌△BFE；
（2）若DF平分∠ADC，连接CE．试判断CE和DF的位置关系，并说明理由．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201307/65/f0800fb5.png" \* MERGEFORMATINET
11．解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
又∵点F在CB的延长线上，
∴AD∥CF，
∴∠1=∠2．
∵点E是AB边的中点，
∴AE=BE．
∵在△ADE与△BFE中，
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，21世纪教育网
∴△ADE≌△BFE（AAS）；
（2）解：CE⊥DF．理由如下：
如图，连接CE．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201307/76/d0fc22bc.png" \* MERGEFORMATINET
由（1）知，△ADE≌△BFE，
∴DE=FE，即点E是DF的中点，∠1=∠2．
∵DF平分∠ADC，
∴∠1=∠3，
∴∠3=∠2，
∴CD=CF，
∴CE⊥DF．
12．（2013 白银）如图，在△ABC ( http: / / www.21cnjy.com )中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．
（1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201208/30/b8538211.png" \* MERGEFORMATINET
12．解：（1）BD=CD．
理由如下：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△AEF和△DEC中， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF=CD，
∵AF=BD，
∴BD=CD；
（2）当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形．
理由如下：∵AF∥BD，AF=BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB=AC，BD=CD，
∴∠ADB=90°，
∴ AFBD是矩形．
13．（2013 无锡） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在①AB∥CD；②AO=CO；③AD=BC中任意选取两个作为条件，“四边形ABCD是平行四边形”为结论构造命题．
（1）以①②作为条件构成的命题是真命题吗？若是，请证明；若不是，请举出反例；
（2）写出按题意构成的所有命题中的假命题，并举出反例加以说明．（命题请写成“如果…，那么…．”的形式）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201307/14/ad9fdcce.png" \* MERGEFORMATINET
13．（1）以①②作为条件构成的命题是真命题，
证明：∵AB∥CD，
∴△AOB∽△COD，
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
∵AO=OC，
∴OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
（2）根据①③作为条件构成的命题是假命题，即如果有一组对边平行，而另一组对边相等的四边形时平行四边形，如等腰梯形符合，但不是平行四边形；
根据②③作为条件构成的命题是假命题，即如果一个四边形ABCD的对角线交于O，且OA=OC，AD=BC，那么这个四边形时平行四边形，如图，
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201307/21/dbeb55f2.png" \* MERGEFORMATINET
根据已知不能推出OB=OD或AD∥BC或AB=DC，即四边形不是平行四边形．[来源:z~@z︿step.#*com]
14．（2013 宁波）已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，-3）．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=-x上，并写出平移后抛物线的解析式．[中%国教*~育︿出版网@]
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "../AppData/Local/Temp/Application%20Data/360se6/User%20Data/Temp/f403c292.png" \* MERGEFORMAT
14．解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），
可设抛物线解析式为y=a（x-1）（x-3），
把C（0，-3）代入得：3a=-3，
解得：a=-1，
故抛物线解析式为y=-（x-1）（x-3），
即y=-x2+4x-3，
∵y=-x2+4x-3=-（x-2）2+1，
∴顶点坐标（2，1）；
（2）先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y=-x2，平移后抛物线的顶点为（0，0）落在直线y=-x上．
15．（2013 凉山州）先阅读以下材料，然后解答问题：
材料：将二次函数y=-x2+2x+3的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，求平移后的抛物线的解析式（平移后抛物线的形状不变）．
解：在抛物线y=-x2+2x+3图象上 ( http: / / www.21cnjy.com )任取两点A（0，3）、B（1，4），由题意知：点A向左平移1个单位得到A′（-1，3），再向下平移2个单位得到A″（-1，1）；点B向左平移1个单位得到B′（0，4），再向下平移2个单位得到B″（0，2）．
设平移后的抛物线的解析式为y=-x2+bx+c．则点A″（-1，1），B″（0，2）在抛物线上．可得：
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，解得： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．所以平移后的抛物线的解析式为：y=-x2+2．
根据以上信息解答下列问题：
将直线y=2x-3向右平移3个单位，再向上平移1个单位，求平移后的直线的解析式．
15．解：在直线y=2x-3上任取一点A（0，-3），由题意知A向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到A′（3，-2），
设平移后的解析式为y=2x+b，
则A′（3，-2）在y=2x+b的解析式上，
-2=2×3+b，
解得：b=-8，
所以平移后的直线的解析式为y=2x-8．
16．（2013 湖州）一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：
如图，已知在Rt△ABC中，AB= ( http: / / www.21cnjy.com )BC，∠ABC=90°，BO⊥AC，于点O，点PD分别在AO和BC上，PB=PD，DE⊥AC于点E，求证：△BPO≌△PDE．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201306/77/7f4b526d.png" \* MERGEFORMATINET
（1）理清思路，完成解答（2）本题证明的思路可用下列框图表示：
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201306/80/051b5901.png" \* MERGEFORMATINET
根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程．
（2）特殊位置，证明结论
若PB平分∠ABO，其余条件不变．求证：AP=CD．
（3）知识迁移，探索新知
若点P是一个动点，点P运动到OC的 ( http: / / www.21cnjy.com )中点P′时，满足题中条件的点D也随之在直线BC上运动到点D′，请直接写出CD′与AP′的数量关系．（不必写解答过程）
16．（1）证明：∵PB=PD，
∴∠2=∠PBD，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠C=45°，
∵BO⊥AC，
∴∠1=45°，
∴∠1=∠C=45°，
∵∠3=∠PBO-∠1，∠4=∠2-∠C，
∴∠3=∠4，
∵BO⊥AC，DE⊥AC，
∴∠BOP=∠PED=90°，
在△BPO和△PDE中
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
∴△BPO≌△PDE（AAS）；
（2）证明：由（1）可得：∠3=∠4，
∵BP平分∠ABO，
∴∠ABP=∠3，
∴∠ABP=∠4，]
在△ABP和△CPD中
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 。
∴△ABP≌△CPD（AAS），
∴AP=CD．
（3）解：CD′与AP′的数量关系是CD′= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 AP′．
理由是：如图，
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201306/80/8ee3e1b3.png" \* MERGEFORMATINET
设OP=PC=x，则AO=OC=2x=BO，
则AP=2x+x=3x，
由（2）知BO=PE，
PE=2x，CE=2x-x=x，
∵∠E=90°，∠ECD=∠ACB=45°，
∴DE=x，由勾股定理得：CD= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 x，
即AP=3x，CD= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 x，
∴CD′与AP′的数量关系是CD′= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 AP′
17．（2013 淄博）分别以 ABCD（∠CDA≠90°）的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形，△ABE，△CDG，△ADF．
（1）如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF．请判断GF与EF的关系（只写结论，不需证明）；
（2）如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF，EF，（1）中结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201307/46/e0cd404a.png" \* MERGEFORMATINET
17．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠DAB+∠ADC=180°，
∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，
∴DG=CG=AE=BE，DF=AF，∠CDG=∠ADF=∠BAE=45°，
∴∠GDF=∠GDC+∠CDA+∠ADF=90°+∠CDA，
∠EAF=360°-∠BAE-∠DAF-∠BAD=270°-（180°-∠CDA）=90°+∠CDA，[来源:21世纪教育网]
∴∠FDG=∠EAF，
∵在△EAF和△GDF中，
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
∴△EAF≌△GDF（SAS），
∴EF=FG，∠EFA=∠DFG，即∠GFD+∠GFA=∠EFA+∠GFA，
∴∠GFE=90°，
∴GF⊥EF；
（2）GF⊥EF，GF=EF成立；
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠DAB+∠ADC=180°，
∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，
∴DG=CG=AE=BE，DF=AF，∠CDG=∠ADF=∠BAE=45°，
∴∠BAE+∠FDA+∠EAF+∠ADF+∠FDC=180°，
∴∠EAF+∠CDF=45°，
∵∠CDF+∠GDF=45°，
∴∠FDG=∠EAF，
∵在△EAF和△GDF中，
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
∴△EAF≌△GDF（SAS），
∴EF=FG，∠EFA=∠DFG，即∠GFD+∠GFA=∠EFA+∠GFA，
∴∠GFE=90°，
∴GF⊥EF．
18．（2013 张家界）如图，△ABC中 ( http: / / www.21cnjy.com )，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201306/106/555ab352.png" \* MERGEFORMATINET
18．（1）证明：如图，[
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201306/108/a031e6eb.png" \* MERGEFORMATINET
∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2=∠5，4=∠6，
∵MN∥BC，
∴∠1=∠5，3=∠6，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴EO=CO，FO=CO，
∴OE=OF；
（2）∵∠2=∠5，∠4=∠6，
∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，
∵CE=12，CF=5，
∴EF= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 =13，
∴OC= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 EF=6.5；
（3）答：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
证明：当O为AC的中点时，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
19．（2013 衡阳）如图，P为正方形ABCD的边AD上的一个动点，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分别为点E、F，已知AD=4．
（1）试说明AE2+CF2的值是一个常数；
（2）过点P作PM∥FC交CD于点M，点P在何位置时线段DM最长，并求出此时DM的值．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201306/87/a011bf86.png" \* MERGEFORMATINET
19．解：（1）由已知∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，
又∵∠ABE+∠FBC=∠BCF+∠FBC，
∴∠ABE=∠BCF，
∵在△ABE和△BCF中，
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AE=BF，
∴AE2+CF2=BF2+CF2=BC2=16为常数；
（2）设AP=x，则PD=4-x，
由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP，
∴△PDM∽△BAP，
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
即 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
∴DM= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
当x=2时，DM有最大值为1．
20．（2013 宁夏）在 ( http: / / www.21cnjy.com ) ABCD中，P是AB边上的任意一点，过P点作PE⊥AB，交AD于E，连结CE，CP．已知∠A=60°；[来%源︿#:&中教网@]
（1）若BC=8，AB=6，当AP的长为多少时，△CPE的面积最大，并求出面积的最大值．
（2）试探究当△CPE≌△CPB时， ABCD的两边AB与BC应满足什么关系？
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201307/14/f39d600c.png" \* MERGEFORMATINET [
20．解：（1）如图，延长PE交CD的延长线于F，
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201307/23/7ed9ec7e.png" \* MERGEFORMATINET
设AP=x，△CPE的面积为y，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=DC=6，AD=BC=8，
∵Rt△APE，∠A=60°，
∴∠PEA=30°，
∴AE=2x，PE= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 x，
在Rt△DEF中，∠DEF=∠PEA=30°，DE=AD-AE=8-2x，
∴DF= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 DE=4-x，
∵AB∥CD，PF⊥AB，
∴PF⊥CD，
∴S△CPE= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 PE CF，
即y= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 × HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 x×（10-x）=- HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 x2+5 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 x，
配方得：y=- HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 （x-5）2+ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
当x=5时，y有最大值 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
即AP的长为5时，△CPE的面积最大，最大面积是 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ；
（2）当△CPE≌△CPB时，有BC=CE，∠B=∠PEC=120°，
∴∠CED=180°-∠AEP-∠PEC=30°，
∵∠ADC=120°，
∴∠ECD=∠CED=180°-120°-30°=30°，
∴DE=CD，即△EDC是等腰三角形，
过D作DM⊥CE于M，则CM= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 CE，
在Rt△CMD中，∠ECD=30°，
∴cos30°= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
∴CM= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 CD，
∴CE= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 CD，
∵BC=CE，AB=CD，
∴BC= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 AB，
则当△CPE≌△CPB时，BC与AB满足的关系为BC= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 AB．
21．（2013 南平）在矩形ABCD中，点E在BC边上，过E作EF⊥AC于F，G为线段AE的中点，连接BF、FG、GB．设 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 =k．
（1）证明：△BGF是等腰三角形；
（2）当k为何值时，△BGF是等边三角形？
（3）我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．事实上，在一个三角形中，较大的边所对的角也较大；反之也成立．
利用上述结论，探究：当△BGF分别为锐角、直角、钝角三角形时，k的取值范围．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201307/66/e6843b8b.png" \* MERGEFORMATINET
21．解：（1）证明：∵EF⊥AC于点F，
∴∠AFE=90°[
∵在Rt△AEF中，G为斜边AE的中点，
∴GF= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 AE，
在Rt△ABE中，同理可得BG= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 AE，
∴GF=GB，
∴△BGF为等腰三角形；
（2）当△BGF为等边三角形时，∠BGF=60°
∵GF=GB=AG，
∴∠BGE=2∠BAE，∠FGE=2∠CAE
∴∠BGF=2∠BAC，
∴∠BAC=30°，
∴∠ACB=60°，
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 =tan∠ACB= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
∴当k= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 时，△BGF为等边三角形；
（3）由（1）得△BGF为等腰三角形，由（2）得∠BAC= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ∠BGF，
∴当△BGF为锐角三角形时，∠BGF＜90°，
∴∠BAC＜45°，
∴AB＞BC，
∴k= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ＞1；
当△BGF为直角三角形时，∠BGF=90°，
∴∠BAC=45°
∴AB=BC，
∴k= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 =1；
当△BGF为钝角三角形时，∠BGF＞90°，
∴∠BAC＞45°[
∴AB＜BC，
∴k= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ＜1；
∴0＜k＜1．
22．（2013 德阳） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，已知AB是⊙O直径，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于点F，交BC于点G，过点C作⊙O的切线与ED的延长线交于点P．
（1）求证：PC=PG；21世纪教育网
（2）点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若点G是BC的中点，试探究CG、BF、BO三者之间的数量关系，并写出证明过程；
（3）在满足（2）的条件下，已知⊙O的半径为5，若点O到BC的距离为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 时，求弦ED的长．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201307/67/ee1cbaa1.png" \* MERGEFORMATINET
22．（1）证明：连结OC，如图，
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201307/94/e5ce4806.png" \* MERGEFORMATINET
∵PC为⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠OCG+∠PCG=90°，
∵ED⊥AB，
∴∠B+∠BGF=90°，
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCG，
∴∠PCG=∠BGF，
而∠BGF=∠PGC，
∴∠PGC=∠PCG，
∴PC=PG；
（2）解：CG、BF、BO三者之间的数量关系为CG2=BO BF．理由如下：
连结OG，如图，
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201307/94/e5ce4806.png" \* MERGEFORMATINET
∵点G是BC的中点，
∴OG⊥BC，BG=CG，
∴∠OGB=90°，
∵∠OBG=∠GBF，
∴Rt△BOG∽Rt△BGF，
∴BG：BF=BO： BG，
∴BG2=BO BF，
∴CG2=BO BF；
（3）解：连结OE，如图，
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201307/94/e5ce4806.png" \* MERGEFORMATINET
由（2）得BG⊥BC，
∴OG= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
在Rt△OBG中，OB=5，
∴BG= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 =2 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
由（2）得BG2=BO BF，
∴BF= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 =4，
∴OF=1，
在Rt△OEF中，EF= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 =2 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
∵AB⊥ED，
∴EF=DF，
∴DE=2EF=4 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
23．（2013 泉州）如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A（-6，0），过点E（-2，0）作EF∥AB，交BO于F；
（1）求EF的长；
（2）过点F作直线l分别与直线AO、直线BC交于点H、G；
①根据上述语句，在图1上画出图形，并证明 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ；
②过点G作直线GD∥AB，交x轴于点D，以圆O为圆心，OH长为半径在x轴上方作半圆（包括直径两端点），使它与GD有公共点P．如图2所示，当直线l绕点F旋转时，点P也随之运动，证明： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，并通过操作、观察，直接写出BG长度的取值范围（不必说理）；
（3）在（2）中，若点M（2， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ），探索2PO+PM的最小值．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201307/106/4a47676d.png" \* MERGEFORMATINET
23．（1）解：解法一：在正方形OABC中，
∠FOE=∠BOA= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ∠COA=45°．
∵EF∥AB，
∴∠FEO=∠BAO=90°，
∴∠EFO=∠FOE=45°，
又E（-2，0），
∴EF=EO=2．
解法二：∵A（-6，0），C（0，6），E（-2，0），
∴OA=AB=6，EO=2，
∵EF∥AB，
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，即 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
∴EF=6× HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 =2．
（2）①画图，如答图1所示：
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201307/106/23f569c0.png" \* MERGEFORMATINET
证明：∵四边形OABC是正方形，
∴OH∥BC，
∴△OFH∽△BFG，
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ；
∵EF∥AB，
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ；
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
②证明：∵半圆与GD交于点P，
∴OP=OH．
由①得： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
又EO=2，EA=OA-EO=6-2=4，
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 = HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
通过操作、观察可得，4≤BG≤12．
（3）解：由（2）可得： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 = HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
∴2OP+PM=BG+PM．
如答图2所示，过点M作直线MN⊥AB于点N，交GD于点K，则四边形BNKG为矩形，
∴NK=BG．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201307/106/b151b5b7.png" \* MERGEFORMATINET
∴2OP+PM=BG+PM=NK+PM≥NK+KM，
当点P与点K重合，即当点P在直线MN上时，等号成立．
又∵NK+KM≥MN=8，
当点K在线段MN上时，等号成立．
∴当点P在线段MN上时，2OP+PM的值最小，最小值为8．
24．（2013 梅州）用如图①，②所示的两个直角三角形（部分边长及角的度数在图中已标出），完成以下两个探究问题：
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201307/112/5f1388f5.png" \* MERGEFORMATINET [来源︿:zz&step.co@~m%]
探究一：将以上两个三角形如图③拼接（BC和ED重合），在BC边上有一动点P．
（1）当点P运动到∠CFB的角平分线上时，连接AP，求线段AP的长；
（2）当点P在运动的过程中出现PA=FC时，求∠PAB的度数．21世纪教育网
探究二：如图④，将△DEF的顶点D放在 ( http: / / www.21cnjy.com )△ABC的BC边上的中点处，并以点D为旋转中心旋转△DEF，使△DEF的两直角边与△ABC的两直角边分别交于M、N两点，连接MN．在旋转△DEF的过程中，△AMN的周长是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201307/112/154e0a91.png" \* MERGEFORMATINET
24．解：探究一：（1）依题意画出图形，如答图1所示：
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201307/112/20242b76.png" \* MERGEFORMATINET
由题意，得∠CFB=60°，FP为角平分线，则∠CFP=30°，
∴CF=BC sin30°=3× HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 = HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
∴CP=CF tan∠CFP= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 × HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 =1．
过点A作AG⊥BC于点G，则AG= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 BC= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
∴PG=CG-CP= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 -1= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
在Rt△APG中，由勾股定理得：
AP= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
（2）由（1）可知，FC= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
如答图2所示，以点A为圆心，以FC= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 长为半径画弧，与BC交于点P1、P2，则AP1=AP2= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201307/112/2c9d35a5.png" \* MERGEFORMATINET [ww@w#.zzs%t~e&p.com]
过点A过AG⊥BC于点G，则AG= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 BC= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
在Rt△AGP1中，cos∠P1AG= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
∴∠P1AG=30°，[中国教#育%&@出~版网]
∴∠P1AB=45°-30°=15°；
同理求得，∠P2AG=30°，∠P2AB=45°+30°=75°．
∴∠PAB的度数为15°或75°．
探究二：△AMN的周长存在有最小值．
如答图3所示，连接AD．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201307/112/88e6bfe5.png" \* MERGEFORMATINET
∵△ABC为等腰直角三角形，点D为斜边BC的中点，
∴AD=CD，∠C=∠MAD=45°．
∵∠EDF=90°，∠ADC=90°，
∴∠MDA=∠NDC．
∵在△AMD与△CND中，
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
∴△AMD≌△CND（ASA）．
∴AM=CN．
设AM=x，则CN=x，AN=AC-CN= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 BC-CN= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 -x．[
在Rt△AMN中，由勾股定理得：
MN= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 = HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
△AMN的周长为：AM+AN+MN= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 + HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
当x= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 时，有最小值，最小值为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 = HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
∴△AMN周长的最小值为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．[来源:21世纪教育网]
点评：本题是几何综合题，考查了解直角三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形、勾股定理、全等三角形、二次函数最值等知识点．难点在于第（3）问，由发现并证明△AMD≌△CND取得解题的突破点，再利用勾股定理和二次函数的性质求出最小值．
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