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仿真卷 01
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合 A {x | x2 4x 3 0}，集合 B {x | x m}，若 A B {x | x 1}，则（ ）。
A、1 m 3
B、1 m 3
C、1 m 3
D、m 1
2．数系的扩张过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克说“上帝创造了整数，其余都是人做的工作”，复
数是由数学家在数系中规定了虚数 i2 1而得到。若复数 z满足 z (2 i) 4 3i，则 z （ ）。
A、1 2i
B、1 2i
C、 2 i
D、 2 i
3．某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布 N (105， 2 )（ 0），试卷满
分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120 1分）的人数占总人数的 ，则此次数学考试成绩在90分
5
到105分之间的人数约为（ ）。
A、150
B、 200
C、300
D、 400
4．化学上用溶液中氢离子物质的量浓度的常用对数值的相反数表示溶液的 pH 值，例如氢离子物质的量浓
度为 0.1 mol / L的溶液，因为 lg0.1 1.0，所以该溶液的 pH 值是1.0。现有 pH 值分别为3和 4的甲、乙
两份溶液，将1 L甲溶液与 2 L乙溶液混合，假设混合后两份溶液不发生化学反应且体积变化忽略不计，则
混合溶液的 pH 值约为（ ）。
参考数据： lg2 0.3010、 lg3 0.4771、 lg11 1.0413，结果精确到0.1。
A、3.2
B、3.3
C、3.4
D、3.5
5．若关于 x的方程 2x x2 mx 3 0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）。
A、 ( 4 ， )
3
B 3、 ( ， ] ( 4 ， )
2 3
C 3 4、 ( ， ]
2 3
D [ 3 4、 ， )
2 3
2
6．设双曲线C ： x2 y 1的左、右焦点分别为 F1、 F2 ，过 F1的直线与双曲线的左支交于点 A，与双曲3
线的渐近线在第一象限交于点 B，若 BF1 BF2 ，则 ABF2 的周长为（ ）。
A、 4 3
B、 2 3 4
C、 4 3 2
D、 4 3 4
7．已知菱形 ABCD， AB BD 2，将 ABD沿 BD折起，使二面角 A BD C 的大小为 60 ，则三棱锥
A BCD 的体积为（ ）。
A 3、
3
B 3、
2
C 2 2、
3
D 3 3、
2
8．直线 x t（ t 0）与函数 f (x) x2 1、 g(x) ln x的图像分别交于 A、B两点，当 | AB |最小时，t为
（ ）。
1
A、
2
3
B、
3
2
C、
2
D、1
二、多选题：本题共 4小题，每小题5分，共 20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得 2分。
9．在 ( 2 x)6的展开式中，下列说法正确的是（ ）。
x
A、常数项为160
B、第 4项的二项式系数最大
C、第 3项的系数最大
D、所有项的系数和为 64
10．已知函数 f (x) 2sin x cos x 2 3 cos2 x 3，则下列结论中正确的是（ ）。
A、 f (x) 的图像是由 y 2sin2x的图像向左移 个单位得到的
3
B、 f (x)在[ ，0]上单调递增
3
C、 f (x) k 的对称中心的坐标是 ( ，0)（ k Z）
2 6
D、函数 g(x) f (x) 3在[0，10]内共有8个零点
11．已知数列{an}的通项公式是 a
n
n 2 ，在 a1和 a2之间插入1个数 x11，使 a1、 x11、a2成等差数列；在 a2
和 a3 之间插入 2个数 x21、x22，使 a2、x21、x22、a3 成等差数列；…；在 an和 an 1之间插入 n个数 xn1、xn2、…、
xnn，使 an、xn1、xn2、…、xnn、an 1成等差数列。这样得到新数列{bn}：a1、x11、a2、x21、x22、a3 、…，
记数列{bn}的前 n项和为 Sn，则下列结论正确的是（ ）。
A、 x11 3
B、 xn1 xn2 x
n
nn 3n 2
C、 a8 b36
D、 S10 81
12．如果知道事件 X 已发生，则该事件所给出的信息量称为“自信息”。设随机变量 X 的所有可能取值为 x1、
n
x2、...、 xn，且 p(xi ) 0（ i 1，2，...，n）， p(xi ) 1，定义 X 的“自信息”为 I (xi ) log2 p(xi )。一次掷
i 1
两个骰子，若事件 A为“仅出现一个 2 ”，事件 B为“至少出现一个5 ”，事件C 为“出现的两个数之和是偶数”，
则（ ）。
A、当 p(xi ) 1时，“自信息” I (xi ) 0
B、当 p(x1) p(x2 ) 0时， I (x1) I (x2 )
C、事件C 的“自信息” I (C) 1
D、事件 A的“自信息” I (A)大于事件 B的“自信息” I (B)
三、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共 20分。
13．设等差数列{an}的前 n项和为 Sn 。若 S7 28，则 a2 a3 a7的值为 。
14 “ a b 1 1．能够说明 若 ，则 ”是假命题的一组非零实数 a、b的值依次为 、
a 3 a b 3 b
。（本小题每个空 2.5分）
15．在 ABC中，已知 AB 1，AC 3，cosA 1 ，点 E在直线 BC 上，且满足：BE 2AB AC（ R），
4
则 | AE | 。
16．抛物线C ：y2 4x的焦点为 F ，准线为 l，M 是C 上在第一象限内的点，点 N 在 l上，已知MF NF ，
|MF | 5，则直线MN 与 y轴交点 P的坐标为 。
四、解答题：本题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分 10分）在① sin2 A (sinB sinC)2 sinB sinC，②b sin B C a sinB，③ a sinB
2
b sin(2 A)这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答。
3
在 ABC 中，角 A、 B、C 的对边分别为 a、b、 c，若 2a b 2c， ，求 A和C。
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分。
18．（本小题满分 12分）已知正项数列{a }的前 n项和为 S ，且 a2n n n 1 2Sn n 1， a2 2。
（1）求数列{an}的通项公式 an；
（2）若bn an 2
n，数列{bn}前 n项和为Tn，求使Tn 2022的最小的正整数 n的值。
19．（本小题满分 12分）中国探月工程自 2004年立项以来，聚焦“自主创新、重点跨越、支撑发展、引领未
来”的目标，创造了许多项中国首次。2020年12月1日凌晨，嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球，又首次
实现了我国地外天体无人采样返回，为了了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度，从该校高三学生
中随机抽取了100名学生进行调查，调查样本中有 40名女生。下图是根据样本的调查结果绘制的等高条形
图（阴影区域表示关注“嫦娥五号”的部分）。
关注 没关注 合计
男
女
合计
K 2 n(ad bc)
2
附： ，其中 n a b c d
(a b)(a c)(c d )(b d )
P(K 2 k0 ) 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005
k0 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879
（1）完成上面的 2 2列联表，并计算回答是否有95%的把握认为“对‘嫦娥五号’关注程度与性别有关”
（2）若将频率视为概率，现从该中学高三的女生中随机抽3人，记被抽取的3名女生中对“嫦娥五号”新闻
关注的人数为随机变量 X ，求 X 的分布列及数学期望。
20．（本小题满分 12分）如图 1 所示，在平面四边形 ABCE中，点D在边CE上，CD DE，且 ABCD是
边长为 2的正方形。沿着直线 AD将 ADE折起，使平面 ADE 平面 ABCD，如图 2所示，已知 F、H 分
别是棱 EA、 EC的中点，G是棱 BC上一点。
（1）求证：平面DFG 平面 ABE；
（2 2）若直线GH 与平面 ABCD所成的角的正切值为 时，求二面角 F DG H的余弦值。
2
21．（本小题满分 12分）已知函数 f (x) ex 1 (x 1)2 （ x R）。
（1）求 f (x)在 x 2处的切线 l的方程；
x 1
（2）证明：当 x 1时，除 x 2外， f (x)的图像恒在直线 l的上方，并判定函数 g(x) e (2 e)x e 3
x 1
x 1，（ x 0）的零点个数。
22 x
2 y2
．（本小题满分 12分）已知椭圆C ： 2 2 1（m 0）的一个短轴的端点到一个焦点的距离为 2。m 2 m
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）设 A是C 在第一象限内的一点，点 A关于 y轴、坐标原点的对称点分别是 B、D， AE垂直于 x轴，
垂足为 E ，直线DE与 y轴、C 分别交于点 F 、G，直线 BF 交C 于点M 。
①求直线MG的斜率 k 的最小值；
②直线MG交直线 AE于点 N ，证明： NF // x轴。仿真卷 01
一、单选题：
1 2 3 4 5 6 7 8
A B C C D B B C
二、多选题：
9 10 11 12
BC BCD ACD AD
三、填空题：
13 14 15 16
12 1 1 6 (0，2)
四、解答题：
17．解：若选①，在 ABC中， A B C ，
由题意及正弦定理得 a2 (b c)2 bc，则b2 c2 a2 bc， 2分
b2 c2 a2cosA bc 1由余弦定理可得 ，又 0 A ，∴ A ， 5分
2bc 2bc 2 3
∵ 2a b 2c，∴由正弦定理得 2 sin A sinB 2sinC， 6分
∴ 2 sin 2 sin( C) 2sinC 3，∴ sinC 1 cosC 2 ， 8分
3 3 2 2 2
sin(C 2∴ ) 0 C 5 ，又 ，∴C ，∴C 。 10分
6 2 6 4 12
若选②，在 ABC中， A B C ，
A
由题意及正弦定理得 sinB sin( ) sin A sinB， 2分
2 2
∵ sinB 0 A A A ，∴ cos 2sin cos ，
2 2 2
cos A 0 A 1 A ∵ ，∴ sin ，∵0 ，∴ A ， 5分
2 2 2 2 2 3
∵ 2a b 2c，∴由正弦定理得 2 sin A sinB 2sinC， 6分
∴ 2 sin sin(2 C) 2sinC 3 1 2，∴ sinC cosC ， 8分
3 3 2 2 2
∴ sin(C 2 ) ，又 0 C C C 5 ，∴ ，∴ 。 10分
6 2 6 4 12
若选③，在 ABC中， A B C ，
由题意及正弦定理得 sin A sinB sinB cos(A )， 2分
6
sinB 0 ∵ ，∴ sin A cos(A )，∴ A A 或 A A ，∴ A ， 5分
6 6 2 2 6 3
高中试卷君
∵ 2a b 2c，∴由正弦定理得 2 sin A sinB 2sinC， 6分
2
∴ 2 sin sin( C) 2sinC 3，∴ sinC 1 cosC 2 ， 8分
3 3 2 2 2
2 5
∴ sin(C ) ，又 0 C ，∴C ，∴C 。 10分
6 2 6 4 12
18 2 2．解：（1）由 an 1 2Sn n 1，得 an 2Sn 1 (n 1) 1，
2 2
两式相减得 an 1 an 2an 1（ n 2）， 2分
a2 2∴ n 1 (an 1) ，∴ an 1 an 1，
2
又∵ a2 2a1 1 1 4，∴ a1 1，∴ a2 a1 1， 4分
∴数列{an}为等差数列且 d 1，∴ an a1 (n 1)d n，∴an n； 5分
（2）由（1）知b a 2n n 2nn n ，
∴T 2n 1 2 2 2 3 2
3 ... n 2n①，
∴ 2Tn 1 2
2 2 23 3 24 ... n 2n 1②， 7分
1 2n
①-②得 Tn 2 2
2 23 ... 2n n 2n 1 2 n 2n 1 2n 1 2 n 2n 1，
1 2
∴T n 1n (n 1) 2 2， 10分
当 n N 时，Tn 1 Tn (n 2
n 2 2) [(n 1) 2n 1 2] (n 1) 2n 1 0，
∴{Tn}单调递增，又T7 6 2
8 2 1538、T 98 7 2 2 3586，
∴使Tn 2022的最小的正整数 n的值为8。 12分
19．解：（1）完成上面的 2 2列联表如表， 3分
关注 没关注 合计
男 30 30 60
女 12 28 40
合计 42 58 100
K 2 100(30 28 12 30)
2 800
3.941 3.841，
42 58 60 40 203
∴有95%的把握认为“对‘嫦娥五号’关注与性别有关”； 5分
（2 12 3）∵随机选一高三女生，对此事关注的概率 P ，
40 10
3
∴服从二项分布 X ~ B(3， )， 6分
10
P(X 0) C 0 3 3 ( )
0 ( 7 )3 343 P(X 1) C1 ( 3 )1 ( 7 )2 441 、 、
10 10 1000 3 10 10 1000
高中试卷君
P(X 2) C 23 (
3 )2 ( 7 )1 189 、P(X 3) C33 (
3 )3 ( 7 )0 27 ， 10分
10 10 1000 10 10 1000
∴随机变量 X 的分布列为： 11分
X 0 1 2 3
343 441 189 27
P
1000 1000 1000 1000
3 9
∴数学期望 E(X ) 3 。 12分
10 10
20．解：（1）证明：∵平面 ADE 平面 ABCD， AB AD，平面 ADE 平面 ABCD AD，
∴ AB 平面 ADE，
又∵DF 平面 ADE，∴ AB DF，∵ AD DE，∴DF AE， 2分
∵ AE AB A，∴DF 平面 ABE，
又∵DF 平面DFG，∴平面DFG 平面 ABE； 4分
（2）以D为原点建立空间直角坐标系，D(0，0，0)、 F(1，0，1)、H (0，1，1)，设G(t，2，0)， t [0，2]，
DG (t，2，0)、DH (0，1，1)、DF (1，0，1)、HG (t，1， 1)， 5分
平面 ABCD的法向量为 k (0，0，1)，
2
设直线GH与平面 ABCD所成的平面角为 ， tan ，
2
sin tan 3 sin |HG k | 1 3∴ ， ，解得 t 1， 7分
1 tan2 3 |HG | | k | t2 2 1 3
设平面DGH的法向量为m (x1，y1，z1)，
DG m x1 2y1 0
∴ ，令 y1 1，∴m (2， 1，1)， 9分
DH m y1 z1 0
设平面DFG的法向量为 n (x2，y2，z2)，
DG n x 2y 0
∴ 2 2 ，令 x2 1，∴ n ( 2，1，2)， 11分
DF n y2 z2 0
设二面角 F DG H的平面角为 ，经观察 为锐角，
|m n | 3 6
∴ cos | | 。 12分
|m | | n | 6 9 6
21．解：（1） f (2) e 1， f (x) ex 1 2x 2，∴ f (2) e 2， 2分
∴切线 l的方程为 y (e 1) (e 2)(x 2)，
∴ y (e 2)x e 3，即 (e 2)x y e 3 0； 4分
（2）证明：要证当 x 1时，除 x 2外， f (x)的图像恒在直线 l的上方，
高中试卷君
即证当 x 1时， f (x) (e 2)x e 3， 5分
令 h(x) f (x) (e 2)x e 3 e x 1 (x 1)2 (e 2)x e 3，定义域为 (1， )，
h (x) e x 1 2x 4 e， h (x) e x 1 2，令 h (x) 0，解得 x ln 2 1，
当1 x ln 2 1时 h (x) 0， h (x)在 (1，ln 2 1)上单调递减，
当 x ln 2 1时 h (x) 0， h (x)在 (ln 2 1， )上单调递增，
∴ h (x)在 x ln 2 1处取得极小值也是最小值， 7分
又 h (1) 3 e 0、 h (2) 0，1 ln 2 1 2，∴ h (ln 2 1) 0，
∴存在 x0 (1，ln 2 1)，使得 h (x0 ) 0，
当1 x x0时 h (x) 0，∴ h(x)在 (1，x0 )上单调递增，
当 x0 x 2时 h (x) 0，∴ h(x)在 (x0，2)上单调递减，
当 x 2时 h (x) 0，∴ h(x)在 (2， )上单调递增，
又 h(1) 0、 h(2) 0，
∴当 x 1时， h(x) 0，当且仅当 x 2时等号成立，
∴当 x 1时，除 x 2外， f (x)的图像恒在直线 l的上方， 10分
由 h(x) e x 1 (x 1)2 (e 2)x e 3 0得 e x 1 (e 2)x e 3 (x 1)2 ，
ex 1 (2 e)x e 3 x 1x 1 e (2 e)x e 3即 ，也就是 x 1 0，
x 1 x 1
x 1
g(x) e (2 e)x e 3∴ x 1在 (1， )上恒有 g(x) 0，
x 1
当且仅当 x 2时等号成立，∴ g(x)有且只有一个零点。 12分
22．解：（1）∵m 2 2 m 2 ，又∵椭圆C 的一个短轴的端点到一个焦点的距离为 2，
2 2
∴ a m 2 2 2，得m 2 2 x y，∴椭圆C 的标准方程为 1； 3分
4 2
2
2 x
（2）①设 A(x0，y0 )，则 y0 2 0 （ 0 x0 2），2
由对称性得 B( x y 0，y0 )，D( x0， y0 )，由题意得 E(x0，0)，∴ F (0， 0 )， 4分2
y y
直线DG的斜率 k 0 01 0，直线DG方程为 y k2x 1
x ，
0 2
x 2 y 2 2
代入 1，可得 (1 k 21 ) x
2 2k1y0x
y
0 4 0， 5分
4 2 2
y2 y 20 4 0 4
设G(x 11，y1)，则 x1 ( x 20 ) ，∴ x
2 ，
1 2k 2 11 x0 1 2k 21
高中试卷君
y20 4 3y
∴ y k y1 2 1 02 ，直线 BM 的斜率 k
0 3k ， 6分
x0 1 2k
2
1 2 2x
1
0
y 2 20 y 4 0
2 1
4
2 3k1 y设M (x2，y2 )，则 x2 2 ， y2 2
0 ，
x0 1 18k1 x0 1 18k1 2
k1 3k 1
y1 y2 1 2k
2 1 18k 21 1 1 6k
2
∴直线GM 的斜率 k 1 ， 7分
x1 x2 1 1 4k1
1 2k 2 21 1 18k1
1 6k 21 1 3k1 6 6 2 21∵ ，取等号时， k1 ， x0 (0，2)，4k1 4k1 2 2 6 7
∴GM 6的斜率 k 的最小值为 ； 8分
2
y 2 20 y0
1 6k 2 1 4 4
②由①可知直线GM 方程为 y 1 (x 2
k y
) 1 2 0 ， 9分
4k1 x0 1 2k 21 x0 1 2k
2
1 2
设 N (x0，yN )，
y20 4 y
2 y20 0
1 6k 2 1 4 2 4
则 y 1 (x 2 ) k 1 2 y 0 1 6k1 yN 0 2 x
2 0
4k1 x0 1 2k1 x0 1 2k
2
1 2 4k
0
1 4k1 x0 2
1 y
2 2
6 ( 0 )2 y0
2x 4
0y x
2 y 0 y0 y
0 ， 11分
2 0 2 0 x 2 2
x x 00 0
∴ NF // x轴。 12分
高中试卷君
