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仿真卷 02
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1 i
1．若复数 z i3，则复数 z的虚部为（ ）。
1 2i
A 3、
5
B 1、
5
C 3、
5
D 3、 i
5
2 A {x | x 1．设集合 0}， B {x | x 1 0}，则“ x A ”是“ x B ”的（ ）。
x
A、充分不必要条件
B、必要不充分条件
C、充要条件
D、既不充分也不必要条件
3．在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化，太阳直射点回归运动的一个周期就是
一个回归年。某科研小组以某年春分（太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间）为初始时间，统
计了连续 400天太阳直射点的纬度值（太阳直射北半球时取正值，直射南半球时取负值）。设第 x天时太阳
直射点的纬度值为 y，该科研小组通过对数据的整理和分析，得到 y与 x近似满足： y 23.4392911
sin 0.01720279x。则每 400年中，要使这 400年与 400个回归年所含的天数最为接近，应设定闰年的个数
为（ ）。（精确到 1）
参考数据： 182.6211。
0.01720279
A、97
B、98
C、99
D、100
4．环保部门为降低某社区在改造过程中产生的扬尘污染，决定对全部街道采取洒水降尘作业。该社区街道
的平面结构如图所示（线段代表街道），洒水车随机选择 A、 B、C 、 D、 E 、 F 的一点驶入进行作业，
则选择的驶入点使洒水车能够不重复地走遍全部街道的概率为（ ）。
A 1、
8
B 1、
6
C 1、
3
D 1、
2
5．如图所示，无人机在离地面高 300 m的M处，观测到山顶 A处的俯角为15 ，到山脚C处的俯角为 60 ，
已知 AB BC，则山的高度 AB为（ ）。
A、150 2 m
B、 200 m
C、 200 2 m
D、300 m
6．如图所示，四棱锥 P ABCD中， PD 平面 ABCD 2 ，底面 ABCD是梯形， AB //CD， BCD ，
3
AB 4， PD BC CD 2，则四棱锥 P ABCD的外接球的表面积为（ ）。
A、16
B、 20
C、 24
D、 28
7．阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前 262 ~190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成
果，他证明过这样一个命题：平面内与两个定点距离的比为常数 k（ k 0且 k 1）的点的轨迹是圆，后人
把这个圆称为阿波罗尼斯圆。已知定点 A( 2，0)、 B(2，0)，动点C 满足 | AC | 2 | BC |，则动点C 的轨迹为
一个阿波罗尼斯圆，记此圆为圆 P，已知点D在圆 P上（点D在第一象限）， AD交圆 P于点 E ，连接 EB
并延长交圆 P于点 F ，连接DF ，当 DFE 30 时，直线 AD的斜率为（ ）。
A 26、
13
B 39、
13
C 3、
4
D 13、
4
8．将一条均匀柔软的链条两端固定，在重力的作用下它所呈现的形状叫悬链线，例如悬索桥等。建立适当
x
的直角坐标系，可以写出悬链线的函数解析式为 f (x) a cosh ，其中 a为悬链线系数， cosh x称为双曲
a
ex e x ex e x
余弦函数，其函数表达式为 cosh x ，相应地双曲正弦函数的函数表达式为 sinh x 。若直
2 2
线 x m与双曲余弦函数C1和双曲正弦函数C2 分别相交于点 A、 B，曲线C1在点 A处的切线与曲线C1在
点 B处的切线相交于点 P，则下列说法正确的是（ ）。
A、 y sinh x cosh x是偶函数
B、 cosh( x y) cosh x cosh y sinh x sinh y
C、 | BP |随m的增大而减小
D、 PAB 的面积随m的增大而减小
二、多选题：本题共 4小题，每小题5分，共 20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得 2分。
9．为普及疫情知识，某校不定期地共组织了10次全员性的防控知识问答竞赛，下面是甲、乙两个班级10次
成绩Y （单位：分）的折线图，根据折线图，正确的说法是（ ）。
A、甲班成绩分数逐次增加
B、甲班乙班成绩分数平均值均为 7
C、甲班成绩分数的方差大于乙班成绩分数的方差
D、从第 7次到第10次甲班成绩分数増量大于乙班成绩分数增量
10．若 a b 1，则下列命题正确的是（ ）。
A、 loga 3 logb 3
B、 a3 b3
C、 logab (
1 1
) log 2 1
a b ab
D 1 1、
a 1 b 1
11．如图所示，平面 平面 直线 l，点 A、C ，点 B、D ，且 A、B、C 、D l，点M 、N
分别是线段 AB、CD的中点，则下列说法正确的是（ ）。
A、当直线 AC与 BD相交时，交点一定在直线 l上
B、当直线 AB与CD异面时，MN 可能与 l平行
C、当 A、 B、C 、D四点共面且 AC // l时， BD // l
D、当M 、 N 两点重合时，直线 AC与 l不可能相交
12．已知等比数列{an}首项 a1 1，公比为 q，前 n项和为 Sn，前 n项积为Tn，函数 f (x) x (x a1) (x
a2 ) (x a7 )，若 f (0) 1，则下列说法正确的是（ ）。
A、{lgan}为单调递增的等差数列
B、 0 q 1
C a、{Sn 1 }为单调递增的等比数列1 q
D、使得Tn 1成立的 n的最大值为 6
三、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共 20分。
13．已知单位向量 a、b、 c满足： a b c 0，则 a与b的夹角为 。
14 ．将函数 f (x)的图像向左平移 个单位，再把所得的图像保持纵坐标不变，横坐标放大到原来的 4倍
3
g(x) sin( x 后得到新函数 )的图像，则函数 f (x) [ 在区间 ， ]上的值域为 。
2 4 8 12
15 a．已知函数 f (x) a ex ln 2（ a 0），若 f (x) 0恒成立，则实数 a的取值范围为 。
x 2
2 2
16．已知点M x y为双曲线C ： 2 2 1（ a 0，b 0）在第一象限上一点，点 F 为双曲线C 的右焦点，a b
O为坐标原点， 4 |MO | 4 |MF | 7 |OF |，则双曲线C 的离心率为 ；若MF 、MO分别交双曲
线C 于 P、Q两点，记直线 PM 与 PQ的斜率分别为 k1、 k2 ，则 k1 k2 。（本题第一空 2分，
第二空 3分）
四、解答题：本题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分 10分）在① (b a c)(b a c) ac；② cos(A B) sin(A B)；③ tan( A B ) sinC 这
2
三个条件中任选两个，补充在下面问题中。
问题：是否存在 ABC，它的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且 a 2 2，______，______？
若三角形存在，求 b的值；若不存在，说明理由。
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分。
18．（本小题满分 12分） Sn为数列{an}的前 n项和，已知 an Sn 3 2
n 3。
（1）设bn 2
n an ，证明：b
n
n 1 bn 3 4 ，并求 an ；
n 1
（2）证明： 1。
i 1Si
19．（本小题满分 12 分）如图所示的空间多面体中， EA 平面 ABC， DB 平面 ABC， AC BC，且
AC BD 6， BC 3 5 ， AE 3， AM 4。
（1）求直线CE与平面 ABC所成角的正弦值；
（2）求证：直线CM 平面 ABDE；
（3）求二面角M EC B的余弦值。
x2 y2 2
20．（本小题满分 12分）已知椭圆 E ： 2 2 1（ a b 0）的离心率 e ，其左、右顶点分别是点a b 2
A、 B，且点 A关于直线 y x对称的点在直线 y 3x 2上。
（1）求椭圆 E 的标准方程；
（2）若点M 在椭圆 E 上，点 N 在圆O： x2 y2 b2上，且M 、 N 都在第一象限，MN y轴，若直线
MA、MB与 y轴的交点分别为C 、D，判断 sin CND是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定
值，说明理由。
21．（本小题满分 12 分）射击是使用某种特定型号的枪支对各种预先设置的目标进行射击，以命中精确度
计算成绩的一项体育运动。射击运动不仅能锻炼身体，而且可以培养细致、沉着、坚毅等优良品质，有益
于身心健康。为了度过愉快的假期，感受体育运动的美好，法外狂徒张三来到私人靶场体验射击运动。
（1）已知用于射击打靶的某型号步枪的弹夹中一共有 k（ k N ）发子弹，假设张三每次打靶的命中率均
为 p（ 0 p 1），靶场主规定：一旦出现子弹脱靶或者子弹打光耗尽的现象便立刻停止射击。记标靶上的
子弹数量为随机变量 X ，求 X 的分布列和数学期望。
（2）张三在休息之余用手机逛 B站刷到了著名电视剧《津门飞鹰》中的经典桥段：中国队长燕双鹰和三合
会何五姑玩起了俄罗斯轮盘。这让张三不由得想起了半人半鬼，神枪第一的那句家喻户晓的神话“我赌你的
枪里没有子弹”。由此，在接下来的射击体验中，张三利用自己的人脉关系想办法找人更换了一把型号为
M1917，弹容为 6发的左轮手枪，弹巢中有m发实弹，其余均为空包弹。现规定：每次射击后，都需要在
下一次射击之前填充一发空包弹。假设每次射击相互独立且均随机。在进行 n（ n N ）次射击后，记弹巢
中空包弹的发数 X n。
①当 n N 时，探究数学期望 E(X n )和 E(X n 1)之间的关系；
②若无论m取何值，当射击次数达到一定程度后都可近似认为枪中没有实弹（以弹巢中实弹的发数的数学
期望为决策依据，当弹巢中实弹的发数的数学期望 1时可近似认为枪中没有实弹），求该种情况下最小的
射击次数 n0 。
参考数据： lg 2 0.301、 lg3 0.477。
22．（本小题满分 12分）已知函数 f (x) mx ln x 1，m 0。
（1）讨论函数 f (x)的单调性；
（2）若 g(x) x2 2 x，且关于 x的不等式 f (x) g(x)在 (0， )上恒成立，其中 e是自然对数的底数，求
e
实数m的取值范围。仿真卷 02
一、单选题：
1 2 3 4 5 6 7 8
B A A C B B B D
二、多选题：
9 10 11 12
BCD AD ACD BCD
三、填空题：
13 14 15 16
2
[ 1 2 ， ] (e， ) 4 15
3 2
四、解答题：
17．解：选择条件①和②：
在 ABC中， A B C ，∵ (b a c)(b a c) ac，∴ a2 c2 b2 ac， 2分
2
cosB a c
2 b2 1
由余弦定理得： ，∵ 0 B ，∴ B ， 4分
2ac 2 3
∵ cos(A B) sin(A B)，∴ cos(A ) sin(A )， 5分
3 3
∴ cos A cos sin A sin sin A cos cos A sin ，∴ cos A sin A， 7分
3 3 3 3
∵0 A ，∴ A ， 8分
4
2 2 sin
在 ABC a b 2 2 b中，由正弦定理 ， 得 ，∴b 3 2 3。 10分
sin A sin B sin sin sin
4 3 4
选择条件①和③：
在 ABC中， A B C ，∵ (b a c)(b a c) ac，∴ a2 c2 b2 ac， 2分
a2 c2 b2 1
由余弦定理得： cosB ，∵ 0 B ，∴ B ， 4分
2ac 2 3
sin C cos C
∵ tan( A B ) sinC ，且 tan( A B ) tan C C C 2 2
2 2 2 cos C
C sinC 2sin cos ，7分sin 2 2
2 2
0 C cos C 0 C 1∵ ，∴ ，∴ sin2 ， 8分
2 2 2
∵0 C C C 2，∴ sin 0，∴ sin ，可得C ， 9分
2 2 2 2
公众号：高中试卷君
∴在 Rt ABC中，b a tan 2 6。 10分
3
选择条件②和③：
在 ABC中， A B C ，
∵ cos(A B) sin(A B)，∴ cos A cosB sin A sin B sin A cosB cos A sin B， 2分
∴ (sin A cos A)(sin B cosB) 0，∴ sin A cos A或 sin B cos B，
3
∵0 A ，0 B ，∴ A 或 B ， 4分
4 4
A B
又∵ tan( ) sinC，
2
A B C sin
C cos C
tan( ) tan 2 2 sinC 2sin C cos C且 C C ， 7分2 2 cos sin 2 2
2 2
∵0 C ，∴ cos C 0，∴ sin 2 C 1 ， 8分
2 2 2
∵0 C C C 2 ，∴ sin 0，∴ sin ，可得C ， 9分
2 2 2 2
∴ A ， B ，C ，∴ ABC为等腰直角三角形，∴b a 2 2 。 10分
4 4 2
18．解：（1）当 n 1时，由 a 31 S1 3， a1 S1，得 a1 ，b1 3， 1分2
由 an Sn 3 2
n 3可知： a n 1n 1 Sn 1 3 2 3，
则 (a S ) (a S ) (3 2n 1 n nn 1 n 1 n n 3) (3 2 3)，即 2an 1 an 3 2 ， 3分
∴bn 1 bn 3 4
n ， 4分
∴当 n 2时，bn (bn bn 1) (bn 1 bn 2 ) ... (b2 b1) b1
n 1
3 (4n 1 4n 2 41) 3 3 1 4 4 3 4n 1， 6分
1 4
当 n 1时， 41 1 3 b1，符合，∴b 4
n 1，∴ 2n ann 4
n 1 1，∴ an 2
n
2n
； 8分
（2）由（1）可知 S 2n 1 1n 3， 9分2n
1 2n 2n 1 1
∴
S 22n 1 n
n 1 n n n 1 ， 11分
n 3 2 1 (2 1)(2 1) 2 1 2 1
n 1 n 1 1
∴ ( i i 1 ) 1
1
n 1 1。 12分i 1Si i 1 2 1 2 1 2 1
公众号：高中试卷君
19．解：（1）解：∵ EA 平面 ABC，∴ ECA为直线CE与平面 ABC所成角，
设其大小为 EA 1 tan 5， tan ，sin ； 3分
AC 2 1 tan2 5
（2）证明：∵ AC BC，且 AC 6， BC 3 5，∴ AB AC2 BC2 9，
AM AC
∴ ，∴ MAC ~ CAB，∴CM AB，
AC AB
∵ EA 平面 ABC，∴ EA CM，∵ AB CM M ，
∴直线CM 平面 ABDE； 6分
（3）解：以M为原点建立空间直角坐标系，则C(0，2 5，0)、 E( 4，0，3)、 B(5，0，0)，
∴CE ( 4， 2 5，3)，CM (0， 2 5，0)，CB (5， 2 5，0)， 7分
设平面MEC的法向量分别为m (x1，y1，z1)，
CE m 4x1 2 5y1 3z1 0
∴ ，令 z1 4，则m (3，0，4)， 9分
CM m 2 5y1 0
设平面 BEC的法向量分别为 n (x2，y2，z2)，
CE n 4x2 2 5y2 3z2 0
∴ ，令 z2 6，则 n (2，5，6)， 11分
CB n 5x2 2 5y2 0
设二面角M EC B的平面角为 ，经观察 为锐角，
∴ cos | m n | 30 2 5 。 12分
|m | | n | 5 3 5 5
20．解：（1）点 A( a，0)关于直线 y x对称的点 (0， a)在直线 y 3x 2上，
∴ a 0 2 a 2， 1分
c 2
∵ ，∴ c 2 ，又∵ a 2 b2 c 2，解得 b2 a2 c2 2， 3分
a 2
x2 y 2
∴椭圆 E 的标准方程为 1； 4分
4 2
（2）设M (x0，y0 )， AM ： y k(x 2)（ k 0），令 x 0，解得 y 2k ，C(0，2k )，
y k (x 2)
联立 2 2 ，化简得： (2k
2 1)x2 8k 2 4 0（ k 0），
x 2y 4
2
2x 8k 4 x 2 4k
2
y 4k M (2 4k
2 4k
∴ 0 2 ，得 ， ， ， )， 6分2k 1 0 2k 2 1 0 2k 2 1 2k 2 1 2k 2 1
公众号：高中试卷君
4k
2
直线 BM 1 1的斜率为 2k 12 ，∴直线 BM 的方程为 y (x 2)，2 4k 2k 2k
2
2k 2 1
1 1
令 x 0，解得 y ，D(0， )， 9分
k k
设 N (x1，y0 )，则 NC ( x1，2k y0 )， ND (x
1
1， y0 )，k
2
∴ NC ND x2 2 2k 11 y0 2 y0 ，k
x2 4k∵ 1 y
2
0 2， y0 2 ，∴ NC ND 0，2k 1
∴ NC ND，即 CND 90 ，∴ sin CND 1为定值。 12分
21．解：（1）由题意， X 的所有可能取值为： 0、1、 2、…、 k 1、 k ，
∵张三每次打靶的命中率均为 p（ 0 p 1），
则 P(X m) pm (1 p)（m 0、1、 2、…、 k 1）， P(X k) pk ， 1分
∴ X 的分布列为： 2分
X 0 1 2 … k 1 k
P 1 p p (1 p) p2 (1 p) … pk 1 (1 p) pk
∴数学期望 E(X ) p (1 p) 2p2 (1 p) 3p3 (1 p) (k 1) pk 1 (1 p) k pk，
令M p 2p2 3p3 (k 1) pk 1①，
则 pM p2 2p3 3p4 (k 1) pk②，
- (1 p) M p p2 p3 pk 1 (k 1) pk p 1 p
k 1
∴① ②可得： (k 1) pk，
1 p
k 1 k 1
则 E(X ) (1 p) M k pk p 1 p (k 1) p p pk k pk ； 4分
1 p 1 p
（2）①第 n次射击后，可能包含两种情况：第 n次射出空包弹或第 n次射出实弹，
∵第 n次射击前，剩余空包弹的期望为 E(X n 1)，
n E(X )若第 次射出空包弹，则此时对应的概率为 n 1 ，
6
∵射击后要填充一发空包弹，∴此时空包弹的数量为 E(X n 1) 1 1 E(X n 1)，
E(X )
若第 n次射出实弹，则此时对应的概率为1 n 1 ，
6
∴此时空包弹的数量为 E(X n 1) 1，
E(X ) E(X )
综上所述，E(X n 1 n 1n ) E(X n 1) [1 ]
5
[E(X n 1) 1] E(X n 1) 1；8分6 6 6
公众号：高中试卷君
②∵当 n 0时，弹夹中有 6 m发空包弹，则 E(X0) 6 m，
由①可知：当 n N 时， E(X ) 5n E(X )
5
n 1 1，则 E(X n 1) 6 [E(X n ) 6]，6 6
∴{E(X n ) 6}
5
是首项为 m，公比为 的等比数列，
6
则 E(X ) 6 5 m ( )nn ，即 E(X n ) 6 m (
5)n ，
6 6
5
∴弹巢中实弹的发数的期望为 6 E(X n ) m ( )
n， 10分
6
为使弹巢中实弹的发数的数学期望小于1，
5
只需m ( )n 1，则m (6)n ，∴ log6 m n，6 5 5
为使 log 6 m n恒成立，只需 (log6 m)max n，
5 5
(log m) log 6 lg6 lg6 lg 2 lg3 lg 2 lg3而 6 max 6 6 9.848，
5 5 lg lg6 lg5 lg 2 lg3 1 lg 2 2lg 2 lg3 1
5
又 n N ，∴最小的射击次数 n0 10。 12分
22．解：（1）根据题意可知 f (x)的定义域是 (0， )， f (x) m(ln x 1) 1，令 f (x) 0，解得 x ， 1分
e
当m 0时，当 0 x 1 时， f (x) 0 1 ，当 x 时， f (x) 0， 2分
e e
1
当m 0 1时，当0 x 时， f (x) 0，当 x 时， f (x) 0， 3分
e e
1 1
综上所述，当m 0时， f (x)在 (0，)单调递减，在 ( ， )上单调递增，
e e
当m 0时， f (x)在 (0 1) (1， 上单调递增，在 ， )上单调递减； 4分
e e
（2）由题意：mx ln x 1 2 1 2 x2 x，即 x mx ln x 0在 (0， )上恒成立，
e x e
h(x) x 1 mx ln x 2 h (x) 1 1 m x
2 mx 1
令 ，则 ， 6分
x e x2 x x2
对于 y x2 mx 1， m2 4 0，
∴其必有 2个零点，且 2个零点的积为 1，则 2个零点一正一负，
1
设其正零点为 x0 (0， )，则 x
2
0 mx0 1 0，即m x0 ，x0
且 h(x)在 (0，x0)上单调递减，在 (x0， )上单调递增，∴ h(x0) 0， 8分
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即 x 1 (x 1 )ln x 20 0 0 0，x0 x0 e
w(x) x 1 (x 1)ln x 2 1 1令 ，则w (x) 1 2 (1 2 ) ln x (1
1 1
2 ) (1 2 ) ln x，x x e x x x x
当 x (0，1)时，w (x) 0，当 x (1， )时，w (x) 0，
则w(x)在 (0，1)上单调递增，在 (1， )上单调递减，
w(1又 ) w(e) 1 0，∴ x0 [ ，e]， 11分e e
1 1 1 1
显然函数m x0 在[ ，e]上是关于 x 的单调递增函数，则 e m e ，x0 e
0 e e
1 1
∴实数m的取值范围为[ e，0) (0，e ]。 12分
e e
公众号：高中试卷君
公众号：高中试卷君
