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仿真卷 03
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．集合 A {x Z | log2 (x
2 ) 2}的子集个数为（ ）。
A、 4
B、8
C、16
D、32
2 3 4i． （ ）。
2 i
A、 2 i
B、 2 i
C、 2 i
D、 2 i
3．斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数：1，1，2，3，5，…
为边的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90 的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是
斐波那契螺旋线。自然界存在很多斐波拉契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等。下图为该螺旋线的前
一部分，如果用接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为（ ）。
A 13、
2
B 13、
8
C 13、
4
13
D、
2
4．已知某工艺品的加工需要先由普通技师完成粗加工，再由高级技师完成精加工。其中粗加工要完成 A、
B、C 、D四道工序且不分顺序，精加工要完成 E 、 F 、G三道工序且 E 为 F 的前一道工序，则完成该
工艺不同的方法有（ ）。
A、 48种
B、96种
C、112种
D、144种
5．函数 y f (x)在[ 2 ，2 ]上的图像如图所示，则 f (x)的解析式可能是（ ）。
A、 f (x) sin x cos x
B、 f (x) | sin x | cos x
C、 f (x) sin | x | cos x
D、 f (x) sin | x | | cos x |
6．在一次“概率”相关的研究性活动中，老师在每个箱子中装了10个小球，其中 9个是白球，1个是黑球，
用两种方法让同学们来摸球。方法一：在 20个箱中各任意摸出一个小球；方法二：在10个箱中各任意摸出
两个小球。将方法一、二至少能摸出一个黑球的概率分别记为 p1和 p2，则（ ）。
A、 p1 p2
B、 p1 p2
C、 p1 p2
D、以上三种情况都有可能
7．已知长方体 ABCD A1B1C1D1中，AB BC 3，AA1 4，M 是 AD1上任意一点（不是端点），N 是 BC
的中点，则异面直线C1D1与MN 所成角的正切值的最小值为（ ）。
A 2、
5
B 5、
5
C 10、
5
D 3 10、
5
8．设函数 f (x)是函数 f (x)（ x R）的导函数，已知 f (x) 3 f (x) 3，且 f (x) f ( 2 x)，f ( 3) 1 e，
f ( 1) 1，则使得 f (x) e3x 2 1成立的 x的取值范围是（ ）。
A、 ( 2， )
B、 (0， )
C、 (1， )
D、 (2， )
二、多选题：本题共 4小题，每小题5分，共 20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得 2分。
9．若 a 0、b 0，则使 a b成立的充要条件是（ ）。
A、 a2 b2
B、 a2b ab2
C b b 1、
a a 1
D 1 1、 a b
b a
10．设 ABC的内角 A、 B、C 所对边的长分别为 a、b、 c，下列命题正确的是（ ）。
A 、若 a2 b2 c2 ，则C
2
B、若 ab c2 ，则C
3
C、若 a3 b3 c3 ，则C
2
D 、若 a b 2c，则C
2
11．已知{an}是递增数列，且 an 0，则关于数列{an}，对任意的正整数 p、 q，下列结论可能成立的是
（ ）。
A、 ap q 2ap aq
B、 apq aq ap 1
C、 apq p aq q ap
D、 ap q p aq q ap
12．画法几何的创始人—法国数学家加斯帕尔 蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以
x2 y2
椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆。已知椭圆C ： 2 1（ a b 0）的a b2
2
离心率为 ，已知 F1、 F2 分别为椭圆的左、右焦点， A、 B 为椭圆上两个动点。直线 l 的方程为2
bx ay a2 b2 0。则下列说法正确的是（ ）。
A、C 的蒙日圆的方程为 x2 y2 3b2
B、对直线 l上任意点 P， PA PB 0
C 4 3、记点 A到直线 l的距离为 d ，则 d | AF2 |的最小值为 b3
D、若矩形MNGH 的四条边均与C 相切，则矩形MNGH 面积的最大值为 6b2
三、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共 20分。
13．已知 a (2sin15 cos15 2 ，2cos215 1)，若 | a b | 2，且 a与 a b夹角为 ，则 a b 。
3
14．已知圆柱的高为 2 cm，它的两个底面在半径为 2 cm的同一个球的球面上，那么这个圆柱的侧面积
为 。
15 1．若对任意的 x ( ，1) x，都有 a a x a x2 a xn 成立，其中 n N
2 1 x 2x2 0 1 2 n
，则
a1 a3 。
16．抛物线C ： y2 2px（ p 0）的焦点为 F ，准线为 l，C 上点 P在 l上的射影为Q，QF与 y轴相交
于点M ，PM 与 l相交于点 N ( 2，3)，则 PFN ，| PF | 。（本小题第一个空 2分，
第二个空 3分）
四、解答题：本题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分 10分）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答。
① 3cosA(c cosB b
2b c
cosC) a sinA；② cosC ；③ tanA tanB tanC 3 tanB tanC。
2a
已知 ABC的内角 A、 B、C的对应边分别为 a、b、 c， 。
（1）求 A；
（2）若 a 2、b c 10，求 ABC的面积。
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分。
18．（本小题满分 12分）已知数列{an}的前 n项和为 Sn，且 Sn 2an 1，n N 。数列{bn}是公差大于 0的
等差数列，b2 a3，且b1、b2、 a4成等比数列。
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
n
（2）若Tn ai bi ，求Tn 。
i 1
19．（本小题满分 12分）如图所示，在三棱锥 P ABC中，直线 AB、AC、AP两两互相垂直，点D在棱 PB
上，且 AB 2AC 2AP，CD PB。
（1）证明： AD PB且 BD 4PD；
（2）求直线 AD与平面 PBC所成角的正弦值。
20．（本小题满分 12分）国家发展改革委、住房城乡建设部于 2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，
规定 46个城市在 2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上。截至 2019年底，这 46
个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近 70%。武汉市在实施垃圾分类之前，从本市人口数量
在两万人左右的320个社区中随机抽取50个社区，对这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调
查，得到如下频数分布表，并将人口数量在两万人左右的社区垃圾数量超过 28吨/天的确定为“超标”社区：
垃圾量 X [12.5，15.5) [15.5，18.5) [18.5，21.5) [21.5，24.5) [24.5，27.5) [27.5，30.5) [30.5，33.5]
频数 5 6 9 12 8 6 4
（1）通过频数分布表估算出这50个社区这一天垃圾量的平均值 x（精确到 0.1）；
（2）若该市人口数量在两万人左右的社区这一天的垃圾量大致服从正态分布 N( ， 2 )，其中 近似为（1）
中的样本平均值 x， 2近似为样本方差 s2，经计算得 s 5.2。请利用正态分布知识估计这 320个社区中“超
标”社区的个数。
（3）通过研究样本原始数据发现，抽取的50个社区中这一天共有8个“超标”社区，市政府决定对这8个“超
标”社区的垃圾来源进行跟踪调查。现计划在这8个“超标”社区中任取5个先进行跟踪调查，设Y 为抽到的
这一天的垃圾量至少为 30.5吨的社区个数，求Y 的分布列与数学期望。
参考数据：P( X ) 0.6827，P( 2 X 2 ) 0.9545，P( 3 X 3 ) 0.9974。
21．（本小题满分 12分）如图所示，直线 l： y x 2，抛物线C ： y2 2px（ p 0），已知点 P(2，2)在
抛物线C 上。
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）过点Q(2，1)的任一直线（不经过点 P）与抛物线C 交于 A、 B两点，直线 AB与直线 l相交于点M ，
记直线 PA、 PB、 PM 的斜率分为 k1、 k2 、 k3，求证： k1 k2 2k3。
22 a (ln x 1)．（本小题满分 12分）已知函数 f (x) （ a R）。
x
（1）讨论函数 f (x)的单调性；
1 a 4 5
（2）若 f (x) 1 在 (1， )上恒成立，求整数 a的最大值。（参考数据： ln 3 ， ln 4 ）
x 3 4仿真卷 03
一、单选题：
1 2 3 4 5 6 7 8
C D C A B A A C
二、多选题：
9 10 11 12
ABD AC ABC AD
三、填空题：
13 14 15 16
4 3
2 4 10
5
或
cm2 2 2
四、解答题：
17．解：（1）选择条件①，在 ABC中， A B C ，
由题意及正弦定理可得 3cosA(sinC cosB sinB cosC) sinA sinA， 2分
即 3cosA sin(B C) sinA sinA，即 3cosA sinA sinA sinA， 4分
∵ sinA 0，∴ 3cosA sinA，即 tanA 3，∵ A (0， )，∴ A ；6分
3
选择条件②，在 ABC中， A B C ，
cosC 2sinB sinC由题意及正弦定理可得 ，
2sinA
即 2cosC sinA 2sinB sinC， 2分
即 2cosC sinA 2sin(A C) sinC 2sinA cosC 2cosA sinC sinC， 4分
∴ 2cosA sinC 1 sinC，∵ sinC 0，∴ cosA ，
2
∵ A (0， )，∴ A ； 6分
3
选择条件③，在 ABC中， A B C ，
tanA tan(B C) tanB tanC∵ ， 2分
1 tanB tanC
∴ tanA tanA tanB tanC tanB tanC，
即 tanA tanB tanC tanA tanB tanC，
∴ tanA tanB tanC 3 tanB tanC， 4分
∵ tanB tanC 0，∴ tanA 3，∵ A (0 ， )，∴ A ； 6分
3
（2 2 2 2）∵ a 2、b c 10，由余弦定理可得 a b c 2bc cosA，
即 4 b2 c2 bc (b c)2 3bc 10 3bc，∴bc 2， 9分
S 1 1 3 3∴ ABC bc sinA 2 。 10分2 2 2 2
18．解：（1）∵ Sn 2an 1，①可得 n 2时， Sn 1 2an 1 1，②，
①﹣②可得 an Sn Sn 1 2an 1 2an 1 1，即为 an 2an 1，
由 n 1时， a1 S1 2a1 1，可得 a1 1 0，
∴{an}是首项为1，公比为 2的等比数列，∴ a 2
n 1
n ， 4分
设数列{bn}是公差 d 大于 0的等差数列，b2 a3 4，
由b 、b 、 a 成等比数列，可得b21 2 4 2 b1 a4，即为 4
2 8b1，解得b1 2， d 2，
∴bn 2 2(n 1) 2n； 8分
n
（2）Tn ai bi 1 2 2 2
2 n 2n，2T 1 22 2 23 n 2n 1n ， 10分
i 1
n
两式相减可得 T 2 22 ... 2n n 2n 1 2(1 2 ) n 2n 1，∴T 2 (n 1) 2n 1n n 。12分1 2
19．解：（1）证明：∵ AC AB， AC AP， AB AP A， AB、 AP 平面 ABP，∴ AC 平面 ABP，
又 PB 平面 ABP，∴ AC PB， 2分
又∵CD PB， AC CD C， AC、CD 平面 ACD，∴ PB 平面 ACD，
又 AD 平面 ACD，∴ AD PB， 4分
∵ tan AP AD 1 ABP ，∴ BD 2AD，
AB BD 2
由题意可得 ADP ~ BDA PD AD 1，∴ ，∴ AD 2PD，∴ BD 4PD；6分
AD BD 2
（2）解：以 A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设 AC 2，∴ AB 4、 AP 2，
∴ A(0，0 0) P(0 0 4 8， 、 ，，2)、 B(0，4，0)、C(2，0，0)、D(0，，)，
5 5
∴ PB (0 4 4 8，， 2)、 PC (2，0， 2)、 AD (0，，)， 8分
5 5
n PB 4y 2z 0
设平面 PBC 的法向量为 n (x，y，z)，∴ ，
n PC 2x 2z 0
令 y 1，∴ x 2、 z 2，∴ n (2，1，2)， 10分
设直线 AD与平面 PBC 所成的角为 ，
4 16
sin | cos n AD | | n, AD |
∴ ， 5 5 5 ，
| n | | AD | 3 4 5
3
5
∴直线 AD与平面 PBC 5所成角的正弦值为 。 12分
3
20 1 x 14 5 17 6 20 9 23 12 26 8 29 6 32 4．解：（ ）由频数分布表得： 22.76 22.8，
50
∴这50个社区这一天垃圾量的平均值为 22.8吨； 3分
（2）∵ 22.8，∵ s 5.2，∴ s 5.2，
P(X 28) P(X ) 1 0.6827∴ 0.15865， 5分
2
∵320 0.15865 50.768 51，∴这320个社区中超标社区的个数为51； 7分
（3）由频数分布表：8个超标社区中这一天的垃圾量至少为30.5吨的社区有 4个，
∴Y 的可能取值为1、2、3、 4， 8分
1 4 2 3
∴ P(Y 1) C4 C4 1 5 、 P(Y 2)
C C 3
4 45 、C8 14 C8 7
C3 C 2 4 1P(Y 3) 3 4 45 、P(Y 4)
C C 1
4 45 ， 10分C8 7 C8 14
∴Y 的分布列为： 11分
Y 1 2 3 4
1 3 3 1
P
14 7 7 14
∴数学期望 E(Y ) 1 1 3 3 1 5 2 3 4 。 12分
14 7 7 14 2
21．解：（1）抛物线C ： y2 2px（ p 0），∵点 P(2，2)在抛物线C上，∴ 4 4p，解得 p 1，
∴抛物线C的方程标准为 y2 2x； 3分
（2）证明：由题意可设 AB的斜率为 k ，
∴直线 AB的方程为 y 1 k(x 2)， 4分
y2 2x
联立 得： ky2 2y 4k 2 0， 0恒成立， 5分
y 1 k(x 2)
设 A(x1，y1)、 B(x2，y2 )，∴ y1 y
2 y y 4k 22 ， 1 2 ， 6分k k
k y1 2 y1 2 2 k 2∴ 1 2 ，同理可得 2 ， 7分x1 2 y1 y 2 y 2 1 2 2
2
4
8
∴ k1 k
2 2 2(y y ) 8 2 4k
2
1 2 k ， 9分
y1 2 y2 2 y1 y2 2(y1 y2 ) 4 2 4k 4 4 3
k k
y 1 k(x 2)
x 2k 1 y 4k 1由 得： ， ，
y x 2
M k 1 M k 1
4k 1
2
k k 1 1 2k∴ 3 2k 1 ， 11分
2 3
k 1
∴ k1 k2 2k3。 12分
22．解：（1 f (x) a (2 ln x)） 的定义域是 (0， )， f (x) 2 ， 1分x
①当 a 0时，令 f (x) 0，解得 0 x e2 ，令 f (x) 0，解得 x e2 ，
∴ f (x)的单调递减区间为 (0，e2 ) ，单调递增区间为 (e2， )， 2分
②当 a 0时， f (x) 0无单调区间， 3分
③当 a 0时，令 f (x) 0，得 x e2 ，令 f (x) 0，得 0 x e2 ，
∴ f (x)的递增区间是 (0，e2 )，单调递减区间是 (e2， )， 4分
综上所述，当 a 0时， f (x)的单调递减区间为 (0，e2 )，单调递增区间为 (e2， )，
当 a 0时， f (x) 0无单调区间，
当 a 0时， f (x)的递增区间是 (0，e2 ) ，单调递减区间是 (e2， )； 5分
2 f (x) 1 1 a a (ln x 1) 1 1 a a ln x 1（ ） 即为 ，得 1 ，
x x x x x
∵ x 1，∴同乘以 x，得 a ln x x 1，
ln x 0 a x 1又 ，∴ 在 x (1， )上恒成立， 6分
ln x
x 1 ln x
1
1
令 h(x) （ x 1），∴ h (x) x ，
ln x (ln x)2
令 t(x) ln x 1 1(x 1) 1，∵ y ln x与 y 在 (1， )上均单调递增， 7分
x x
∴ t(x)在 (1 4 5， )上单调递增，且 t(x) ln 3 0， t(4) ln 4 0，
3 4
∴ x0 (3 4)
1 1
， ，使得 t(x0 ) ln x0 1 0，此时 ln x0 1， 9分x0 x0
∴当 x (1，x0 )时， h (x) 0，当 x (x0， )时， h (x) 0，
∴ h(x)在 (1，x0 )上单调递减，在 (x0， )上单调递增，
∴ h(x) h(x ) x0 1 x 0 1min 0 ln x0 1
x0 (3，4)， 11分
1
x0
∵ a x 1 在 x (1， )上恒成立，∴ a h(x)
ln x min
x0 ，∴整数 a的最大值是3。 12分
