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仿真卷 04
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合 A { 1，0，2}， B {0，1，2}，则 A B （ ）。
A、{ 1，0，1}
B、{ 1，0，1，2}
C、{0，1，2}
D、{0，2}
2．设复数 z 1 ai（ a R），且 | z | 10 ，则 | z | （ ）。
1 2i
A、 2
B、 2 或 5
C、 5
D、 5或3
3．某地积极响应党中央的号召，开展扶贫活动，扶贫第 x年该地区贫困户每年人均收入 y万元的部分数据
如下表：
年份编号 x 1 2 3 4 5
年人均收入 y 0.5 0.6 a 1.4 1.7
根据表中所给数据，求得 y与 x的线性回归方程为 y 0.32x 0.08，则 a （ ）。
A、 0.8
B、 0.9
C、1
D、1.3
4．“牵星术”是古代的航海发明之一，在《郑和航海图》中都有记载。如图所示，“牵星术”仪器主要是由牵
星板（正方形木板），辅以一条细绳贯穿在本板的中心牵引组成，要确定航船在海上的位置，观察员一手持
一块竖直的牵星板，手臂向前伸直，另一手持看线端置于眼前，眼睛瞄准牵星板上下边缘，将下边缘与水
平线取平，上边缘与北极星眼线重合，通过测出北极星眼线与水平线的夹角来确定航船在海上的位置（纬
度）。某航海观察员手持边长为 20 cm的牵星板，绳长 70 cm，观察北极星，眼线恰好通过牵星板上边缘，
则航船所处的纬度位于区间（ ）。
参考数据： tan10 0.1763、 tan15 0.2679、 tan 20 0.3640、 tan 25 0.4663。
A、[0 ，10 ]
B、 (10 ，15 ]
C、 (15 ，20 ]
D、 (20 ，25 ]
5．5 G S技术的数学原理之一是著名的香农公式：C W log2(1 )。它表示：在受噪声干扰的信道中，最N
大信息传递速度C取决于信道带宽W ，信道内信号的平均功率 S，信道内部的高斯噪声功率 N的大小，其
S
中 叫做信噪比。当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计。假设目前信噪比为1600，若不改变
N
S
带宽W ，而将最大信息传播速度C 提升50%，那么信噪比 要扩大到原来的约（ ）。
N
A、10倍
B、 20倍
C、30倍
D、 40倍
ex 1，0 x 1
6．已知函数 f (x)的定义域为[0， )，且满足 f (x) ，若 g(x) f (x) ，则 g(x)在[0，10]
2 f (x 1)，x 1
内的零点个数为（ ）。
A、8
B、9
C、10
D、11
7．如图所示，在底圆半径和高均为 2 2的圆锥中 AB、CD是过底圆圆O的两条互相垂直的直径， E是母
线 PB的中点，已知过CD与 E的平面与圆锥侧面的交线是以 E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦
点到圆锥顶点 P的距离等于（ ）。
A、 5
B、1
C 10、
4
D 5、
2
8．四位小伙伴在玩一个“幸运大挑战”小游戏，有一枚幸运星在他们四个人之间随机进行传递，游戏规定：
每个人得到幸运星之后随机传递给另外三个人中的任意一个人，这样就完成了一次传递。若游戏开始时幸
运星在甲手上，记完成 n（ n 2，n N ）次传递后幸运星仍在甲手上的所有可能传递方案种数为 an，则
（ ）。
A、 a3 9
B、 a4 27
C、 a5 69
D、 a6 183
二、多选题：本题共 4小题，每小题5分，共 20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得 2分。
9．下列命题中正确的是（ ）。
A x (0 ) (1 )x (1、 ， ， )x
2 3
B、 x (0，1)， log 1 x log 1 x
2 3
C 1 1
1
、 x (0， )， ( )x x 2
2 2
D、 x 1 1 (0，)， ( )x log x
3 2 13
10．1904年，瑞典数学家科赫构造了一种曲线。如图所示，取一个边长为1的正三角形，在每个边上以中
1
间的 为一边，向外侧凸出作一个正三角形，再把原来边上中间的擦掉，得到第 2个图形，重复上面的步骤，
3
得到第3个图形。这样无限地作下去，得到的图形的轮廓线称为科赫曲线。云层的边缘，山脉的轮廓，海岸
线等自然界里的不规则曲线都可用“科赫曲线”的方式来研究，这门学科叫“分形几何学”。下列说法正确的是
（ ）。
1
A、第 4个图形的边长为
81
B、记第 n个图形的边数为 an，则 an 1 4an
4
C、记第 n个图形的周长为bn，则bn 3 ( )
n 1
3
D、记第 n个图形的面积为 Sn，则对任意的 n N ，存在正实数M ，使得 Sn M
sin(2x ) cos(2x )
11．已知函数 f (x) 4 4 ，则下列说法正确的是（ ）。
1 sin x cos x
A、 f (x)为周期函数
B、 f (x) 的图像关于点 ( ，0)对称
4
C、 f (x) 2 3有最大值
3
D、 f (x) 在 ( ，0)上单调递增
2
12．如图所示，已知正四棱柱 ABCD A1B1C1D1的底面边长为1，侧棱长为 2，点 P、Q分别在半圆弧CC1
和半圆弧 AA1（均不含端点）上，且C1、 P、Q、C在球O上，则下列说法正确的是（ ）。
A、当点 P在半圆弧CC1的中点处时，三棱锥C1 PQC的体积为定值
B、当点 P在半圆弧CC1的中点处时，过C1、 P、Q三点的平面截正四棱柱所得的截面的形状都是四
边形
C、球O的表面积的取值范围为 (4 ，8 )
D、当点Q在半圆弧 A1A的三等分点处时，球O的表面积为 (11 4 3)
三、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共 20分。
13．已知向量 a、b满足： | a | 1、 | b | 2、 | a b | 3，则 a与b的夹角大小为 。
14．在一次机器人比赛中，有供选择的 A型机器人和 B型机器人若干，从中选择一个机器人参加比赛，B型
3
机器人被选中的概率为 ，若 A型机器人比 B型机器人多 4个，则 A型机器人的个数为 。
10
2 2
15．设 F F x y 2 1、 2分别为双曲线C ： 2 2 1的左、右焦点，若双曲线上C 存在点 A，使得 F1AF ，a a 5 2 3
且 | AF1 | 3 | AF2 |，则 a 。
16 ln x 1．若 ax b（ a，b R）对于 x (0， )恒成立，则当 a 0时，b的最小值为 ；
x
b
当 a 0时， 的最小值为 。（本小题第一个空 2分，第二个空 3分）
a
四、解答题：本题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分 10分）设 Sn为数列{an}的前 n项和，已知 a2 3， an 1 2an 1。
（1）证明：数列{an 1}是等比数列；
（2）判断 n、 an 、 Sn是否成等差数列？并说明理由。
18．（本小题满分 12分）已知函数 f (x) Asin( x ) A 0 0 （ ， ）的图像是由 y 2 sin( x )的
3
图像向右平移 个单位得到的。
3
（1）若 f (x)的最小正周期为 ，求 f (x)的与 y轴距离最近的对称轴方程；
（2）若 f (x)在[ ， ]上有且仅有一个零点，求 的取值范围。
2
19．（本小题满分 12分）如图所示，在长方体 ABCD A1B1C1D1中，AA1 AD、CD 2AD，N 为CD中
点，M 为D1C1中点。
（1）求证： BD 平面 ANM ；
（2）若线段 AN上存在点Q使得 BQ AN，求直线C1Q与平面 A1B1Q所成角的正弦值。
20．（本小题满分 12分）某学校共有1000名学生参加知识竞赛，其中男生 400人，为了解该校学生在知识
竞赛中的情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，分数分布在 450 ~ 950分之间，根据调查的
结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示。将分数不低于750分的学生称为“高分选手”。
（1）求 a的值，并估计该校学生分数的平均数、中位数和众数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代
表）；
（2）现采用分层抽样的方式从分数落在[550，650)、[750，850)内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随
机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高分选手”的学生人数为随机变量 X ，求 X 的分布列及数学期望；
（3）若样本中属于“高分选手”的女生有10人，完成下列 2 2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为该校
学生属于“高分选手”与“性别”有关？
属于“高分选手” 不属于“高分选手” 合计
男生
女生
合计
K 2 n(ad bc)
2
（参考公式： ，其中 n a b c d）
(a b)(c d)(a c)(b d)
P(K 2 k) 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
x2 y2
21．（本小题满分 12 1 9分）已知椭圆C ： 2 2 1（ a b 0）的离心率等于 ，椭圆C 与抛物线C1：y
2 x
a b 2 2
交于 P、Q两点（ P在 x轴上方），且 PQ经过C 的右焦点。
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）已知点 A、B是椭圆上不同的两个动点，且满足直线 AP与直线 BP关于直线 PQ对称，试问直线 AB
的斜率是否为定值，请说明理由。
22 1．（本小题满分 12分）已知函数 f (x) x2 ax (a 1) ln x（ a R）。
2
（1）讨论函数 f (x)的单调性；
（2）若函数 f (x)有两个零点，求实数 a的取值范围。仿真卷 04
一、单选题：
1 2 3 4 5 6 7 8
B A C C D B A D
二、多选题：
9 10 11 12
ABC BCD ABD AD
三、填空题：
13 14 15 16
2 7 1 2 1
3 e
四、解答题：
17．解：（1）∵ a2 3， an 1 2an 1，∴ a1 1， 1分
由题意得 a 1 0 an 1 1 2an 2n ，∴ 2，又 aa 1 a 1 1
1 2， 3分
n n
∴{an 1}是首项为 2、公比为 2的等比数列， 4分
（2）由（1）a nn 1 2 ，∴ a 2
n
n 1， 5分
n 1
∴ S 2 2n n 2
n 1 n 2， 7分
1 2
∴ n Sn 2an n 2
n 1 n 2 2(2n 1) 0， 9分
∴ n Sn 2an， 即 n、an 、Sn成等差数列。 10分
18．解：（1）∵ f (x) 2 的最小正周期为 ，∴ ，∴ 2， 2分
∵ f (x) 的图像是由 y 2 sin( x )的图像向右平移 个单位得到的，
3 3
∴ f (x) 2 sin[2(x ) ] 2 sin(2x )， 4分
3 3 3
令 2x k ， k Z ，得 f (x) 5 k 的对称轴方程为 x ， k Z ， 5分
3 2 12 2
5 k 5 k
要使直线 x （ k Z ）与 y轴距离最近，则须 | |最小，
12 2 12 2
∴ k 1，此时对称轴方程为 x ； 6分
12
（2）由已知得： f (x) 2 sin[ (x ) ]，
3 3
k
令 f (x) 0得： (x ) k ，k Z ，即 x 3 3 ， k Z ， 8分
3 3
∵ f (x) 在[ ， ]上有且仅有一个零点，
2
k
3 3
2 3k 1
6k 2 6k 2 0
(k 1) 2
∴ 3 3
3k 1
，∵ 0，∴ 6k 8
，∴ 6k 2 ， 11分
2 3k 2
2
(k 1) 2 6k 8
3k 2
3 3 2
1 5
解得： k 2，∵ k Z ，∴ k 1，∴1 。 12分
3 2
19．解：（1）在长方体 ABCD A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，设 AD 4， 1分
则 A(4，0，0)、 B(4，4 2，0)、C(0，4 2，0)、D(0，0，0)、 A1(4，0，4)、 B1(4，4 2，4)、
C1(0，4 2，4)、D1(0，0，4)、N (0，2 2，0)、M (0，2 2，4)， 3分
∴ BD ( 4， 4 2，0)， AM ( 4，2 2，4)、 AN ( 4，2 2，0)，
∴ BD AM 0、 BD AN 0，∴ BD AM 、 BD AN，
又 AM AN A， AM、AN 平面 ANM ，∴ BD 平面 ANM ； 5分
（2）设Q(x0，y0，z0 )，设 AQ AN ，则 (x0 4，y0，z0 ) ( 4，2 2，0)，
∴ x0 4 4 、 y0 2 2 ， z0 0，∴Q(4 4 ，2 2 ，0)，
又 BQ AN ，∴ BQ AN 0， 6分
∵ BQ ( 4 ，2 2 4 2，0)， AN ( 4，2 2，0)，
∴ ( 4 ) ( 4) (2 2 4 2) 2 2 0 2 4 4 2 ，解得 ，∴Q( ， ，0)， 8分
3 3 3
C Q (4 8 2 8 4 2 8 8 2∴ 1 ， ， 4)、 A1Q ( ， ， 4)、 B1Q ( ， ， 4)，3 3 3 3 3 3
8 x 4 2
n A1Q 0
y 4z 0
A B 3 3设平面 1 1Q的法向量为 n (x，y，z)，则 ，即 ，
n B1Q 0 8 8 2
x y 4z 0 3 3
则 y 0，令 x 3，解得 z 2，则 n (3，0， 2)， 10分
设直线C1Q与平面 A1B1Q所成角的平面角为 ，
则 sin | cos C Q n | | C1Q n | 3 26 1 ， ，|C1Q | | n | 26
C 3 26即直线 1Q与平面 A1B1Q所成角的正弦值为 。 12分26
20．解：（1）由题意知100 (0.0015 a 0.0025 0.0015 0.001) 1，解得 a 0.0035， 1分
样本平均数为 x 500 0.15 600 0.35 700 0.25 800 0.15 900 0.10 670， 2分
中位数为 650，众数为 600； 3分
（2）由题意，从[550，650)中抽取7人，从[750，850)中抽取3人， 4分
随机变量 X 可取 0、1、 2、3，
0 3 1 2
∴ P(X 0) C3 C 7 353 、 P(X 1)
C
3
C7 63 、
C10 120 C
3
10 120
2 1 3 0
P(X 2) C C 21 C C 1 3 73 、P(X 3)
3 7
C 120 C3
， 7分
10 10 120
∴ X 的分布列为：
X 0 1 2 3
35 63 21 1
P
120 120 120 120
35 63 21 1 9
∴数学期望 E(X ) 0 1 2 3 ； 9分
120 120 120 120 10
（3）样本中男生 40人，女生 60人属于“高分选手”的 25人，其中女生12人，得出以下 2 2列联
表：
属于“高分选手” 不属于“高分选手” 合计
男生 15 25 40
女生 10 50 60
合计 25 75 100
2
K 2 n(ad bc) 100(10 25 15 50)
2 50
∴ 5.024，
(a b)(c d)(a c)(b d) 25 75 40 60 9
∴有97.5%的把握认为该校学生属于“高分选手”与性别有关。 12分
2 2
21．解：（1）设椭圆C 的半焦距为 c，设点 P(c，y )，则 y2 9 c y00 0 c且 2 1， 1分2 a b2
c2 9c 2
消去 y0 得： 2 2 1
c 9c
，即 2 2 1①， 2分a 2b a 2(a c2 )
∵椭圆C 1 c 1的离心率等于 ，∴ ，即 a 2c②， 3分
2 a 2
c2 9c 1 1 3将②代入①得： 2 2 2 ，化简得： 1， 4分(2c) 2[(2c) c ] 4 2c
2 2
解得： c 2，∴ a 4，b a2 c2 2 3，∴椭圆C x y的标准方程为 1； 5分
16 12
（2）将 P(2 y 9 9， 0 )代入抛物线C1： y
2 x中，得 y20 2，解得 y0 3（取正值），2 2
则 P(2，3)、Q(2， 3)，当 AP与 BP关于直线 PQ对称时，PA 、 PB的斜率之和为 0， 6分
设直线 PA 的斜率为 k ，则 PB的斜率为 k，
设 A(x1，y1)、B(x2，y2 )，设直线 PA 的方程为 y 3 k (x 2)， 7分
y 3 k (x 2)
联立 2 2 2 2 得： (3 4k )x 8(3 2k )kx 16k
2 48k 12 0，
3x 4y 48
x 2 8k (2k 3)∴ 1 2 ， 9分3 4k
设 PB 的直线方程为 y 3 k (x 2) x 2 8k ( 2k 3) 8k (2k 3) ，同理得： 2 ，10分3 4k 2 3 4k 2
x x 16k
2 12
∴ 1 2 2 ， x
48k
1 x2 2 ， 11分3 4k 3 4k
k y1 y2 k (x1 2) 3 k (x 2) 3 k (x x ) 4k 1则 AB 2 1 2 ，x1 x2 x1 x2 x1 x2 2
∴直线 AB 1的斜率为定值 。 12分
2
2
22．解：（1） f (x)的定义域为 (0， )， f (x) x a a 1 x ax (a 1) [x (a 1)](x 1) ，
x x x
令 f (x) 0，解得 x1 (a 1)、 x2 1， 1分
当 a 1 0，即 a 1时， x1舍去， f (x)在 (0，1)单调递减，在 (1， )单调递增， 2分
当 a 1 0，即 a 1时，
当 a 2时， x1 x2， f (x) 0恒成立， f (x)在 (0， )单调递增，
当 2 a 1时， x1 x2， f (x)在 (0， (a 1))单调递增，
在 ( (a 1)，1)单调递减，在 (1， )单调递增，
当 a 2时， x1 x2， f (x)在 (0，1)单调递增，
在 (1， (a 1))单调递减，在 ( (a 1)， )单调递增； 5分
（2）当 a 2时， f (x)在 (0， )单调递增，不可能有两个零点，不符合题意，舍去， 6分
当 a 1 1时， f (x) x2 x只有一个零点，不符合题意，舍去， 7分
2
当 a 1时， f (x)在 (0，1)单调递减，在 (1， )单调递增，
且当 x 0 时 f (x) ，当 x 时 f (x) ，
则只需 f (1) 0 1，即 1 a ， 8分
2
当 a 2时， f (x)在 (0，1)单调递增，在 (1， (a 1))单调递减，在 ( (a 1)， )单调递增，
且 f (1) a 1 0，则 f (x)不可能有两个零点，不符合题意，舍去， 9分
2
当 2 a 1时， f (x)在 (0，1)单调递增，
在 (1， (a 1))单调递减，在 ( (a 1)， )单调递增，
且 f (1) a 1 0，则要使 f (x)有两个零点，只能 f ( a 1) 0，
2
由 f ( a 1) 1 ( a 1)2 a( a 1) (a 1) ln( a 1) 0且 a 1得：
2
1 a
ln( a t 2 1) 0，设 a 1 t，则 0 t 1，则 ln t 0，
2 2
构造 g(t) t 2 ln t，则 g (t) 1 1 ，当 0 t 1时 g (t) 0，
2 2 t
∴ g(t)在 (0 3，1)单调递减，此时 g(1) 0，
2
t 2
则 ln t 0在 (0，1)内无解，不符合题意，舍去， 11分
2
1
综上所述，当 1 a 时函数 f (x)有两个零点。 12分
2
