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仿真卷 05
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知全集U R，设集合 A {x | y ln(x 1)}，集合 B {y | y x2 2x 10}，则 A (CUB) （ ）。
A、[1，3)
B、[1，3]
C、 (1，3)
D、 (1，3]
2．已知 z1、 z2为复数，若命题 p： z1 z2 0，命题 q： z1 z2，则 p是 q成立的（ ）。
A、充分不必要条件
B、必要不充分条件
C、充要条件
D、既不充分也不必要条件
3． 2020年我国进行了第七次全国人口普查，“大国点名，没你不行”。在此次活动中，某学校有 2女、 4男
6名教师报名成为志愿者，现在有3个不同的社区需要进行普查工作，从这 6名志愿者中选派3名，每人去1
个小区，每个小区去1名教师，其中至少要有1名女教师，则不同的选派方案有（ ）。
A、16种
B、 20种
C、96种
D、120种
4 f (x) ln x
e x e
．函数 e 在 x轴正半轴的图像大致为（ ）。| x |
A、 B、 C、 D、
5．已知直线 l： x 2y 6 0与圆C ： x2 y2 4y 0相交于 A、 B两点，则CA CB （ ）。
A 16、
5
B 12、
5
C 12、
5
D 16、
5
6．多项式 (x2 1) (x 1) (x 2) (x 3)展开式中 x3的系数为（ ）。
A、 4
B、8
C、12
D、16
7．设 a 2020 ln 2022， b 2021 ln 2021， c 2022 ln 2020，则（ ）。
A、 a b c
B、 a c b
C、 b c a
D、 c b a
8．若 ABC为锐角三角形，D、 E 分别为 AB、 AC的中点，且CD BE，则 cos A的取值范围是（ ）。
A、 (1，1)
2
B (1 6、 ， )
2 3
C、[4，1)
5
D [4 6、 ， )
5 3
二、多选题：本题共 4小题，每小题5分，共 20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得 2分。
9．某次音乐节某乐评人评委给13支乐队的评分如图所示，则下列说法正确的是（ ）。
A、13支乐队评分的极差为 7
B、13支乐队中评分不低于 7分的有 6支
C、13支乐队评分的平均数约为 6.46
D、第 6支到第12支乐队的评分逐渐降低
10．已知抛物线 y2 2x，过焦点的弦 AB的倾斜角为 （ 0），O当坐标原点，则下列说法正确的有（ ）。
A、若 A(x1，y1)、 B(x2，y2 )，则 y1 y2 1
B、当 时， | AB | 4
4
C、以 | AB | 1为直径的圆与准线 x 相切
2
D、不论 为何值， AOB的面积为定值
11．已知数列{an}的首项为 a1 m且满足 4a
an
n 1 [7 5 ( 1) ] an 2 2 ( 1)
an ，其中 n N ，则下列说
法中正确的是（ ）。
A、当m 1时，有 an an 3恒成立
B、当m 21时，有 an 4 an 7 恒成立
C、当m 27时，有 an 108 an 111 恒成立
D、当m 2k（ k N ）时，有 an k an k 2恒成立
12．已知直四棱柱 ABCD A1B1C1D1的侧棱长为8，底面是边长为8的菱形，且 ABC 60
，点 E 在边 BC
上，且满足3BE EC，若动点M 在该四棱柱的表面上运动，并且总保持ME BD1，当MC与平面 ABCD
所成角最大时，有（ ）。
A、 BD1 AC
B、 BM 4
C 4 89、异面直线MC1与 AC所成角的余弦值为 89
D 218、三棱锥M ABC的外接球半径为
3
三、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共 20分。
13．若定义在 R上的非零函数 f (x)，对任意实数 x，存在常数 ，使得 f (x ) f (x)恒成立，则称 y f (x)
是个“ f 函数”，试写出一个“ f 1函数”： 。（答案不唯一）
14．地铁换乘站设有编号为 A、 B、C 、D、 E 的五个安全出口。若同时开放其中的两个安全出口，疏散
1000名乘客所需的时间如下：
安全出口编号 A、 B B、C C 、D D、 E A、 E
疏散乘客时间（ s） 125 186 160 145 175
则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是 。
x2 2
15．已知椭圆C y： 2 2 1（ a b 0）的左右焦点为 F1、F2 ，若椭圆C 上恰好有 6个不同的点，使得a b
PF1F2为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是 。
16．已知函数 f (x) ln x (x a)2 1 3（ a ）的两个极值点为 x1、 x2 ，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2)的取2
值范围为 。
四、解答题：本题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分 10分）在条件① sin2 A sin2 B sin2 C sin A sin B，② 2a 3c sin A a cosC，
③ (2sin A sin B) a 2c sinC (sin A 2sin B) b这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答。
已知 ABC的角 A、 B、C 的对边分别为 a、b、 c，且 c 6， 。
（1）求C；
（2）求 ABC 面积的最大值。
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分。
18．（本小题满分 12 分）一批新能源汽车的锂电池在出厂前要进行一次质量检测，检测方案是：从这批锂
电池中随机抽取 4个，对其一个一个地进行检测，若这 4个都为优质品，则这批锂电池通过这次质量检测，
若检测出非优质品，则停止检测，并认为这批锂电池不能通过这次质量检测。假设抽取的每个锂电池是优
质品的概率都为 p。
（1）设一次质量检测共检测了 X 个锂电池，求 X 的分布列；
（2）设 0.9 p 0.95，已知每个锂电池的检测费用都是1000元，对这批锂电池进行一次质量检测所需的
费用记为Y （单位：元），求Y 的数学期望 E(Y )的最小值。
19．（本小题满分 12分）如图所示，四棱锥 P ABCD中， ABC BCD 90 ， AB PB 2BC 2CD
2 2 ， PAD 是正三角形。
（1）求证：平面 PAD 底面 ABCD；
（2）点 E 在棱 PB上，且直线CE与底面 ABCD所成角为30 ，求二面角 E AC D的余弦值。
20 1．（本小题满分 12分）已知数列{an}的前 n项和为 Sn，满足 Sn (a 1)， n N 。3 n
（1）求数列{an}的通项公式；
2 b a sin n （ ）记 n n ，求数列{bn}的前100项的和T2 100
。
2 2
21．（本小题满分 12 x y分）已知椭圆C ： 1，直线 l： x 4与 x轴相交于点 P，过右焦点 F的直线
4 3
与椭圆C 交于 A、 B两点。
（1）若过点 F的直线MF 与 AB垂直，且与直线 l交于点M ，线段 AB中点为D，求证 kOD kOM 。
（2）设Q 5点的坐标为 ( ，0)，直线 BQ与直线 l交于点 E ，试问 EA是否垂直 EP，若是，写出证明过程，
2
若不是，请说明理由。
22．（本小题满分 12分）已知函数 f (x) x ex ax2 2ax，其中 e为自然对数的底数， a 0。
（1）讨论 f (x)的单调性；
（2）当 x 0时，不等式 f (x) (2a 1) x x ln(x 1)恒成立，求实数 a的取值范围。仿真卷 05
一、单选题：
1 2 3 4 5 6 7 8
C B C D B C A D
二、多选题：
9 10 11 12
ABC ABC AC AC
三、填空题：
13 14 15 16
f (x) sin(2 x)
(1 1D ， ) (
1 1) [3， ln 2， )
答案不唯一 3 2 2 4
四、解答题：
17．解：若选条件①，
（1）在 ABC中， A B C ，由题意及正弦定理得 a2 b2 c2 ab， 2分
a2 b2 c2 1
由余弦定理可得 cosC ，∵C (0， )，∴C ； 4分
2ab 2 3
（2）∵C 、 c 6，∴在 ABC中，由余弦定理可得36 a2 b2 ab， 6分
3
∴ ab 36 a2 b2 2ab，解得 ab 36，当且仅当 a b时取等号， 8分
1
∴ ABC面积的最大值 Smax ab sinC 9 3。 10分2
若选条件②，
（1）在 ABC中， A B C ，
由题意及正弦定理得 2sin A 3 sinC sin A sin A cosC， 2分
∵ sin A 0，∴ 2 3 sinC cosC，即 3 sin(C ) 1，
6
∵C (0， )，C ( 7 ) ， ，∴C ，∴C ； 4分
6 6 6 6 2 3
2 C （ ）∵ 、 c 6，∴在 ABC中，由余弦定理可得36 a2 b2 ab， 6分
3
∴ ab 36 a2 b2 2ab，解得 ab 36，当且仅当 a b时取等号， 8分
∴ ABC 1面积的最大值 Smax ab sinC 9 3。 10分2
若选条件③，
（1）在 ABC中， A B C ，由题意及正弦定理得：(2a b) a 2c2 (a 2b) b， 2分
2 2 2
∴ a2 b2 c2 ab a b c 1，由余弦定理可得 cosC ，
2ab 2
∵C (0 ， )，∴C ； 4分
3
（2 C ）∵ 、 c 6，∴在 ABC中，由余弦定理可得36 a2 b2 ab， 6分
3
∴ ab 36 a2 b2 2ab，解得 ab 36，当且仅当 a b时取等号， 8分
∴ ABC 1面积的最大值 Smax ab sinC 9 3。 10分2
18．解：（1）由题意知 X 可取1、 2、3、 4， 1分
P(X 1) 1 p， P(X 2) p (1 p)， P(X 3) p2 (1 p)， P(X 4) p3， 3分
∴ X 的分布列为： 6分
X 1 2 3 4
P 1 p p (1 p) p2 (1 p) p 3
（2）由（1）知 E(X ) 1 p 2p (1 p) 3p2 (1 p) 4p3 p3 p2 p 1， 8分
∵ E(Y ) E(1000X ) 1000E(X )，∴ E(Y ) 1000 ( p3 p2 p 1)， 10分
设 f ( p) 1000( p3 p2 p 1)，则 f ( p)在[0.9，0.95]单调递增，
∴当 p 0.9时， f ( p)取得最小值3439，∴Y 的数学期望 E(Y )的最小值3439元。 12分
19．解：（1）连结 BD，由题设得 BD DA 2， AB 2 2 ， BD AD， 1分
∵ PB 2 2，PD BD 2，∴ BD PD， 2分
∵ AD PD D，∴ BD 平面 PAD ，
∵ BD 底面 ABCD，∴平面 PAD 底面 ABCD， 4分
（2）以D为坐标原点建立空间直角坐标系，
则 P(1，0，3)、 A(2，0，0)、 B(0，2，0)、C( 1，1，0)， 5分
设 PE PB（0 1），可得 E(1 ，2 ，3(1 ))，∴CE (2 ，2 1，3(1 ))，
又底面 ABCD即平面 ACD的法向量为m (0，0，1)，
则 | cos CE | 3(1 ) | 1，m | sin 30 ，∴ ，
(2 )2 (2 1)2 3(1 )2 2
1
解得 （可取）或 2（舍去），∴CE (3 3，0， )， 8分
2 2 2
设平面 EAC 的法向量为 n (x，y，z)，∵ AC ( 3，1，0)，
3x y 0 AC n 0
∴ ，∴ 3 3 ，
CE n 0 x z 0 2 2
设 x 1，则 y 3、 z 3 ，∴ n (1，3， 3)， 10分
设二面角 E AC D的平面角为 ，经观察 为钝角，
∴ cos | cos m，n | 39 。 12分
13
20 1 1．解：（1）当 n 1时， S1 a1 (a1 1)，解得 a3 1
， 1分
2
∵ S 1n (an 1)
1
，∴ Sn 1 (an 1 1)，3 3
a 1
∴两式相减得： 3an 1 an 1 an ，∴ n 1 ， 3分an 2
∴数列{an}
1 1 1
是首项为 、公比为 的等比数列，∴ an ( )
n； 5分
2 2 2
0，n 2k
2 b a sin n n （ ） n n ，其中 sin 1，n 4k 1（ k N
）， 6分
2 2
1，n 4k 3
∴当 n为偶数时，bn 0，此时{bn}数列中的部分项是为 0的常数项， 7分
当 n 1 1 1 1为奇数时，b1 、b3 、b2 8 5
、b ，
32 7 128
此时{bn}
1 1
数列中的部分项是首项为 ，公比为 的等比数列， 9分
2 4
∴T100 b1 b2 b3 b100 (b1 b3 b99 ) (b2 b4 b100 )
1 ( 1 )501 4 2 1 (1
1
)。 12分
2 1 ( ) 5 2
100
4
x2 221．解：（1 y）证明：由椭圆方程为 1知右焦点 F 坐标为 (1，0)，
4 3
直线 l的方程为 x 4，点 P坐标为 (4，0)， 1分
由直线MF AB知，直线 AB的斜率不为 0，故设直线 AB的方程为 x my 1，
从而直线MF 的方程为 y m(x 1)， 2分
令 x 4，得M 点的坐标为 (4， 3m)，∴直线OM 3m的方程为 y x， 3分
4
x2 y2
1
联立 2 4 3 ，得 (3m 4)y2 6my 9 0， 0恒成立， 5分
x my 1
设 A(x1，y1)、 B(x2，y ) y y
6m
2 ，即 1 2 2 ， y1 y
9
3m 4 2
2 ， 6分3m 4
∴线段 BA 4 3m 3m的中点坐标为D( 2 ， )， k ，3m 4 3m2 4 OD 4
综上可知 kOD kOM ； 7分
（2）当直线 AB的斜率为 0时，点 E 即为点 P，从而 EA EP， 8分
当直线 AB的斜率不为 0时，由（1 y 6m）知， 1 y2 2 ， y1 y
9
2 2 ， 9分3m 4 3m 4
2
∴ y1 y2 m y y
3(y
，则m y 1 y2 )
y 5
1 2 2 ，直线QB的方程为 y 2 5 (x )， 10分3 2y1 x2
2
2
又 x2 my 1 x 4
3 y 3y 3y 3y
2 ，令 ，得 y 2 2 2 2 ， 11分2 x 5
y
2x2 5 2my2 3 3(y y )
1
1 2
2 2 2y1
∴点 E 的坐标为 (4，y1)，即 EA EP。 12分
22．解：（1） f (x)的定义域为 R， f (x) (x 1) (ex 2a)， 1分
①当 a 0时， ex 2a 0， x ( ， 1)， f (x) 0， f (x)单调递减，
x ( 1， )， f (x) 0， f (x)单调递增， 2分
1
②当 a 0时， ln( 2a) 1，
2e
x ( ，ln( 2a))， ex 2a 0， f (x) 0， f (x)单调递增，
x (ln( 2a)， 1)， ex 2a 0， f (x) 0， f (x)单调递减，
x ( 1， )，ex 2a 0， f (x) 0， f (x)单调递增， 3分
a 1③当 时， f (x) (x 1)(ex e 1) 0， x ( ， )， f (x)单调递增， 4分
2e
④当 a 1 时， ln( 2a) 1，
2e
x ( ， 1)， ex 2a 0， f (x) 0， f (x)单调递增，
x ( 1，ln( 2a))， ex 2a 0， f (x) 0， f (x)单调递减，
x (ln( 2a)， )，ex 2a 0， f (x) 0， f (x)单调递增， 5分
综上所述，当 a 0时， f (x)在 ( ， 1)，单调递减，在 ( 1， )单调递增，
1
当 a 0时， f (x)在 ( ，ln( 2a))单调递增，在 (ln( 2a)， 1)单调递减，
2e
在 ( 1， )单调递增，
当 a 1 时， f (x)在 R单调递增，
2e
1
当 a 时， f (x)在 ( ， 1)单调递增，在 ( 1，ln( 2a))单调递减，
2e
在 (ln( 2a)， )单调递增； 6分
（2）当 x 0时，
f (x) (2a 1)x x ln(x 1) x[ex ax ln(x 1) 1] 0 ex ax ln(x 1) 1 0，
令 g(x) ex ax ln(x 1) 1，则 g (x) ex 1 a， 8分
x 1
令 h(x) g (x) ex 1 a， h (x) ex 1 2 ， h (x)是单调递增函数，x 1 (x 1)
∴ h (x) h (0) 0，∴ g (x)在 (0， )单调递增，∴ g (x) g (0) a 2， 9分
①当 a 2 0即 a 2时， g (x) 0，
∴ g(x)在 (0， )上单调递增，g(x) g(0) 0，符合题意， 10分
②当 a 2 0即 a 2时， g (0) 0， x 时， g (x) 0，
∴存在 x0 (0， )，使得 g (x0 ) 0，
∵ x (0，x0 )， g (x) 0， g(x)单调递减，∴ g(x0 ) g(0) 0，不恒成立， 11分
综上所述，实数 a的取值范围是 [ 2， )。 12分
