人教版数学八年级下册17.2勾股定理的逆定理 同步练习（含解析）

17.2 勾股定理的逆定理 同步练习
一、单选题
1．有下面的判断：
①若△ABC中，a2＋b2≠c2，则△ABC不是直角三角形；
②△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2＋b2=c2；
③若△ABC中，a2－b2=c2，则△ABC是直角三角形；
④若△ABC是直角三角形，a是斜边，则(a＋b)(a－b)=c2.
其中判断正确的有(　　)
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．下列各组数：①3、4、5 ②4、5、6 ③2.5、6、6.5 ④8、15、17，其中是勾股数的有( )
A．4组 B．3组 C．2组 D．1组
3．在中，、、的对边分别是、、，则下列条件不能判定是直角三角形的是（ ）
A． B．
C．， D．
4．如图所示的一块地，已知，，，，，则这块地的面积为（ ）．
A． B． C． D．
5．如图，四边形中，，，，，且，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C．，BC＝4，AC＝5 D．∠A＝40°，∠B＝50°
7．一艘轮船以16海里/时的速度离开港口（如图），向北偏东40°方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度向北偏西某一角度的航向行驶，已知它们离港口一个半小时后相距30海里（即BA=30），问另一艘轮船的航行的方向是（ ）
A．北偏西50° B．南偏西50°
C．南偏东40° D．北偏西40°
8．下列各组数中，不能构成直角三角形的是(　　 )
A．a=1，b=，c= B．a=5，b=12，c=13 C．a=1，b=，c= D．a=1，b=1，c=2
9．如图，中，，，是中线，且，则的面积为（　　）
A．30 B．48 C．24 D．18
10．若的三边长a、b、c满足，那么是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
二、填空题
11．如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C均在格点上（即小正方形的项点上），则图中的度数为___________．
12．如图是一个零件的示意图，测量，，，，若，则_________．
13．的三边为a、b、c，若满足，则_______；若满足，则是_______角；若满足，则是_______角．
14．已知在平面直角坐标系中A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，2）．点P在x轴上运动，当点P与点A、B、C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为________．
15．如图，在△ABC中，AB=5，AC=13，BC边上的中线AD=6，则△ABD的面积是______．
三、解答题
16．如图，D为边上的一点，，，，，求的长．
17．如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
18．在一条东西走向的河流一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．
(1)求证：；
(2)求原来的路线的长．
参考答案
1．B
【详解】①c不一定是斜边，①错误；
②根据勾股定理可得②正确；
③根据勾股定理的逆定理可得③正确；
④若△ABC是直角三角形，a是斜边，则（a+b）（a-b）=c2，④正确．
共2个正确．
故选B．
2．C
【详解】解：∵32+42=52，①符合勾股数的定义；
∵42+52≠62，②不符合勾股数的定义；
∵2.5和6.5不是正整数，③不符合勾股数的定义；
∵82+152=172，④符合勾股数的定义，
是勾股数的有：①④，共2组，
故选：C．
3．D
【详解】解：A、∠C=∠A ∠B，又∠A＋∠B＋∠C＝180°，则∠A＝90°，是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∠A：∠B：∠C＝5：2：3，又∠A＋∠B＋∠C＝180°，则∠A＝90°，是直角三角形，故此选项不符合题意；
C、由，，得a2＋b2＝c2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；故此选项不符合题意；
D、a:b:c=2:2:4，设a=2k，b=2k，c=4k，a+b=c，不能构成三角形，故此选项符合题意，
故选：D．
4．C
【详解】解：如图，连接．
在中，∵，
∴，
又∵，
∴是直角三角形，
∴这块地的面积 ．
故答案为：C．
5．C
【详解】解：连接AC，
∵
∴AC=5cm，
∵CD=12cm，DA=13cm，
∴△ADC为直角三角形，
∴
故四边形ABCD的面积为24cm2．
故选：C．
6．A
【详解】解：A、由题意可设∠A=3k，∠B=4k，∠C=5k，因为3k+4k=5k在k不为0时不会成立，所以∠A+∠B=∠C=90°也不会成立，△ABC不是直角三角形，符合题意；
B、由题意可设AB=3t，BC=4t，CA=5t，因为，所以△ABC是直角三角形，不符合题意；
C、经过计算，所以△ABC是直角三角形，不符合题意；
D、因为∠A+∠B=90°，所以△ABC是直角三角形，不符合题意；
故选A．
7．A
【详解】解：由题意得：（海里），（海里），
，，
，
，
，
另一艘轮船的航行的方向是：北偏西，
故选：A．
8．D
【详解】A、∵12+()2=()2，∴能构成直角三角形，不符合题意；
B、∵52+122=132，，∴能构成直角三角形，不符合题意；
C、∵12+32=()2，∴能构成直角三角形，不符合题意；
D、∵12+12≠22，∴不能构成直角三角形，符合题意，
故选D．
9．C．
【详解】解：延长到，使，连接，如图所示：
为的中点，
，
在与中，
，
，
，
，
．
又，，
，
，
，
则；
故选：C．
10．B
【详解】解：，
移项得，，
，
，
，
，
，
，
是直角三角形，
故选：B．
11．90°##90度
【详解】解：由题意得：AB2=22+42=20，
CB2=22+12=5，
AC2=32+42=25，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ABC=90°，
故答案为：90°．
．
12．90°
【详解】∵∠ABC=90°，AB=4cm，BC=3cm，
∴在Rt△ABC中，
由勾股定理得：cm，
在△ACD中，
∵AC2+CD2=52+122=169=132=AD2，
∴△ACD是直角三角形，
即：∠ACD=90°．
故答案为：90°．
13． 钝 锐
【详解】解：若，则∠B=90°；若，则∠B是钝角；若，则∠B是锐角，
故答案为：∠B，钝，锐．
14．（0，0），（，0），（﹣2，0）
【详解】解：∵点P、A、B在x轴上，
∴P、A、B三点不能构成三角形．
设点P的坐标为（m，0）．
当△PAC为直角三角形时，
①∠APC＝90°，易知点P在原点处坐标为（0，0）；
②∠ACP＝90°时，如图，
∵∠ACP＝90°
∴AC2＋PC2＝AP2，
，
解得，m＝，
∴点P的坐标为（，0）；
当△PBC为直角三角形时，
①∠BPC＝90°，易知点P在原点处坐标为（0，0）；
②∠BCP＝90°时，
∵∠BCP＝90°，CO⊥PB，
∴PO＝BO＝2，
∴点P的坐标为（﹣2，0）．
综上所述点P的坐标为（0，0），（，0），（﹣2，0）．
15．15
【详解】解：延长AD到点E，使DE=AD=6，连接CE，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△ABD和△CED中，
，
∴△ABD≌△CED（SAS），
∴CE=AB=5，∠BAD=∠E，
∵AE=2AD=12，CE=5，AC=13，
∴CE2+AE2=AC2，
∴∠E=90°，
∴∠BAD=90°，
即△ABD为直角三角形，
∴△ABD的面积=AD AB=15．
故答案为15．
16．
【详解】解：∵，，，且，
∴，
∴是直角三角形，，
∴，
∵，，
∴16．
17．北偏西45°（或西北）
【详解】解：由题意可得：RP=18海里，PQ=24海里，QR=30海里，
∵182+242=302，
∴△RPQ是直角三角形，
∴∠RPQ=90°，
∵“远航”号沿东北方向航行，即沿北偏东45°方向航行，
∴∠RPS=45°，
∴“海天”号沿北偏西45°（或西北）方向航行．
18．(1)是，理由见解析
(2)路线AC的长为8.45千米
【详解】（1）证明：∵CB＝6.5千米，CD＝6千米，BD＝2.5千米，
，
∴，
∴△CDB为直角三角形，
∴CD⊥AB；
（2）解：设AC＝x千米，则AD＝（x﹣2.5）千米．
∵CD⊥AB，∠ADC＝90°，
∴，即，
解得：x＝8.45．
答：原来的路线AC的长为8.45千米．