人教版数学八年级下册第十七章勾股定理 单元综合练习（含解析）

第十七章 勾股定理 单元综合练习
一、单选题
1．一个圆桶底面直径为24cm，高32cm，则桶内所能容下的最长木棒为（　　）
A．20cm B．50cm C．40cm D．45cm
2．下面几组数：①7，8，9；②12，9，15；③m2＋n2，m2－n2，2mn(m，n均为正整数，m>n)；④a2，a2＋1，a2＋2.其中能组成直角三角形的三边长的是( )
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
3．下列各组数：①3、4、5 ②4、5、6 ③2.5、6、6.5 ④8、15、17，其中是勾股数的有( )
A．4组 B．3组 C．2组 D．1组
4．如图，中，，将沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为（ ）
A． B．2 C． D．
5．如图，在中，按以下步骤作图：
①分别过点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点；
②作直线PQ交AB于点D；
③以点D为圆心，AD长为半径画弧交PQ于点M、连接AM、BM．
若，则AM的长为（ ）
A．4 B．2 C． D．
6．满足下列条件的不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．，，
7．某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形土地时，在BC上有一处古建筑D，使得BC的长不能直接测出，工作人员测得AB＝130米，AD＝120米，BD＝50米，在测出AC＝150米后，测量工具坏了，使得DC的长无法测出，请你想办法求出BC的长度为（　　）
A．90米 B．120米 C．140米 D．150米
8．如图，将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处．若∠C＝45°，∠B＝30°，AD＝2，则AB2﹣AC2的值是（　　）
A．8 B．12 C．16 D．24
9．如图，和的顶点均在边长为1的小正方形网格格点上，则的度数为（　　）
A． B． C． D．无法计算
10．若的两边长，满足，则第三边的长是（ ）
A．5 B． C．5或7 D．5或
11．如图，中，，，，点D在上，将沿折叠，点A落在点处，与相交于点E，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
12．如图，中，，AD平分与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若的面积是24，，则PE的长是（ ）
A．2.5 B．2 C．3.5 D．3
13．我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点，如图所示，若正方形的面积为，，则的值是（　　）
A．3 B．3.5 C．4 D．7
14．如图甲，直角三角形的三边a，b，c，满足的关系．利用这个关系，探究下面的问题：如图乙，是腰长为1的等腰直角三角形，，延长至，使，以为底，在外侧作等腰直角三角形，再延长至，使，以为底，在外侧作等腰直角三角形，……，按此规律作等腰直角三角形（，n为正整数），则的长及的面积分别是（ ）
A．2， B．4， C．， D．2，
15．如图，矩形中，，，点为射线上的一个动点，将沿折叠得到，连接，当为直角三角形时，的长为（ ）
A．1或4 B．或9 C．1或9 D．或1
二、填空题
16．如图，在2×2的网格中，线段AB的端点均在网格线的交点上，若每个小正方形的边长均为1，则线段AB的长为_________________．
17．如图，在中，，点为上一点，连接，，，，则________．
18．如图，在直角坐标系中，以点为端点的四条射线，，，分别过点，点，点，点，则______（填“”“”“”中的一个）．
19．海面上有两个疑似漂浮目标．A舰艇以12海里/时的速度离开港口O，向北偏西方向航行；同时，B舰艇在同地以16海里/时的速度向北偏东一定角度的航向行驶，如图所示，离开港口5小时后两船相距100海里，则B舰艇的航行方向是______．
20．如图，在中，，，．点是上的点，且，点和点分别是边和边上的两点，连接．将沿折叠，使得点恰好落在上的点处，与交于点，则的长为__________．
三、解答题
21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内的一点，PA＝3，PB＝1，CD＝PC＝2，CD⊥PC．
(1)找出图中一对全等三角形，并证明；
(2)求∠BPC的度数．
22．如图，是的高，，，，求的长．
23．一架梯子长13米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙5米．
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了7米到C，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
24．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1.线段AB，AE分别是图中两个1×3的长方形的对角线，请你说明：AB⊥AE.
25．如图，在四边形中，．
(1)求的度数；
(2)求四边形的面积．
参考答案
1．C
【详解】解：如图，AC为圆桶底面直径，
∴AC＝24cm，CB＝32cm，
∴线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，
∴AB＝＝40cm．
故桶内所能容下的最长木棒的长度为40cm．
故选：C．
2．B
【详解】①∵72+82=113≠92=81，∴不能构成直角三角形；
②∵122+92=152=225，∴能构成直角三角形；
③∵(m2－n2)2+(2mn)2=( m2＋n2)2=m4+n4+2n2m2
∴能构成直角三角形；
④∵(a2)2+( a2＋1)2=2a4+2a2+1≠(a2＋2)2，∴不能构成直角三角形；
故选B
3．C
【详解】解：∵32+42=52，①符合勾股数的定义；
∵42+52≠62，②不符合勾股数的定义；
∵2.5和6.5不是正整数，③不符合勾股数的定义；
∵82+152=172，④符合勾股数的定义，
是勾股数的有：①④，共2组，
故选：C．
4．D
【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB==10，
∵△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，
∴AE=BE，AD=BD=AB=5，
设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，
在Rt△BCE中
∵BE2=BC2+CE2，
∴x2=62+（8-x）2，解得x=，
∴CE==，
故选：D．
．
5．B
【详解】解：由作图可得垂直平分，
则是等腰直角三角形
∴由勾股定理得：
故选：B．
6．A
【详解】解：A. ，，
，
不是直角三角形，故A符合题意；
B. ，
，
是直角三角形，故B不符合题意；
C. ，
，
，
，
是直角三角形，故C不符合题意；
D. ，，，
，
，
是直角三角形，故D不符合题意；
故选：A．
7．C
【详解】解：如图，在，，
，
，即，
在中，AC=150，，
∴BC=BD+DC=50+90=140
故选：C．
8．A
【详解】解：∵将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处，
∴∠ADC=∠ADE=90°，
∵∠C=45°，AD=2，
∴AC=AD=，
∵∠B=30°，
∴AB=2AD=2×2=4，
∴AB2-AC2=42-（）2=8，
故选：A．
9．B
【详解】解：如图：
∵，，，
又∵，
∴，
∴是直角三角形，，
又∵，
∴是直角直角三角形，
∴，
∴，
故选：B．
10．D
【详解】解：∵
又∵,
∴
∴
设第三边长为x，由则共有以下两种情况：
①当时，
②当时，由所以，
∴第三边长是5或；
故选：D．
11．C
【详解】∵中，，，，
∴，
∵，，
∴当最小时，最大，
当时最小，
而，
∴的最小值为，
∴的最大值为．
故选：C．
12．A
【详解】解：如图，连接DE，取AD的中点G，连接EG，
∵AB=AC，AD平分与BC相交于点D，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴S△ABD==12，
∵E是AB的中点，
∴S△AED==6，
∵G是AD的中点，
∴S△EGD==3，
∵E是AB的中点，G是AD的中点，
∴EGBC，EG=BD=CD，
∴∠EGP=∠FDP=90°，
∵F是CD的中点，
∴DF=CD，
∴EG=DF，
∵∠EPG=∠FPD，
∴△EGP≌△FDP（AAS），
∴GP=PD=1.5，
∴GD=3，
∵S△EGD==3，即，
∴EG=2，
在Rt△EGP中，由勾股定理，得
PE==2.5，
故选：A．
13．B
【详解】∵正方形的面积为，
∴，
设，
∵，
∴，
中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
则的值是；
故选：B．
14．A
【详解】由题意可得：，，
∵为等腰直角三角形，且“直角三角形的三边a，b，c，满足的关系”，
∴根据题意可得：，
∴，
∴，
，
∴总结出，
∵，，，
∴归纳得出一般规律：，
∴，
故选：A．
15．C
【详解】解：分两种情况讨论：
①当E点在线段DC上时，如图所示：
∵△AD'E≌△ADE，
∴∠AD'E=∠D=90°，
∵∠AD'B=90°，
∴∠AD'B+∠AD'E=180°，
∴B、D'、E三点共线，
∵△ABE的面积=BE×AD'=AB×AD，AD'=AD，
∴BE=AB=5，
∵BD'==4，
∴DE=D'E=5-4=1；
②当E点在线段DC的延长线上，且ED″经过点B时，满足条件，如图所示：
∵∠ABD″+∠CBE=∠ABD″+∠BAD″=90°，
∴∠CBE=∠BAD″，
在△ABD″和△BEC中，
，
∴△ABD″≌△BEC（ASA），
∴BE=AB=5，
∵BD''==4，
∴DE=D″E=BD''+BE=4+5=9；
综上所知，DE的长为1或9，
故选C．
16．
【详解】根据题意，利用勾股定理有，
故答案为：．
17．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，即，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
即．
故答案为：
18．=
【详解】解：连接DE，如图
∵点，点，点，点，点，
由勾股定理与网格问题，则
，，
∴△ABC是等腰直角三角形；
∵，，
∴，
∴，
∴△ADE是等腰直角三角形；
∴；
故答案为：=．
19．北偏东
【详解】由题意得，（海里），（海里），
又∵海里，
∵，
即
∴，
∵，
∴，
则B舰艇的航行方向是北偏东，
故答案为：北偏东．
20．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，
，
∵沿折叠，使得点恰好落在上的点处，
∴，，，
设，则，
在中，
∵，
∴，
解得：，
∴，
在中，
．
故答案为：
21．(1)△APC≌△BDC，理由见解析；(2) ∠BPC＝135°.
【详解】(1)△APC≌△BDC，理由如下：
∵∠ACB＝90°，CD⊥CP，∴∠ACB＝∠PCD，
∴∠ACB－∠PCB＝∠PCD－∠PCB，
即∠ACP＝∠BCD，
又∵AC＝BC，PC＝DC，∴△APC≌△BDC(SAS)．
(2)∵△APC≌△BDC，∴AP＝BD，
∵PC＝CD＝2，∠PCD＝90°，
∴PD2＝PC2＋CD2＝8，∠CPD＝45°.
∵PA＝3，PB＝1，∴BD＝3，∴BD2＝9，PB2＝1.
∴BD2＝PB2＋PD2，∴∠BPD＝90°.
∴∠BPC＝∠BPD＋∠CPD＝135°.
22．
【详解】解：∵是的高，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
23．（1）12米；（2）7米
【详解】解：（1）由题意得，AB=CD=13米，OB=5米，
在Rt，由勾股定理得：
AO2=AB2-OB2=132-52=169-25=144，
解得AO=12米，
答：这个梯子的顶端距地面有12米高；
（2）由题意得，AC=7米，
由（1）得AO=12米，
∴CO=AO-AC=12-7=5米，
在Rt，由勾股定理得：
OD2=CD2-CO2=132-52=169-25=144，
解得OD=12米
∴BD=OD-OB=12-5=7米，
答：梯子的底端在水平方向滑动了7米．
24．△ABE是直角三角形，且∠BAE=90°，即AB⊥AE
【详解】如图，连接BE.因为AE2=12＋32=10，AB2=12＋32=10，BE2=22＋42=20，所以AE2＋AB2=BE2，所以△ABE是直角三角形，且∠BAE=90°，即AB⊥AE.
25．(1)
(2)
【详解】（1）连接AC，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴．
（2）在中，，
在中，．
∴．