第六章 平行四边形单元测试题（含解析）

八年级数学下册平行四边形
一、单选题
1．下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．下列∠A：∠B：∠C：∠D的值中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．1：2：3：4 B．1：4：2：3
C．1：2：2：1 D．3：2：3：2
3．下列说法正确的是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形 B．平行四边形的邻边相等
C．平行四边形的对角线互相垂直 D．平行四边形的对角线互相平分
4．已知一个多边形的内角和与外角和的和为2160°，这个多边形的边数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
5．如图， ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为（　　）
A．15 B．18 C．21 D．24
6．一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1，则这个正多边形是（　　）
A．正方形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十边形
7．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）
∠A＝∠1＋∠2 B．2∠A＝∠1＋∠2
C．3∠A＝2∠1＋∠2 D．3∠A＝2（∠1＋∠2）
8．如图，P是面积为S的内任意一点，的面积为，的面积为，则（ ）
A． B．
C． D．的大小与P点位置有关
9．如图，小明从A点出发，沿直线前进10米后向左转36°，再沿直线前进10米，再向左转36°……照这样走下去，他第一次回到出发点A点时，一共走的路程是（　　）
A．100米 B．110米 C．120米 D．200米
10．如图，△ABC是等边三角形，P是三角形内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为24，则PD+PE+PF＝（　　）
A．8 B．9
C．12 D．15
11．有下列说法：
①平行四边形具有四边形的所有性质：
②平行四边形是中心对称图形：
③平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形；
④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形．
其中正确说法的序号是（ ）．
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
12．如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=7，则MN的长度为（　　）
A． B．2 C． D．3
二、填空题
13．一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，这个多边形是_____边形．
14．一个多边形外角和是内角和的，则这个多边形的边数为________．
15．一个多边形的每一个外角都等于36°，则这个多边形的边数为____________．
16．一个多边形，除了一个内角外，其余各角的和为，则内角和是______．
17．如图， ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，BE平分∠ABC交AD于E点，CF平分∠BCD交AD于F点，则EF的长为_____ cm．
18．如图，将等边三角形、正方形和正五边形按如图所示的位置摆放．，则＝___．
19．如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF=___厘米．
20．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝18°，则∠PFE的度数是__________．
21．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF＝45°，且，则平行四边形ABCD的周长等于______．
三、解答题
22．在ABCD，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF.
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB.
23．在中，点D，F分别为边AC，AB的中点．延长DF到点E，使，连接BE．
(1)求证：；
(2)求证：四边形BCDE是平行四边形．
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF＝BC．连结CD、EF，那么CD与EF相等吗？请证明你的结论．
25．已知：如图A、C是 DEBF的对角线EF所在直线上的两点，且AE＝CF．求证：四边形ABCD是平行四边形．
26．如图所示，点E，F，G，H分别是四边形的边的中点，求证：四边形是平行四边形．
27．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于О点，于E点，于F．
(1)求证：四边形DEBF为平行四边形；
(2)若，，，求的面积．
28．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AD＝1，BC＝3，点E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线交于点F．
(1)求证：四边形BDFC是平行四边形；
(2)若BC＝BD，求BF的长．
29．如图，点、、、在同一条直线上，，，．
求证：（1）；
（2）四边形是平行四边形．
30．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE，已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF
（1）试说明AC=EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．
31．如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC中点，过点C作CEAB交DF的延长线于点E，连接AE，CD．
(1)求证：四边形ADCE是平行四边形；
(2)若∠B＝30°，∠CAB＝45°， ，求AB的长．
32．如图，在四边形中，，；，，垂足分别为，．
（1）求证：≌；
（2）若与交于点，求证：．
33．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF．
（1）求证：AEF≌DEC；
（2）求证：四边形ACDF是平行四边形．
34．如图，在□ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，EF过点O且垂直于AD．
(1)求证：OE＝OF；
(2)若S ABCD＝63，OE＝3.5，求AD的长．
35．如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，OA=OB，E、F分别是OC，OD中点．
(1)求证：OD=OC．
(2) 求证：四边形AFBE平行四边形．
36．已知：如图，在中，中线交于点分别是的中点．
求证：（1）；
（2）和互相平分．
37．如图， ABCD中，BD⊥AD，∠A＝45°，E、F分别是AB，CD上的点，且BE＝DF，连接EF交BD于O．
(1)求证：BO＝DO；
(2)若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG＝1时，求AD的长．
38．如图，点D是ABC内一点，点E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点．
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；
(2)如果∠BDC＝90°，∠DBC＝30°，，AD＝6，求四边形EFGH的周长．
39．在四边形ABCD中，已知AD∥BC，∠B＝∠D，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AF＝2AE，BC＝6，求CD的长．
40．如图，在四边形中，．动点P从点B出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段上以每秒的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒）．
（1）当时，若四边形是平行四边形，求出满足要求的t的值；
（2）当时，若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为，求相应的t的值；
（3）当时，若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为，求相应的t的值．
41．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB：y＝x＋4交x轴于点A，交y轴于点B．直线CD：y＝-x-1与直线AB相交于点M，交x轴于点C，交y轴于点D．
（1）直接写出点B和点D的坐标；
（2）若点P是射线MD的一个动点，设点P的横坐标是x，△PBM的面积是S，求S与x之间的函数关系；
（3）当S＝20时，平面直角坐标系内是否存在点E，使以点B，E，P，M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P坐标并求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．
42．在中，，点在边所在的直线上，过点作交直线于点，交直线于点．
（1）当点在边上时，如图①，求证：．
（2）当点在边的延长线上时，如图②，线段，，之间的数量关系是_____，为什么？
（3）当点在边的反向延长线上时，如图③，线段，，之间的数量关系是____（不需要证明）．
43．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x＋与y＝x相交于点A，与x轴交于点B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在一点C，使得以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，试求出所有符合条件的点C的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）在直线OA上，是否存在一点D，使得△DOB是等腰三角形？如果存在，试求出所有符合条件的点D的坐标，如果不存在，请说明理由．
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参考答案：
1．C
【分析】根据平行四边形的判断定理分别作出判断得出即可．
【详解】解：A．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项正确，不符合题意；
B．根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；故选项正确，不符合题意；
C．一组对边平行，另一组对边相等不能判断这个四边形是平行四边形，故选项错误，符合题意；
D． 如图，
∵AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠A+∠B＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故选项正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定定理，准确无误的掌握定理是解题关键．
2．D
【分析】两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以∠A和∠C是对角，∠B和∠D是对角，对角的份数应相等．
【详解】解：根据平行四边形的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以只有D符合条件．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．
3．D
【分析】根据平行四边形的性质，逐一判断各个选项，即可得到答案．
【详解】解：A. 平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形，故该选项错误，
B. 平行四边形的邻边不一定相等，故该选项错误，
C. 平行四边形的对角线互相平分，故该选项错误，
D. 平行四边形的对角线互相平分，故该选项正确．
故选D．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，是解题的关键．
4．D
【分析】依题意，多边形的外角和为360°，该多边形的内角和与外角和的总和为2160°，故内角和为1800°．根据多边形的内角和公式易求解．
【详解】解：该多边形的外角和为360°，
故内角和为2160°-360°=1800°，
故（n-2） 180°=1800°，
解得n=12．
故选：D．
【点睛】本题考查的是多边形内角与外角的相关知识，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．
5．A
【分析】此题涉及的知识点是平行四边形的性质．根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，OB=OD，又因为E点是CD的中点，可得OE是△BCD的中位线，可得OE=BC，所以易求△DOE的周长．
【详解】解：∵ ABCD的周长为36，
∴2（BC+CD）=36，则BC+CD=18．
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD=12，
∴OD=OB=BD=6．
又∵点E是CD的中点，DE=CD，
∴OE是△BCD的中位线，∴OE=BC，
∴△DOE的周长=OD+OE+DE=BD+（BC+CD）=6+9=15，
即△DOE的周长为15．
故选A
【点睛】此题重点考查学生对于平行四边形的性质的理解，三角形的中位线，平行四边形的对角对边性质是解题的关键．
6．C
【分析】设这个外角是x°，则内角是3x°，根据内角与它相邻的外角互补列出方程求出外角的度数，根据多边形的外角和是360°即可求解．
【详解】解：∵一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1，
∴设这个外角是x°，则内角是3x°，
根据题意得：x+3x＝180°，
解得：x＝45°，
360°÷45°＝8（边），
故选：C．
【点睛】本题考查了多边形的内角和外角，根据内角与它相邻的外角互补列出方程是解题的关键．
7．B
【分析】在△ABC、四边形BCDE和△A′DE中，分别根据内角和列式，三式联立再结合折叠的性质可得2∠A′＝∠1＋∠2，则知结果．
【详解】解：如图，连接DE，
在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠A′＋∠B＋∠C＝180°①．
在△A′DE中∠A′＋∠A′DE＋∠A′ED＝180°②；
在四边形BCDE中∠B＋∠C＋∠1＋∠2＋∠A′DE＋∠A′ED＝360°③；
①＋②﹣③得2∠A′＝∠1＋∠2，
即2∠A＝∠1＋∠2．
故选B．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，多边形内角和，折叠问题的性质，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键．
8．C
【分析】过点P作AD的垂线PF，交AD于F，再延长FP交BC于点E，表示出S1+ S2，得到即可．
【详解】解：如图，过点P作AD的垂线PF，交AD于F，再延长FP交BC于点E，
根据平行四边形的性质可知PE⊥BC，AD=BC，
∴S1=AD×PF，S2=BC×PE，
∴S1+ S2
=AD×PF+BC×PE
=AD×（PE+PE）
=AD×EF
=S，
故选C．
【点睛】本题考查了三角形的面积和平行四边形的性质，解题的关键是作出平行四边形过点P的高．
9．A
【分析】根据多边形的外角和即可求出答案．
【详解】解：∵360÷36=10，
∴他需要走10次才会回到原来的起点，即一共走了10×10=100米．
故选A.
【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360 ．
10．A
【分析】过点P作平行四边形PGBD，EPHC，进而利用平行四边形的性质及等边三角形的性质即可．
【详解】解：延长EP、FP分别交AB、BC于G、H，
由PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，可得，
四边形PGBD，EPHC是平行四边形，
∴PG＝BD，PE＝HC，
∵△ABC是等边三角形，PF∥AC，PD∥AB，
∴△PFG，△PDH是等边三角形，
∴PF＝PG＝BD，PD＝DH，
又∵△ABC的周长为24，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定及性质以及等边三角形的判定及性质，根据等边三角形的性质作辅助线构造平行四边形是解题的关键．
11．D
【分析】根据平行四边形的性质、中心对称图形的定义和全等三角形的判定进行逐一判定即可．
【详解】解：∵平行四边形是四边形的一种，
∴平行四边形具有四边形的所有性质，故①正确：
∵平行四边形绕其对角线的交点旋转180度能够与自身重合，
∴平行四边形是中心对称图形，故②正确：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，CD=AB，∠ADC=∠CBA
∴△ADC≌△CBA（SAS）
同理可以证明△ABD≌△CDB
∴平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形，故③正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OD=OB，
∴，，，
∴，
∴平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形，故④正确．
故选D．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，平行四边形的性质，全等三角形的判定，三角形中线把面积分成相同的两部分等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
12．C
【分析】证明△BNA≌△BNE，得到BA=BE，即△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE，
∴∠NBA=∠NBE，∠BNA=∠BNE，
在△BNA和△BNE中，
，
∴△BNA≌△BNE，
∴BA=BE，
∴△BAE是等腰三角形，
同理△CAD是等腰三角形，
∴点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一），
∴MN是△ADE的中位线，
∵BE+CD=AB+AC=19-BC=19-7=12，
∴DE=BE+CD-BC=5，
∴MN=DE=．
故选C．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
13．十
【分析】设多边形的边数为n，根据题意列方程求出n的值即可．
【详解】设多边形的边数为n，根据题意列方程得
(n-2)·180 =4×360
解得n=10
∴这个多边形是十边形．
故答案为：十
【点睛】本题考查了多边形的内角和定理和外角和定理，n边形(n≥3)的内角和等于(n-2)·180 ，n边形的外角和等于360 ．熟练掌握这两个定理是解题的关键．
14．11
【分析】多边形的内角和定理为，多边形的外角和为360°，根据题意列出方程求出n的值．
【详解】解：根据题意可得：，
解得： ，
故答案为：11．
【点睛】本题主要考查的是多边形的内角和公式以及外角和定理，属于基础题型．记忆理解并应用这两个公式是解题的关键．
15．10
【分析】根据任意多边形的外交和等于360°，多边形的每一个外角都等于36°，多边形边数=360÷外角度数，代入数值计算即可．
【详解】解：∵多边形的每一个外角都等于36°，
∴这个多边形的边数=360÷36=10．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了多边形的外角和和多边形的边数，解答的关键是掌握多边形的外角和等于360°．
16．
【分析】设这个多边形是n边形，剩余的内角度数为x，根据题意得
变形 为，由n是正整数，求出x的值即可得到答案．
【详解】设这个多边形是n边形，剩余的内角度数为x，由题意得
∴，
∵n是正整数，，
∴x=，
∴这个多边形的内角和为，
故答案为：．
【点睛】此题考查多边形的内角和公式，多边形内角大于0度小于180度的性质，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．
17．1
【分析】根据角平分线的概念、平行线的性质及等腰三角形的性质，可分别推出AE=AB，DF=DC，进而推出EF=AE+DF-AD．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠AEB＝∠EBC，AD＝BC＝5cm，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
则∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE＝3cm，
同理可证：DF＝DC＝AB＝3cm，
则EF＝AE+FD﹣AD＝3+3﹣5＝1cm．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，关键是运用角平分线的概念和平行线的性质，由等角推出等边．
18．##42度
【分析】利用多边形的外角和定理，即减去等边三角形的一个内角的度数，减去正五边形的一个内角的度数，减去正方形的一个内角的度数，再减去和的度数，最后得出答案．
【详解】等边三角形的内角的度数是，正方形的内角的度数为，正五边形的内角的度数是，
则．
故答案为：
【点睛】此题考查了多边形外角和定理，正多边形内角和公式，熟练掌握相关知识及正确运算是解题关键．
19．3
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD．
又∵AC+BD=24厘米，
∴OA+OB=12厘米．
∵△OAB的周长是18厘米，
∴AB=6厘米．
∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，
∴EF是△OAB的中位线．
∴EF=AB=3厘米．
故答案为：3
20．18．
【详解】试题分析：根据中位线定理和已知，易证明△EPF是等腰三角形．∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PF=BC，PE=AD，∵AD=BC，∴PF=PE，故△EPF是等腰三角形．∵∠PEF=18°，∴∠PEF=∠PFE=18°．故答案为18．
考点：三角形中位线定理．
21．12
【分析】求平行四边形的周长就要先求出AB、AD的长，利用平行四边形的性质和勾股定理即可求出．
【详解】解：∵∠EAF＝45°，
∴∠C＝360°－∠AEC－∠AFC－∠EAF＝135°，
∴∠B＝∠D＝180°－∠C＝45°，
∴AE＝BE，AF＝DF，
设AE＝x，则，
在Rt△ABE中，根据勾股定理可得，，
同理可得，
∴平行四边形ABCD的周长是．
故答案为：12．
【点睛】利用平行四边形的性质结合等角对等边、勾股定理来解决有关的计算和证明，这类试题的处理要注意分析其中的性质定理．
22．（1）见解析（2）见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定，即可证明；
（2）根据平行线的性质，可得∠DFA=∠FAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF=∠DFA，根据角平分线的判定，即可证明．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
∵BE∥DF，BE=DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴四边形BFDE是矩形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠DFA=∠FAB．
在Rt△BCF中，由勾股定理，得
BC===5，
∴AD=BC=DF=5，
∴∠DAF=∠DFA，
∴∠DAF=∠FAB，
即AF平分∠DAB．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF=∠DFA是解题关键．
23．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用SAS直接证明；
（2）利用和已知条件证明，即可推出四边形BCDE是平行四边形．
【详解】（1）证明：∵点F为边AB的中点，
∴，
在与中，
，
∴；
（2）证明：∵点D为边AC的中点，
∴，
由（1）得，
∴，，
∴，，
∴四边形BCDE是平行四边形．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定方法，难度较小，根据所给条件正确选用平行四边形的判定方法是解题的关键．
24．CD=EF，理由见解析．
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC且DEBC，然后证得四边形DEFC是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可说明．
【详解】解：结论：CD=EF．理由如下：
∵D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DEBC．
∵CFBC，
∴DE=CF，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴CD=EF．
【点睛】本题主要考查了三角形的中位线和平行四边形的判定与性质，掌握三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半成为解答本题的关键．
25．证明见解析
【分析】根据平行四边形和平行线的性质，推导得，；根据全等三角形的判定和性质，证明、，得、，即可完成证明．
【详解】证明：∵平行四边形DEBF，
∴，，
∴，，
∵，，，，
∴，，
∵平行四边形DEBF，
∴，，
在和中，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形、平行线、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握平行四边形、全等三角形的判定和性质，从而完成求解．
26．见解析
【分析】连接BD，利用三角形的中位线定理证明得出，从而得到四边形是平行四边形
【详解】解：如图，连接．
∵点E，H分别是线段的中点，
∴是的中位线，
∴EH∥BD，．
同理，．
∴，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】此题主要考查了三角形中位线定理和平行四边形的判定方法，题目比较典型，又有综合性，难度不大，解题的关键是正确的添加辅助线，把四边形的问题转化为三角形的问题．
27．(1)证明见解析
(2)33
【分析】（1）先根据平行线的判定可得，再根据平行四边形的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，最后根据平行四边形的判定即可得证；
（2）先根据平行四边形的性质可得，再根据勾股定理可得，从而可得，结合可得，然后根据线段的和差、勾股定理可得，最后根据直角三角形的面积公式即可得．
【详解】（1）证明：，
，
四边形是平行四边形，
，
，
在和中，，
，
，
又，
四边形为平行四边形；
（2）解：四边形是平行四边形，，
，
，
，即，
，即，
①，
又②，
联立①、②得：，
，
则的面积为．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．
28．(1)见解析
(2)2
【分析】（1）根据同旁内角互补，两直线平行得出∥，从而得出，再证明，得出，从而证明四边形是平行四边形；
（2）根据平行四边形的性质得出的长，从而得出的长，再用勾股定理先求出的长，再求出的长．
（1）
证明：∵，
∴，
∴∥，
∴，
∵E是边CD的中点，
∴CE＝DE，
在△BEC与△FED中，
∴△BEC≌△FED（AAS），
∴，
∴四边形BDFC是平行四边形；
（2）
解：∵BD＝BC＝3，∠A＝90°，，
∴
∵四边形是平行四边形
∴
∴
∴
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，平行四边形的判定，以及勾股定理的运用，熟练掌握全等三角形的判定，平行四边形的判定，以及勾股定理的运用是解答此题的关键．
29．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）已知，可得到，由得到，可证明出；
（2）由（1）得，得到，，，推出，即可证明．
【详解】证明：（1），
，
即，
，
，
在与中，
，
；
（2）由（1）得：，
，，
，
，
四边形是平行四边形．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定，属于基础题，熟练掌握全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定是解题关键．
30．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）在Rt△ABC中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，由△ABE是等边三角形，EF⊥AB，可得到AE=2AF，并且AB=2AF，从而可证明△AFE≌△BCA，再根据全等三角形的性质即可证明AC=EF．
（2）根据（1）知道EF=AC，而△ACD是等边三角形，所以EF=AC=AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF//AD，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE是平行四边形．
【详解】证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴AB=2BC．
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴AB=2AF．
∴AF=BC．
∵在Rt△AFE和Rt△BCA中，AF=BC，AE=BA，
∴△AFE≌△BCA（HL）．
∴AC=EF．
（2）∵△ACD是等边三角形，
∴∠DAC=60°，AC=AD．
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°．
∴EF//AD．
∵AC=EF，AC=AD，
∴EF=AD．
∴四边形ADFE是平行四边形．
31．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠CAD＝∠ACE，∠ADE＝∠CED．根据全等三角形的性质得到AD＝CE，于是得到四边形ADCE是平行四边形；
（2）过点C作CG⊥AB于点G．根据勾股定理得到CG＝AG＝，由∠B＝30°得到．在Rt△BCG中，利用勾股定理得到，即可得到结论．
（1）
证明：∵ABCE，
∴∠CAD＝∠ACE，∠ADE＝∠CED．
∵F是AC中点，
∴AF＝CF．
在△AFD与△CFE中，
，
∴△AFD≌△CFE（AAS），
∴DF＝EF，
∴四边形ADCE是平行四边形；
（2）
解：过点C作CG⊥AB于点G，
∵∠CAB＝45°，
∴，
在△ACG中，∠AGC＝90°，
∴，
∵，
∴CG＝AG＝ ，
∵∠B＝30°,
∴ ,
∴ ,
在Rt△BCG中， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
32．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）由题意易得，然后由，可求证；
（2）由（1）可得，，则有，进而可得，然后问题可求证．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵，，
∴≌．
（2）由（1）≌，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴
∴．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
33．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB//CD，根据平行线的性质可得就爱∠FAE=∠CDE，利用ASA即可证明△AEF≌△DEC；
（2）根据全等三角形的性质可得AF=DC，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得结论．
【详解】（1）∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠FAE＝∠CDE，
∵点E是边AD的中点，
∴AE＝DE，
在△AEF和△DEC中，
∴△AEF≌△DEC（ASA）．
（2）∵△AEF≌△DEC，
∴AF＝DC，
∵AF∥DC，
∴四边形ACDF是平行四边形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，平行四边形的对边互相平行；有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；熟练掌握相关性质与判定定理是解题关键．
34．(1)证明见解析
(2)9
【分析】（1）先由平行四边形的性质得到AO=CO，AD∥BC，则∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC，即可证明△AOE≌△COF得到OE=OF；
（2）由（1）得OE=OF=3.5，得到EF=7，再由AD∥BC，EF⊥AD，得到EF的长即为平行四边形ABCD中AD边上的高，即可利用平行四边形面积公式求解．
(1)
解：∵四边形ABCD是平行四边形，O是AC与BD的交点，
∴AO=CO，AD∥BC，
∴∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF；
(2)
解：由（1）得OE=OF=3.5，
∴EF=7，
∵AD∥BC，EF⊥AD，
∴EF的长即为平行四边形ABCD中AD边上的高，
∵四边形ABCD的面积为63，
∴，
∴AD=9．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．
35．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠CAO=∠DBO，再由ASA证明△AOC≌△BOD即可得到结论；
（2）根据（1）的结论及中点可证得OE=OF，再由平行四边形的判定定理即可证明结论．
【详解】证明：（1）∵AC∥DB，
∴∠CAO=∠DBO，
∵∠AOC=∠BOD，OA=OB，
∴△AOC≌△BOD，
∴OC=OD；
（2）∵E是OC中点，F是OD中点，
∴OE=OC，OF=OD，
∵OC=OD，
∴OE=OF，
又∵OA=OB，
∴四边形AFBE是平行四边形．
【点睛】本题考查了全等三角形及平行四边形的证明，熟练掌握判定定理是解题的关键．
36．（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）利用三角形中位线定理即可得出FG=DE，且FG∥DE；
（2）由（1）的条件可以得出四边形DEFG为平行四边形，根据平行四边形的性质可以得出对角线和互相平分．
【详解】（1）在△ABC中，
∵BE、CD为中线
∴AD=BD，AE=CE，
∴DE∥BC且DE=BC．
在△OBC中，
∵OF=FB，OG=GC，
∴FG∥BC且FG=BC．
∴DE∥FG
（2）由（1）知：
DE∥FG，DE=FG．
∴四边形DFGE为平行四边形．
∴和互相平分
【点睛】此题主要考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定和性质，正确利用三角形中位线定理是解题关键．
37．(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】（1）通过证明与全等即可证明；
（2）由是等腰直角三角形得出.由得，所以与都是等腰直角三角形，从而求得、的长，然后由（1）中与全等得出，进而求得的长，的长即可求得．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，
在与中
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由（1），
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形得判定和性质及平行线的性质，熟练运用各定理是解决本题的关键．
38．(1)见解析
(2)10
【分析】（1）利用三角形的中位线定理得出EH＝FG＝AD，EF＝GH＝BC，即可得出结论；
（2）根据含30度角的直角三角形的性质，求得，由（1）得出四边形EFGH的周长＝EH+GH+FG+EF＝AD+BC，即可得出结果．
（1）
证明：∵点E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点．
∴EH＝FG＝AD，BC，
∴四边形EFGH是平行四边形；
（2）
∵∠BDC＝90°，∠DBC＝30°，
∴BC＝2CD＝4．
由（1）得：四边形EFGH的周长＝EH+GH+FG+EF＝AD+BC，
又∵AD＝6，
∴四边形EFGH的周长＝AD+BC＝6+4＝10．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形的中位线定理，含30度角的直角三角形的性质，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．
39．（1）见解析；（2）3
【分析】（1）根据两组对边分别平行证明该四边形为平行四边形．
（2）利用等面积法求出CD长．
【详解】（1）
证明：∵AD//BC，
∴∠BAD+∠B＝180°，
∵∠B＝∠D，
∴∠BAD+∠D＝180°，
∴AB//CD，
又∵AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∴平行四边形的面积＝BC×AE＝CD×AF，
∵AF＝2AE，
∴BC＝2CD＝6，
∴CD＝3．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和等面积法的使用，掌握这两点是解题关键．
40．（1）t=5；（2）t=9；（3）t=15
【分析】（1）由平行四边形的性质得出DQ=CP，当0＜t＜10.5时，P、Q分别沿AD、BC运动，由题意得出方程，解方程即可；
（2）当0＜t＜10.5时，P、Q分别沿AD、BC运动，由梯形面积公式得出方程，解方程即可；
（3）当10.5≤t＜16时，点P到达C点返回，由梯形面积公式得出方程，解方程即可．
【详解】解：（1）∵四边形PQDC是平行四边形，
∴DQ=CP，
当0＜t＜10.5时，P、Q分别沿AD、BC运动，如图1所示：
∵DQ=AD-AQ=16-t，
CP=21-2t
∴16-t=21-2t
解得：t=5；
即当t=5秒时，四边形PQDC是平行四边形；
（2）当0＜t＜10.5时，P、Q分别沿AD、BC运动，如图1所示：
CP=21-2t，DQ=16-t，
若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为60cm2，
则（DQ+CP）×AB=60，
即（16-t+21-2t）×12=60，
解得：t=9；
即当0＜t＜10.5时，若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为60cm2，t的值为9秒；
（3）当10.5≤t＜16时，如图2所示，点P到达C点返回，CP=2t-21，DQ=16-t，
则同（2）得：（DQ+CP）×AB=60，
即（16-t+2t-21）×12=60，
解得：t=15．
即当10.5≤t＜16时，若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为60cm2，t的值为15秒．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定与性质、梯形的面积等知识，熟练掌握直角梯形的性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
41．（1）B（0，4），D（0，-1）；（2）S＝＋x（x>-5）；（3）存在，P点为（3，-2）；E（8，）或（-8，）或（-2，）
【分析】（1）利用y轴上的点的坐标特征即可得出结论；
（2）先求出点M的坐标，再用三角形的面积之和即可得出结论；
（3）分三种情况利用对角线互相平分的四边形是平行四边形和线段的中点坐标的确定方法即可得出结论．
【详解】解：（1）∵点B是直线AB：y=x+4与y轴的交点坐标，
∴B（0，4），
∵点D是直线CD：y=-x-1与y轴的交点坐标，
∴D（0，-1）；
（2）如图1，
∵直线AB与CD相交于M，
∴
①-②可得：x+5=0，
∴x=-5，
把x=-5代入②可得：y=，
∴M坐标为（-5，），
∵B（0，4），D（0，-1），
∴BD=5，
∵点P在射线MD上，
当P在MD的延长线上时，x≥0，
S=S△BDM+S△BDP=×5（5+x）= ，
当P在线段MD上时，-5＜x＜0，
S=S△BDM-S△BDP=×5（5+x）=，
∴S=（ x＞-5）
（3）如图，
由（2）知，S=，
当S=20时，=20，
∴x=3，
∴P（3，-2），
①当BP是对角线时，取BP的中点G，连接MG并延长取一点E'使GE'=GM，
设E'（m，n），
∵B（0，4），P（3，-2），
∴BP的中点坐标为（，1），
∵M（-5， ），
∴，
∴m=8，n=，
∴E'（8，），
②当AB为对角线时，同①的方法得，E（-8，），
③当MP为对角线时，同①的方法得，E''（-2，-），
即：满足条件的点E的坐标为（8，）、（-8， ）、（-2，-）．
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了三角形的面积的计算方法，平行四边形的性质，解（2）掌握三角形的面积的计算方法，解（3）的关键是分类讨论的思想解决问题．
42．）（1）见解析；（2），见解析；（3）
【分析】（1）证明四边形AFDE是平行四边形，且△DEC和△BDF是等腰三角形即可证得；
（2）结论：当点D在边BC的延长线上时，在图②中，，证明方法类似（1）；
（3）结论：当点D在边BC的反向延长线上时，在图③中，．证明方法类似（1）．
【详解】证明：（1）∵，．
∴四边形是平行四边形．
∴．
∵．
∴．
∵．
∴．
∴．
∴．
∴．
（2）．
理由：∵，，
∴四边形是平行四边形．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
（3）
理由：∵DF∥AC，DE∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴DF=AE，∠EDC=∠ABC，
又∵∠AB=AC，
∴∠ABC=∠C
∴∠EDC=∠C，
∴DE=EC，
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
43．（1）A（1，1），B（3，0）；（2）存在一点C，C（－2，1）或（4，1）或（2，－1）；（3）在直线OA上，存在一点D， D（－，－）或（，）或（3，3）或（，），使得△DOB是等腰三角形．
【分析】（1）直线y＝－x＋与y＝x联立方程组求解，即可求出点A坐标，把y=0代入直线y＝－x＋即可求出点B坐标；
（2）分AO为对角线、AB为对角线、OB为对角线三种情况讨论，即可求出点C坐标；
（3）分OB＝OD、OD＝OB、OB＝DB三种情况讨论，结合勾股定理即可求出点D坐标．
【详解】（1）∵直线y＝－x＋与y＝x相交于点A，
∴联立得，解得，
∴点A（1，1），
∵直线y＝－x＋与x轴交于点B，
∴令y＝0，得－x＋＝0，解得x＝3，
∴B（3，0），
（2）存在一点C，使得以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形．
①如图1，过点A作平行于x轴的直线，过点O作平行于AB的直线，两直线交于点C，
∵AC∥x轴，OC∥AB，
∴四边形CABO是平行四边形，
∵A（1，1），B（3，0），∴AC＝OB＝3，
∴C（－2，1），
②如图2，过点A作平行于x轴的直线，过点B作平行于AO的直线，两直线交于点C，
∵AC∥x轴，BC∥AO，
∴四边形CAOB是平行四边形，
∵A（1，1），B（3，0），
∴AC＝OB＝3，∴C（4，1），
③如图3，过点O作平行于AB的直线，过点B作平行于AO的直线，两直线交于点C，
∵OC∥AB，BC∥AO，
∴四边形CBAO是平行四边形，
∵A（1，1），B（3，0），
∴AO＝BC，OC＝AB，
作AE⊥OB，CF⊥OB，易得OE＝EF＝FB＝1，
∴C（2，－1），
（3）在直线OA上，存在一点D，使得△DOB是等腰三角形，
①如图4，当OB＝OD时，作DE⊥x轴，交x轴于点E
∵OB＝3，点D在OA上，∠DOE＝45°
∴DE＝OE＝，
∴D（－，－），
②如图5，当OD＝OB时，作DE⊥x轴，交x轴于点E
∵OB＝3，点D在OA上，∠DOE＝45°
∴DE＝OE＝，
∴D（，），
③如图6，当OB＝DB时，
∵∠AOB＝∠ODB＝45°，
∴DB⊥OB，
∵OB＝3，
∴D（3，3），
④如图7，当DO＝DB时，作DE⊥x轴，交x轴于点E
∵∠AOB＝∠OBD＝45°，
∴OD⊥DB，
∵OB＝3，
∴OE＝，AE＝，
∴D（，）．
综上所述，在直线OA上，存在点D（－，－），D（，），D（3，3）或D（，），使得△DOB是等腰三角形．
【点睛】本题为与几何有关一次函数的综合题，考查了一次函数与方程（组）的关系，确定平行四边形第四个顶点坐标，等腰三角形第三个顶点的坐标，勾股定理等知识，综合性强，理解一次函数与方程（组）的关系，能进行分类讨论是解题关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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