高二等差数列素质能力提高竞赛综合测试
第I卷（选择题）
一、单选题: 本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．两个等差数列和，其前项和分别为，，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知，根据等差数列的通项性质以及前项和公式，把转化为求解即可．
【详解】解：由等差数列的性质可得，．
故选：C．
2．正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些整数染成红色．先染1；再染3个偶数2，4，6；再染6后面最邻近的5个连续奇数7，9，11，13，15；再染15后面最邻近的7个连续偶数16，18，20，22，24，26，28；再染此后最邻近的9个连续奇数29，31，…，45；按此规则一直染下去，得到一红色子数列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16，……，则在这个红色子数列中，由1开始的第2021个数是（ ）
A．3991 B．3993 C．3994 D．3997
【答案】D
【分析】根据题意将染色的所有数字进行分组，找出每组数字的最后一个数与组数和该组数的数字个数的关系，找出第组最后一个数在红色子数列中所处的位数，即可求得结果.
【详解】根据染色规律可将染色的所有数字分组，规律如下：
第一组：1 共1个数；
第二组：2，4，6 共3个数；
第三组：7，9，11，16，15 共5个数；
第四组：16，18，20，22，24，26，28 共7个数；
第五组：29，31，33，35，37，39，41，43，45 共9个数；
……
由此规律可知，第组最后一个数是组数与该组的数字个数的乘积为，且该数在组成的红色子数列中是第个数，
易知，当时，即第45组最后一个数是与数字2021接近，
此时，红色子数列中第个数为，
所以再往前数4个计数即为第2021个数，该数为3997.
故选：D
3．已知两个等差数列2，6，10，…及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则数列的各项之和为（ ）
A．1666 B．1654 C．1472 D．1460
【答案】A
【分析】根据题意求出两个数列相同的项组成的数列，求出项数，然后求出它们的和即可.
【详解】有两个等差数列2，6，10，…及2，8，14，…，200，
由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列：
2，14，26，38，50，…，182，194，共有项，是公差为12的等差数列，
故新数列前17项的和为，
即数列的各项之和为1666.
故选：A.
4．设等差数列的前n项和为，首项，公差，若对任意的，总存在，使．则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据等差数列的前项和公式得到，令，化简得到，又因为，所以，得，再利用等差数列前项和公式得到，利用二次函数的性质即可得到答案.
【详解】由题意得
则得，即，
令得，即①，即得.
因为首项，公差，则得，即.
又因为，所以，代入①得.
当时，由得
即，所以
即
因此当或11时，的最小值为.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题主要考查等差数列前项和公式，根据题意化简得到，从而得到为解决本题的关键，属于中档题.
5．数列满足，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将递推式化为，从而得到是常列数，进而得到是等差数列，由此求得，据此解答即可.
【详解】因为，，
所以，即，则，故，
又，，所以，
所以是以首项为的常数列，则，
又，，所以是以首项为，公差为的等差数列，
故，则，
所以.
故选：A.
6．设等差数列满足：，公差.若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用公式对式子化简，再借助函数来处理.
【详解】由，
得，
由积化和差公式，得，
整理，得，
所以 ，因为公差，所以，
则.所以
，
设，其图像的对称轴方程为.
由题意，当且仅当时，数列的前项和取得最大值，
所以，解得.
则首项的取值范围是.故B，C，D错误.
故选：A.
7．数列满足，，则数列的前80项和为（ ）
A．1640 B．1680 C．2100 D．2120
【答案】A
【分析】利用周期性以及等差数列进行求解.
【详解】设，因为的周期为，
所以的周期为.
又，，所以当n为奇数时，，
所以当n为偶数时，.
又，所以，，
，于是得到，同理可求出
，…，
设，则数列是以6为首项，8为
公差的等差数列，所以数列的前80项和为数列的前20项和
.故B，C，D错误.
故选：A.
8．已知等差数列的前n项和为，且满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
【答案】C
【分析】根据题意构造函数，确定函数的奇偶性及单调性，进而根据的关系即可确定答案.
【详解】设函数，则为奇函数，且，所以在R上递减，由已知可得，，有，，所以，且，所以，且，所以， .
故选：C.
二、多选题: 本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．设等差数列的前n项和为Sn，公差为d．已知，S12＞0，，则（ ）
A． B．
C．Sn＜0时，n的最小值为14 D．数列中最小项为第7项
【答案】ABD
【分析】求得的正负情况判断选项A；求得公差的取值范围判断选项B；求得Sn＜0时，n的最小值判断选项C；求得数列中最小项判断选项D.
【详解】等差数列的前n项和为Sn，首项为，公差为d．
由S12＞0，可得 ，则
又，则，则选项A判断正确；
由， S12＞0，，可得，
解之得，则选项B判断正确；
由可得或（舍）
由，可得，
则Sn＜0时，n的最小值为13. 则选项C判断错误；
由时，，时，，
时，，时，，
可得时，，，，时，
二次函数开口向下，过原点，对称轴
则在时，单调递减，且
又时，为递减数列，为递增数列，为递减数列
则在时，数列为递增数列，则时取得最小值.
则数列中最小项为第7项，则选项D判断正确.
故选：ABD
10．已知等差数列中，当且仅当时，仅得最大值.记数列的前k项和为，（ ）
A．若，则当且仅当时，取得最大值
B．若，则当且仅当时，取得最大值
C．若，则当且仅当时，取得最大值
D．若，，则当或14时，取得最大值
【答案】BD
【分析】由等差数列前n项和有最大值，得数列为递减数列，分析的正负号，可得的最大值的取到情况.
【详解】由等差数列前n项和有最大值，所以数列为递减数列，
对于A，且时取最大值，设，
则，
当时，；时，；时，，
所以或14时，前k项和取最大值，A项错误；
对于B，当且仅当时取最大值，则时，，时，.
，则，，
，，
前14项和最大，B项正确；
对于C，，则，同理，，，
前13项和最大，C项错误；
对于D，，，得，由题等差数列在时，，时，，所以，，，所以或14时，前k项和取最大值，D项正确；
故选：BD.
11．已知两个等差数列和，其公差分别为和，其前项和分别为和，则下列说法正确的是（ ）
A．若为等差数列，则 B．若为等差数列，则
C．若为等差数列，则 D．若，则也为等差数列，且公差为
【答案】ABD
【分析】对于A，利用化简可得答案；
对于B，利用化简可得答案；
对于C，利用化简可得答案；
对于D，根据可得答案.
【详解】对于A，因为为等差数列，所以，
即，所以，
化简得，所以，故A正确；
对于B，因为为等差数列，所以，
所以，
所以，故B正确；
对于C，因为为等差数列，所以，
所以，
化简得，所以或，故C不正确；
对于D，因为，且，所以，
所以，
所以，
所以也为等差数列，且公差为，故D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：利用等差数列的定义以及等差中项求解是解题关键.
12．在数列中，已知是首项为1，公差为1的等差数列，是公差为的等差数列，其中，则下列说法正确的是（ ）
A．当时， B．若，则
C．若，则 D．当时，
【答案】ACD
【分析】利用等差数列的通项公式可判断A；利用已知条件结合等差数列的通项公式可判断B；利用等差数列的求和公式可判断C；利用等比数列求和公式可判断D.
【详解】对于A，当时，，可知数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以，故A正确；
对于B，由已知，是公差为的等差数列，则，
是公差为的等差数列，则，即，解得：或，故B错误；
对于C，，解得：，故C正确；
对于D，，故D正确；
故选：ACD
第II卷（非选择题）
三、填空题: 本题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．首项为正数的递减等差数列的前项和为，且对任意项序数，总存在正整数，满足，则的最小值为______．
【答案】
【分析】首先利用前项和公式，将条件变形为，并由条件可知，并且时，由，得，推理得到，计算求得，再代入，利用二次函数求最值.
【详解】由题意知，，，则，
当时，∴，
当时，，，，
又，，则，则，∴，
∴，∴，∴，
∴，∴或时取最小值为．
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键是得到后，利用和得到，再代回后，得到，后面的问题迎刃而解.
14．设是由正整数组成且项数为的增数列，已知，，数列任意相邻两项的差的绝对值不超过1，若对于中任意序数不同的两项和，在剩下的项中总存在序数不同的两项和，使得，则的最小值为___________.
【答案】
【分析】本题为数列的新定义题，由已知可推出，当时，或，根据，可推出数列前6项，结合题意，应有，，，…，，中间各项为公差为1的等差数列时，可使得值最小，同理推出数列后6项，即可得出最小值.
【详解】因为数列任意相邻两项的差的绝对值不超过1，，所以，
又是由正整数组成且项数为的增数列，所以或，
当时，，此时，
这与在剩下的项中总存在序数不同的两项和，使得矛盾，
所以，类似地，必有，，，，
由得前6项任意两项之和小于等于3时，均符合，
要最小，则每项尽可能小，且值要尽量小，
则，，
同理，，，…，，当中间各项为公差为1的等差数列时，可使得值最小，且满足已知条件.
由对称性得最后6项为，，
则的最小值.
【点睛】对于数列的新定义题，关键在于读懂题意.根据题意，可得出当时，或，根据已知，可推出数列的前6项以及后6项， 进而推得中间项和取的最小值应满足的条件.
15．等差数列满足，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】由题设可得，令则，可得，将问题转化为在上有解，利用二次函数性质求t范围即可.
【详解】由题设，，即，
当时，为常数列，显然有矛盾，故，
令，则，
所以，
令，则在上有解，
又开口向上且对称轴为，，
当，即时，，满足要求；
当时，，又，，满足要求；
综上，.
故答案为：
16．已知等差数列的前项和为，满足，则___________.
【答案】
【分析】先利用诱导公式将原式变形，然后构造函数并分析其奇偶性和单调性，根据的取值特点判断出之间的关系，然后利用等差数列的前项和公式以及等差数列下标和性质求解出结果.
【详解】因为，所以，
所以，
又因为，所以，
令，，
且的定义域为，所以为奇函数，
所以，且，
所以，
又因为，所以在上单调递增，
所以，所以，
所以，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过分析所给等式的特点，采用构造函数的思想，分析出的关系，其中奇偶性的证明、单调性的分析都值得注意，最后计算时注意借助等差数列的下标和性质进行解答.
四、解答题
17．已知数列满足，，．
(1)求的取值范围；
(2)记是在区间中的项的个数，求数列的前m项和．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据等差数列的定义可得，，进而即得；
（2）由题可知，进而，然后根据求和公式即得.
【详解】（1）因为，，即，
所以数列是首项为1，公差为3的等差数列，
所以，
同理可得，
所以；
（2）因为，设，则，
又，是连续六个正整数构成的集合，
则对于给定的m，数列恰有两项属于集合，即，
故．
18．在下面两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.①；②.已知为数列的前项和，满足，，______.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)
【分析】（1）选①，令可求得的值，由可得，两式作差可得为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列的等差数列；
选②，推导出数列是常数列，即可求得数列的通项公式；
（2）计算出，对任意的，计算出，可得出，利用等差数列的求和公式可求得.
【详解】（1）解：选①，当时，则有，即，解得；
对任意的，因为，则，
故，即，
因，，所以为定值，
故数列是首项，公差为的等差数列，
所以.
选②，因为，故，
所以，故数列是常数列，
所以，故.
（2）解：知，，故，
对任意的，，
所以，即为数列的前项和，
因为，故数列为等差数列，
所以.
19．给定数列.对于任意的，若恒成立,则称数列是互斥数列.
(1)若数列，判断是否是互斥数列，说明理由；
(2)若数列与都是由正整数组成的且公差不为零的等差数列，若与不是互斥数列，求证:存在无穷多组正整教对，使成立；
(3)若(是正整数)， 试确定满足的条件，使是互斥数列.
【答案】(1)是互斥数列，理由见解析
(2)证明见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）根据互斥数列的概念判断即可；
（2）由题知存在，使得，设的公差分别为，进而得都为正整数，取，证明即可证明结论；
（3）由题知除以的余数为或，进而分，或，三种情况证明即可.
【详解】（1）解：中只有首项为1，其余均为偶数，均为大于1的奇数，
故对任意的，若恒成立，
所以是互斥数列；
（2）证明：若与不是互斥数列，则存在，使得，
设的公差分别为，
因为数列与都是由正整数组成的且公差不为零的等差数列，
所以都为正整数，
取，
所以,，，
所以，
因为，
所以，存在无穷多组正整数对，使成立，证毕.
（3）解：由于，
因为除以的余数为，是互斥数列，
所以除以的余数为或，
（i）若，则对成立即可，
（ii）若或，则或都为的倍数，此时是互斥数列，满足题意，
（iii）若，则，
下面我们证明除以3的余数为1，
由二项式定理，展开得，
所以, 除以3的余数为1
所以是互斥数列，满足题意，
综上，满足的条件是，对成立；
或或，或，其中.
【点睛】关键点点睛:本题第二问解题的关键在于取，进而根据证明即可；第三问解题的关键在于讨论使得除以的余数为或的情况即可.
20．在无穷数列中，对于任意，都有，且．设集合，将非空集合中元素的最大值记为，即是数列中满足不等式的所有项的项数最大值；为空集时，记．我们称数列为数列的相依数列．例如：数列是1，3，4，…，它的相依数列是1，1，2，3，…．
(1)设数列是2，3，5，…，请写出的相依数列的前5项；
(2)设，求数列的相依数列的前20项和；
(3)设，求数列的相依数列的前n项和．
【答案】(1)的前5项是0，1，2，2，3；
(2)的前20项和为；
(3)的前n项和．
【分析】（1）根据是数列中满足不等式的所有项的项数最大值，即可得的前5项；
（2）将的前4项列出，再列出的前20项，相加即可；
（3）根据相依数列的定义，得出当时，，再将分为三种情况，分别对求和即可.
【详解】（1）时，；时，；时，；时，；时，；
即的前5项是0，1，2，2，3.
（2），，，，
则，，，
∴的前20项和为.
（3），，
，当时，，
∴当时，；
当时，；
当时，；
综上，的前n项和．
21．对于无穷数列，若对任意，且，存在，使得成立，则称为“数列”．
(1)若数列的通项公式为的通项公式为，分别判断是否为“数列”，并说明理由；
(2)已知数列为等差数列，
①若是“数列，，且，求所有可能的取值；
②若对任意，存在，使得成立，求证：数列为“数列”．
【答案】(1)是“数列”，不是“数列”；
(2)①9,10,12,16；②证明见解析．
【分析】（1）根据“数列”的定义验证即可；
（2）①设公差为，利用“数列”定义得是8的正约数：1，2，4，8，分别求出并验证符合题意即得；
②利用，求出公差与首项的关系，然后表示出通项公式，再根据“数列”定义证明．
【详解】（1），对任意的，，，，，
取，则，∴是“数列”，
，对任意的，，，，为偶数，而为奇数，因此不存在
使得，∴不是“数列”；
（2）数列为等差数列，
①若是“数列，，且，，，
，
对任意的，，，，
，由题意存在，使得，
即，显然，
所以，，
，所以是8的正约数，即，2，4，8，
时，，；
时，，；
时，，；
时，，．
综上，的可能值为9，10，12，16；
②若对任意，存在，使得成立，
所以存在，，，
设公差为，则，，
，
对任意的，，，，
，取，则，
所以是“数列”．
【点睛】关键点点睛：本题考查数列新定义，解题关键是理解新定义并应用新定义求解．第（2）问中，第一个问题是直接利用等差数列的通项公式根据新定义进行验证即可，第二个问题关键是确定数列的通项公式，因此根据已知条件求得数列的首项与公差的关系，这样通项公式中相当于只含有一个参数（或），然后利用通项公式进行检验．
22．若数列的子列均为等差数列，则称为k阶等差数列．
(1)若，数列的前15项与的前15项中相同的项构成数列，写出的各项，并求的各项和；
(2)若数列既是3阶也是4阶等差数列，设的公差分别为．
（ⅰ）判断的大小关系并证明；
（ⅱ）求证：数列是等差数列．
【答案】(1)的各项为：4，16，28，40；的各项和为：
(2)（ⅰ）,证明见解析；（ⅱ）证明见解析；
【分析】（1）根据题意，利用枚举法，即可求解；
（2）（ⅰ）根据题意，均为等差数列，通过等量代换找到的关系即可；
（ⅱ）均为等差数列，由（ⅰ）得，设，进而利用等量代换关系，得到，进而可以递推，得到，即可证明数列是等差数列
【详解】（1），，，
前15项分别为：1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，37，40，43；
前15项分别为：4，8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60；
的各项为：4，16，28，40；的各项和为：；
（2）（ⅰ）由已知得，均为等差数列，数列既是3阶也是4阶等差数列，故也为等差数列，
：，设公差为，
：，故，
：，故，
：，故，
故.
（ⅱ）数列既是3阶也是4阶等差数列，
均为等差数列，由（ⅰ）得，设，
对于，有，，
对于，有，对于，有，
对于，有，
，，，整理得，
，，
故；
；
所以，，故，，
所以，数列是等差数列高二等差数列素质能力提高竞赛综合测试
第I卷（选择题）
一、单选题: 本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．两个等差数列和，其前项和分别为，，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些整数染成红色．先染1；再染3个偶数2，4，6；再染6后面最邻近的5个连续奇数7，9，11，13，15；再染15后面最邻近的7个连续偶数16，18，20，22，24，26，28；再染此后最邻近的9个连续奇数29，31，…，45；按此规则一直染下去，得到一红色子数列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16，……，则在这个红色子数列中，由1开始的第2021个数是（ ）
A．3991 B．3993 C．3994 D．3997
3．已知两个等差数列2，6，10，…及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则数列的各项之和为（ ）
A．1666 B．1654 C．1472 D．1460
4．设等差数列的前n项和为，首项，公差，若对任意的，总存在，使．则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．数列满足，，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．设等差数列满足：，公差.若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．数列满足，，则数列的前80项和为（ ）
A．1640 B．1680 C．2100 D．2120
8．已知等差数列的前n项和为，且满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
二、多选题: 本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．设等差数列的前n项和为Sn，公差为d．已知，S12＞0，，则（ ）
A． B．
C．Sn＜0时，n的最小值为14 D．数列中最小项为第7项
10．已知等差数列中，当且仅当时，仅得最大值.记数列的前k项和为，（ ）
A．若，则当且仅当时，取得最大值
B．若，则当且仅当时，取得最大值
C．若，则当且仅当时，取得最大值
D．若，，则当或14时，取得最大值
11．已知两个等差数列和，其公差分别为和，其前项和分别为和，则下列说法正确的是（ ）
A．若为等差数列，则 B．若为等差数列，则
C．若为等差数列，则 D．若，则也为等差数列，且公差为
12．在数列中，已知是首项为1，公差为1的等差数列，是公差为的等差数列，其中，则下列说法正确的是（ ）
A．当时， B．若，则
C．若，则 D．当时，
第II卷（非选择题）
三、填空题: 本题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．首项为正数的递减等差数列的前项和为，且对任意项序数，总存在正整数，满足，则的最小值为______．
14．设是由正整数组成且项数为的增数列，已知，，数列任意相邻两项的差的绝对值不超过1，若对于中任意序数不同的两项和，在剩下的项中总存在序数不同的两项和，使得，则的最小值为___________.
15．等差数列满足，则的取值范围是______．
16．已知等差数列的前项和为，满足，则___________.
四、解答题
17．已知数列满足，，．
(1)求的取值范围；
(2)记是在区间中的项的个数，求数列的前m项和．
18．在下面两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.①；②.已知为数列的前项和，满足，，______.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
19．给定数列.对于任意的，若恒成立,则称数列是互斥数列.
(1)若数列，判断是否是互斥数列，说明理由；
(2)若数列与都是由正整数组成的且公差不为零的等差数列，若与不是互斥数列，求证:存在无穷多组正整教对，使成立；
(3)若(是正整数)， 试确定满足的条件，使是互斥数列.
20．在无穷数列中，对于任意，都有，且．设集合，将非空集合中元素的最大值记为，即是数列中满足不等式的所有项的项数最大值；为空集时，记．我们称数列为数列的相依数列．例如：数列是1，3，4，…，它的相依数列是1，1，2，3，…．
(1)设数列是2，3，5，…，请写出的相依数列的前5项；
(2)设，求数列的相依数列的前20项和；
(3)设，求数列的相依数列的前n项和．
21．对于无穷数列，若对任意，且，存在，使得成立，则称为“数列”．
(1)若数列的通项公式为的通项公式为，分别判断是否为“数列”，并说明理由；
(2)已知数列为等差数列，
①若是“数列，，且，求所有可能的取值；
②若对任意，存在，使得成立，求证：数列为“数列”．
22．若数列的子列均为等差数列，则称为k阶等差数列．
(1)若，数列的前15项与的前15项中相同的项构成数列，写出的各项，并求的各项和；
(2)若数列既是3阶也是4阶等差数列，设的公差分别为．
（ⅰ）判断的大小关系并证明；
（ⅱ）求证：数列是等差数列．
