高二等比数列素质能力提高竞赛综合测试
第I卷（选择题）
一、单选题: 本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知等比数列满足：，则的值为（ ）
A．20 B．10 C．5 D．
2．已知等比数列的各项均为正数，前项和为，，，则使得成立的最小正整数的值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
3．已知数列满足，，（），则数列的前2017项的和为（ ）
A． B．
C． D．
4．十七世纪法国数学家费马猜想形如“（）”是素数，我们称为“费马数”．设，，，数列与的前n项和分别为与，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知数列，的通项分别为，，现将和中所有的项，按从小到大的顺序排成数列，则满足的的最小值为（ ）
A．21 B．38 C．43 D．44
6．已知数列中各项都小于1，，即数列前n项和为，则（ ）
A． B．
C． D．
7．记．对数列和U的子集T，若，定义；若，定义．则以下结论正确的是（ ）
A．若满足，则
B．若满足，则对任意正整数
C．若满足，则对任意正整数
D．若满足，且，则
8．已知数列满足，则数列的前40项和（ ）
A． B． C． D．
二、多选题: 本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．已知数列是等比数列，则下列结论中正确的是（ ）
A．若公比为q，则
B．若，则
C．若数列的前项和，则
D．“”是“”的充分而不必要条件
10．如图，是一块半径为1的圆形纸板，在的左下端前去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个前掉半圆的半径）得图形，，记纸板的周长为，面积为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，且满足条件，，，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．是数列中的最大项 D．
12．已知数列和满足，，，．则下列结论不正确的是 （ ）
A．数列为等比数列
B．数列为等差数列
C．
D．
第II卷（非选择题）
三、填空题: 本题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．已知数列的前项和为，满足（是常数，），，且，则_________.
14．已知集合，，将中的所有元素按从小到大的顺序排列构成一个数列，设数列的前项和为，则使得成立的最小的的值为_____________.
15．某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，对折次，那么________．
16．已知等比数列各项均为正数，且满足：，，记，则使得的最大正整数n为__________.
四、解答题
17．已知等差数列的前项和为，且，
(1)求数列的通项公式；
(2)设等比数列的前项和为，且，求数列的前项和.
18．已知数列是公差为2的等差数列，其前8项的和为64.数列是公比大于0的等比数列，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，求数列的前项和；
(3)记，求数列的前项和.
19．已知数列满足：，
(1)求a2，a3；
(2)设，求证：数列是等比数列，并求其通项公式；
(3)求数列前20项中所有奇数项的和．
20．已知项数为的有穷数列满足如下两个性质，则称数列具有性质P；
①；
②对任意的、，与至少有一个是数列中的项．
(1)分别判断数列、、、和、、、是否具有性质，并说明理由；
(2)若数列具有性质，求证：；
(3)若数列具有性质，且不是等比数列，求的值．
21．在与中间插入个数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记为，数列满足，记和分别为数列，的前项和.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：
22．容器A内装有6升浓度为20%的酒精水溶液，容器B内装有4升浓度为5%的酒精水溶液，先将A内的酒精水溶液倒1升进入B内，再将B内的酒精水溶液倒1升进入A内，称为一次操作；这样反复操作n次，A、B容器内的酒精水溶液浓度分别为，.（酒精水溶液浓度=（酒精水溶液中乙醇体积/酒精水溶液总体积）×100%）
(1)请计算，，并判断数列是否为等比数列 若是，求出其通项公式；若不是，请说明理由；
(2)至少要经过几次操作，A、B两容器中溶液浓度之差小于1% （，）
(3)求，的表达式.高二等比数列素质能力提高竞赛综合测试
第I卷（选择题）
一、单选题: 本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知等比数列满足：，则的值为（ ）
A．20 B．10 C．5 D．
【答案】D
【分析】利用等比数列的性质可得：，对进行化简后求值即可.
【详解】在等比数列中，由等比数列的性质可得：.
所以．
故选：D
2．已知等比数列的各项均为正数，前项和为，，，则使得成立的最小正整数的值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C
【分析】题意可知比数列的公比且，由，，可得，即有，从而得，令求解即可得答案.
【详解】解：由题意可知比数列的公比且，
又因为，，
所以，
解得，
所以，
所以，
令，
解得或，
又因为，
所以，
所以的最小值为12.
故选：C.
3．已知数列满足，，（），则数列的前2017项的和为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件求出与的通项，进而求得，即可求出数列的前2017项的和.
【详解】在数列中，，，，，
则有，即，而，
于是得
，
因此，，
则
，
数列的前2017项的和为.
故选：D
【点睛】关键点点睛：此题考查数列的综合应用，解题的关键是由，（）相结合求出与的通项，从而可求出，考查计算能力，属于较难题
4．十七世纪法国数学家费马猜想形如“（）”是素数，我们称为“费马数”．设，，，数列与的前n项和分别为与，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先根据题意求出，从而可求出与，再分析判断即可
【详解】因为（），
所以，
所以，，
当时，，
所以AB错误，
因为，
所以数列是以2为公比，2为首项的等比数列，是以2为公差，2为首项的等差数列，
所以，，
当时，，当时，，
当时，，由此可得当时，，下面用数学归纳法证明
当时，显然成立，
假设当（）时，成立，即，则
当时，
，即，
综上，当时，，所以，
所以C错误，D正确，
故选：D
5．已知数列，的通项分别为，，现将和中所有的项，按从小到大的顺序排成数列，则满足的的最小值为（ ）
A．21 B．38 C．43 D．44
【答案】C
【分析】由数列的通项公式列出数列，同时得出前项和公式，将选项由小至大代入不等关系中，选出符合条件的最小值即可.
【详解】由题，，则数列为，……
，则数列为，……
设数列的前项和为，数列的前项和为，
则，，
当时，，，则，不符合条件；
当时，，则， 不符合条件；
以此类推，因为，则前21项中，有的前16项，的前5项，且,
当时，，不符合条件，故排除A；
因为，则前38项中，有的前32项，的前6项，且,
当时，，不符合条件，故排除B；
因为，则前43项中，有的前37项，的前6项，且，
当时，，符合条件，
故选：C
【点睛】关键点点睛：将两个数列合并排序时，不妨考虑直接列举观察规律，结合选项，得到结果.
6．已知数列中各项都小于1，，即数列前n项和为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据可得即数列单调递减.构造函数证明，即，根据等比数列求和即可求解.
【详解】解析：由，因为数列中各项都小于1，故与同号，又，所以，故，即，所以，又，所以时，，，而函数在上单调递减，所以由得，即，所以，
故选:A．
7．记．对数列和U的子集T，若，定义；若，定义．则以下结论正确的是（ ）
A．若满足，则
B．若满足，则对任意正整数
C．若满足，则对任意正整数
D．若满足，且，则
【答案】D
【分析】根据新定义直接计算，即可判断A，举反例判断B错，利用等比数列的通项公式和前n项和公式以及放缩法判断C，D.
【详解】因为，
所以，A错，
取，，
则，，所以，B错，
因为，，
所以.
因此，，C错，
若是的子集，则.
若是的子集，则.
若不是的子集，且不是的子集.
令，则，，.
于是，，进而由，得.
设是中的最大数，为中的最大数，则.
由（2）知，，于是，所以，即.
又，故，
从而，
故，所以，
即.
所以D对，
故选：D.
【点睛】对于数列新定义问题解决的关键在于准确理解新定义，再根据定义进行计算；本题的难点是利用放缩法证明不等式，放缩的目的是将非特殊数列转化为特殊数列，从而可利用特殊数列的性质.
8．已知数列满足，则数列的前40项和（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知，根据题意由可得：，从而计算，由递推可得：，结合可得：，从而计算，将两组和合并即可完成求解.
【详解】由已知，数列满足①，②，
②①得；，
所以，
由递推可得：③，
③②得；，
，
所以
.
故选：D.
二、多选题: 本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．已知数列是等比数列，则下列结论中正确的是（ ）
A．若公比为q，则
B．若，则
C．若数列的前项和，则
D．“”是“”的充分而不必要条件
【答案】AD
【分析】根据等比数列的前项和公式计算A后可判断其正误，利用基本量法计算BD后可判断其正误，利用前项和和通项的关系可判断C的正误.
【详解】设等比数列的公比为q.
对于A，，
而，故，
故A正确.
对于B，因为，而，故，故B错误.
对于C，因为，故，
因为是等比数列，故即，故，故C错误.
对于D，因为，
若，则，
取，则，但，
故“”是“”的充分而不必要条件，故D正确.
故选：AD
10．如图，是一块半径为1的圆形纸板，在的左下端前去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个前掉半圆的半径）得图形，，记纸板的周长为，面积为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】观察图形，分析剪掉的半圆的变化，纸板相较于纸板剪掉了半径为的半圆，再分别写出和的递推公式，从而累加得到通项公式再逐个判断即可
【详解】根据题意可得纸板相较于纸板剪掉了半径为的半圆，故，即，故，，，…，累加可得，所以，故A正确，C错误；
又，故，即，故D正确；
又，，…，累加可得，故正确，故B正确；
故选：ABD
11．设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，且满足条件，，，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．是数列中的最大项 D．
【答案】ABD
【分析】根据已知条件，结合等比数列的性质， 则或，，，所以，，推得公比，即可依次求解．
【详解】，
则或，
，，
和同号，且同为正，
且一个大于1，一个小于1，
，
，，即数列的前2022项大于1，
而从第2023项开始都小于1，
对于A，公比，故A正确，
对于B，，
，即，故B正确，
对于C，等比数列的前项积为，
且数列的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1，
故是数列中的最大项，故C错误，
对于D，，
，
，即，故D正确．
故选：ABD
12．已知数列和满足，，，．则下列结论不正确的是 （ ）
A．数列为等比数列
B．数列为等差数列
C．
D．
【答案】BCD
【分析】对A，条件两等式相减，根据定义判断等比数列；
对B，条件两等式相加，根据定义判断等差数列；
对C，由B的结论求出通项，再求第6项；
对D，由AB的结论求出通项公式，再两式相加.
【详解】对A，，
即，，
故数列为首项为1，公比为3的等比数列，A对；
对BC，，
即，即，
故数列为首项为，公比为2的等比数列，
故，故，
故数列不为等差数列，，BC错；
对D，由A得，又，两式相加得，
即，D错.
故选：BCD
第II卷（非选择题）
三、填空题: 本题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．已知数列的前项和为，满足（是常数，），，且，则_________.
【答案】128
【分析】先由与的关系式得到数列为等比数列，并设数列的公比为，同时可证数列也是等比数列，并且公比为，然后根据题干条件得到用数列的公比的关系式，再将也用含有的式子表示，即可得到答案.
【详解】因为（是常数，），所以当时有，
两式相减得，即，
所以数列为等比数列，设数列的公比为，
根据题意可得，即，
又因为，可得，即，
因为，
又因为，所以，
因为，所以，可知，
即数列也是等比数列，并且公比为，所以
故答案为：128.
14．已知集合，，将中的所有元素按从小到大的顺序排列构成一个数列，设数列的前项和为，则使得成立的最小的的值为_____________.
【答案】36
【分析】由题可得为数列的项，且利用分组求和可得，通过计算即得.
【详解】由题意，对于数列的项，其前面的项1，3，5，…，，共有项，，共有项，所以为数列的项，
且.
可算得（项），，，
因为，，，所以，，，
因此所求的最小值为36.
故答案为：36.
15．某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，对折次，那么________．
【答案】
【分析】通过分析得对折次则有种规格，而每个规格的面积均为，从而得到面积，再利用乘公比错位相减法求和即可.
【详解】由对折2次共可以得到，，三种规格的图形，
所以对着三次的结果有：，，；，
共4种不同规格（单位）；故对折4次可得到如下规格：，，，，，共5种不同规格；
由于每次对折后的图形的面积都减小为原来的一半，
故各次对折后的图形，不论规格如何，其面积成公比为的等比数列，首项为，第次对折共有种规格，其面积均为，
则对于第次对折后的图形的面积之和，
设，
则，
两式作差得：，
因此，．
故答案为：．
【点睛】关键点睛：本题的关键是能够通过分析得到规格数与的关系，即第次对折共有种规格，以及面积与的关系，即每种规格的面积均为，最后得到总面积的通项公式，当然亦可通过写出进行归纳猜想，最后得到，从而利用错位相减法求和即可.
16．已知等比数列各项均为正数，且满足：，，记，则使得的最大正整数n为__________.
【答案】202
【分析】根据可得，结合，可得，.根据可得，根据可判断、，从而求得答案.
【详解】
，
或，
，，
，，
又，∴，
，
，
，
∴使的最大整数n为202.
故答案为：202.
四、解答题
17．已知等差数列的前项和为，且，
(1)求数列的通项公式；
(2)设等比数列的前项和为，且，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求得等差数列的首项与公差的值，进而求得数列的通项公式；
（2）先求得等比数列的首项与公比的值，再利用分组求和法即可求得数列的前项和.
【详解】（1）设等差数列公差为d，则，
解得，所以
（2）设等比数列公比为q，
由可得，
两式相减可得：，则.
又，且是等比数列，所以，故
则
18．已知数列是公差为2的等差数列，其前8项的和为64.数列是公比大于0的等比数列，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，求数列的前项和；
(3)记，求数列的前项和.
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）设等差数列的首项为，利用等差数列的前项和公式求出，进而求出等差数列的通项公式；设等比数列的公比为，利用通项公式和已知条件求出，进而求出等比数列的通项公式；
（2）先求出，再利用分组求和法和等差数列的求和公式进行求解；
（3）先得到，再利用裂项抵消法进行求和.
【详解】（1）因为是公差为2的等差数列，且，
所以，解得，
所以；
设等比数列的公比为（），
因为，，
所以，即，
解得（舍去）或，
所以.
（2）由（1）得，
则
，
则
（3）由（1）得
，
则
，
【点睛】方法点睛：本题中考察了数列求和的两种采用方法，第二问考察了并项求和法，第三问考察了裂项抵消法，技巧性较强.
19．已知数列满足：，
(1)求a2，a3；
(2)设，求证：数列是等比数列，并求其通项公式；
(3)求数列前20项中所有奇数项的和．
【答案】(1)，；
(2)证明见解析，；
(3).
【分析】（1）根据题中递推关系式，依次代入即可求得结果；
（2）根据题意，先求出，再计算得，即可证明是等比数列，进而求得；
（3）将前20项奇数项的和利用递推式转化为关于偶数项的和，再利用将关于的计算转化为关于的计算，进而求得结果.
【详解】（1）令，得，令，得；
（2）根据题意，得，，
所以，
所以数列是，的等比数列，故；
（3）由（2）可得，
所以数列前20项中所有奇数项的和
.
20．已知项数为的有穷数列满足如下两个性质，则称数列具有性质P；
①；
②对任意的、，与至少有一个是数列中的项．
(1)分别判断数列、、、和、、、是否具有性质，并说明理由；
(2)若数列具有性质，求证：；
(3)若数列具有性质，且不是等比数列，求的值．
【答案】(1)数列、、、不具有性质，数列、、、不具有性质，理由见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据题中定义判断即可得出结论；
（2）推导出，设且，分析可知为数列中的项，根据不等式的性质可得出，可得出，，，，利用累乘法可证得结论成立；
（3）分析可知当时，、、成等比数列；根据（1）可知满足题意；讨论当时，由（2）可知，，当时，根据题中定义以及不等式的性质推导出，结合等比数列的定义可知不成立，从而可得出的值.
【详解】（1）解：对于数列、、、，因为，，
所以，数列、、、不具有性质；
对于数列、、、，当时，，，
所以，数列、、、不具有性质.
（2）证明：因为，
因为，则为数列中的项，所以，，
设且，因为，则不是数列中的项，
所以，为数列中的项，
因为，
所以，，，，，
上述等式全部相乘可得，因此，.
（3）解：当时，由（2）可知，
由题意可得，这与数列是等比数列矛盾；
当时，由（1）可知，数列、、、具有性质；
当时，由（2）可知，，①
当时，，所以，不是数列中的项，
因为，，
所以，，，，，所以，，
因为，所以，，，
所以，，，所以，，②
由①②可得，这与数列不是等比数列矛盾，不合题意.
综上所述，.
【点睛】关键点点睛：本题考查数列新定义，解题的关键在于根据题中的定义结合不等式的性质进行推导，在求解第3问时，要充分利用题中定义结合不等式的基本性质进行推导，进而求解.
21．在与中间插入个数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记为，数列满足，记和分别为数列，的前项和.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）设等比数列的公比为,利用等比数列的性质求得，即可求得答案;
（2）利用等比数列前n项和公式求得，利用错位相减法求得,采用作差法即可比较的大小，证明结论.
【详解】（1）设等比数列的公比为,
则 ，．则 ，
所以,
即.
（2）由，可得，
由可得，
故，则，
两式相减得：，
故，则，
则，
即.
【点睛】本题考查了等比数列的综合应用，涉及到通项公式的求解以及前n项和的求解和数列不等式问题，综合性强，计算量大，解答时要能熟练应用等比数列的相关知识，解答的关键是利用错位相减法求得数列的前项和，继而作差比较大小.
22．容器A内装有6升浓度为20%的酒精水溶液，容器B内装有4升浓度为5%的酒精水溶液，先将A内的酒精水溶液倒1升进入B内，再将B内的酒精水溶液倒1升进入A内，称为一次操作；这样反复操作n次，A、B容器内的酒精水溶液浓度分别为，.（酒精水溶液浓度=（酒精水溶液中乙醇体积/酒精水溶液总体积）×100%）
(1)请计算，，并判断数列是否为等比数列 若是，求出其通项公式；若不是，请说明理由；
(2)至少要经过几次操作，A、B两容器中溶液浓度之差小于1% （，）
(3)求，的表达式.
【答案】(1)，，是，；
(2)至少要操作7次才能达到要求；
(3)，
【分析】（1）先根据题意求出，，并求出，得到数列为等比数列，并求出通项公式；
（2）在第一问的基础上列出不等式，解不等式求出答案；
（3）根据与得到，由累加法求出，并求出.
【详解】（1），，
，，
所以，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以；
（2）由得，，
所以至少要操作7次才能达到要求；
（3）由（1）知，，
所以
，
.
