【学练考】高中数学（人教A版）必修5 第1章 解三角形 课件（三维目标+教学建议+新课导入+新课感知+自学探究+典例类析）（共5课时，162张ppt）
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| 名称 | 【学练考】高中数学（人教A版）必修5 第1章 解三角形 课件（三维目标+教学建议+新课导入+新课感知+自学探究+典例类析）（共5课时，162张ppt） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2014-04-16 09:14:53 | ||
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文档简介
课件162张PPT。高中数学人教A版·必修5课件展示说明 本课件为基于精确校对的word书稿制作的“逐字编辑”课件，如需要修改课件，请双击对应内容，进入可编辑状态。
如果有的公式双击后无法进入可编辑状态，请单击选中此公式，点击右键、“切换域代码”，即可进入编辑状态。修改后再点击右键、“切换域代码”，即可退出编辑状态。 1.1 正弦定理和余弦定理
1.1.1 正弦定理
1.1.2 余弦定理
1.2 应用举例
本章总结提升
第一章 解三角形 目 录第一章 解三角形 1．1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理1. 1.1 │ 三维目标三维目标 1．知识与技能
(1)通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；
(2)会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题．
2．过程与方法
(1)让学生从已有的几何知识出发，共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系；
(2)引导学生通过观察、推导、比较，由特殊到一般归纳出正弦定理；
(3)进行定理基本应用的实践操作．1. 1.1 │ 三维目标 3．情感、态度与价值观
(1)培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；
(2)培养学生探索数学规律的思维能力，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一．
1. 1.1 │ 三维目标1. 1.1 │ 重点难点 [重点]
通过对于三角形的边角关系的探究，证明正弦定理并用它解决有关问题．
[难点]
已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数．重点难点1. 1.1 │ 教学建议 1．本节课宜采用“发现学习”的模式，即由“结合实例提出问题——观察特例提出猜想——数学实验深入探究——证明猜想得出定理——运用定理解决问题”五个环节组成的“发现学习”模式，在教学中贯彻“启发性”原则，通过提问不断启发学生，引导学生自主探索与思考；
2．贯彻“以学定教”原则，即根据教学中的实际情况及时地调整教学方案． 教学建议1. 1.1 │ 新课导入 [导入一]
如图，固定△ABC的边CB及∠B，使边AC绕着顶点C转动．∠C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？
[解析] 边AB的长度随着其对角∠C的大小的增大而增大．新课导入 [导入二]
在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，可以由已知的边和角求出未知的边和角．那么斜三角形有一样的性质吗？1. 1.1 │ 新课导入1. 1.1 │ 新课感知 新课感知 解：边AB的长度随着其对角C的增大而增大．1. 1.1 │ 自学探究 自学探究相等其他元素1. 1.1 │ 自学探究 1. 1.1 │ 自学探究 1. 1.1 │ 自学探究 典例类析 ? 题组一 已知两角及一边解三角形
【例题演练】1. 1.1 │ 典例类析 [答案] A [点评] 利用正弦定理解三角形时，一定要注意角与边的对应关系． 1. 1.1 │ 典例类析 1. 1.1 │ 典例类析 【变式巩固】
已知△ABC中，三个内角的正弦之比为4∶5∶6，又三角形的周长为7.5，则其三边长分别为________________． [答案] 2,2.5,3 1. 1.1 │ 典例类析 ? 题组二 已知两边及一边的对角解三角形
【例题演练】1. 1.1 │ 典例类析 [答案] C1. 1.1 │ 典例类析 [点评] (1)已知两边及一边对角时，解三角形可用正弦定理，关键是准确判断解的情况，可能出现一解、两解或无解的情况．
(2)在同一个三角形中，注意运用大边对大角或大角对大边的性质．1. 1.1 │ 典例类析 1. 1.1 │ 典例类析 [分析] 由题目可获取以下主要信息：已知三角形中的两边及其一边的对角，求其他边和角．解答本题可先利用正弦定理求另一边对角的正弦值，或利用三角形中大边对大角定理考虑解的情况，可由正弦定理求其他边和角．1. 1.1 │ 典例类析 1. 1.1 │ 典例类析 1. 1.1 │ 典例类析
[点评] 已知两边及一边的对角解三角形时，要注意三角形解的个数．1. 1.1 │ 典例类析 ? 题组三 利用正弦定理判断三角形的形状
【例题演练】1. 1.1 │ 典例类析 [答案] D 1. 1.1 │ 典例类析 [点评] 已知三角形中的边角关系式判断三角形的形状，可考虑使用正弦定理，把关系式中的边化为角，再进行三角恒等变换，求出三个角之间的关系式，然后给予判定．在正弦定理的推广中，a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC是边化角的主要工具．1. 1.1 │ 典例类析 1. 1.1 │ 典例类析 [答案] C1. 1.1 │ 典例类析 1．1.2 余弦定理1. 1.2 │ 三维目标三维目标 1．知识与技能
掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．
2．过程与方法
利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．
3．情感、态度与价值观
培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一．1. 1.2 │ 三维目标1. 1.2 │ 重点难点 [重点]
余弦定理的发现和证明过程及其基本应用．
[难点]
勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用．重点难点1. 1.2 │ 教学建议 1．对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，通过向量知识给予证明，引起学生对向量知识的学习兴趣，同时感受向量法证明余弦定理的简便之处．教科书就是用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力；
2．余弦定理是勾股定理的推广，教学时要启发引导学生注意余弦定理的各种变形式，并总结余弦定理的适用题型的特点，在解题时正确选用余弦定理达到求解、求证目的；教学建议 3．启发学生在证明余弦定理时能与向量数量积的知识产生联系，在应用向量知识的同时，注意使学生体会三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识之间的联系；
4．可将教材中的部分例习题的角改为特殊角，考试基本都是特殊角或可转化为特殊角的问题．1. 1.2 │ 教学建议1. 1.2 │ 新课导入 [导入一]
我们学习了正弦定理，解决了有关三角形的两类问题：已知两角和任意一边；②已知两边和其中一边的对角．三角形中还有怎样的问题没有解决？如图，已知两边a，b及夹角∠C＝90°，能否求第三边？
[解析] 已知两边和夹角，求第三边，用勾股定理c2＝a2＋b2.新课导入1. 1.2 │ 新课导入 1. 1.2 │ 新课导入第1课时 余弦定理 （一）第1课时 │ 新课感知 新课感知 解：已知三角形的两边及一边的对角，可借助于正弦定理解三角形；若知道三角形中的两边及夹角，可借助余弦定理来解决．第1课时 │ 自学探究 自学探究a2＝b2＋c2－2bccosAb2＝c2＋a2－2cacosB c2＝a2＋b2－2abcosC第1课时 │ 自学探究 [思考] 勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？
解：若△ABC中，C＝90°，则cosC＝0，这时c2＝a2＋b2，由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例． 第1课时 │ 自学探究 ? 知识点二 余弦定理的应用
利用余弦定理主要解答如下三种求解三角形的问题：
(1)已知三角形的两边和它们的夹角，求_________________________________________________；
(2)已知三角形的三边，求____________________；
(3)已知三角形的两边及其中一边的对角，求______________________________．三角形的第三边和其他两个角三角形的三个角 三角形的第三边和其余两个角第1课时 │ 自学探究 典例类析 ? 题组一 已知三边解三角形
【例题演练】第1课时 │ 典例类析 [答案] B [分析] 由余弦定理的推论直接求各角，也可由余弦定理的推论求出一角，然后用正弦定理去求其他角．第1课时 │ 典例类析 第1课时 │ 典例类析 [点评] 知道三边解三角形时直接利用余弦定理，要注意角边关系的利用．第1课时 │ 典例类析 ? 题组二 已知两边和一角求解三角形
【例题演练】第1课时 │ 典例类析 [答案] C第1课时 │ 典例类析 第1课时 │ 典例类析 第1课时 │ 典例类析 [分析] 解本题有两种方法，方法1是利用余弦定理求出边c，然后再次利用余弦定理及三角形内角和公式分别求出角C和角A；方法2是利用正弦定理求出角A和角C，然后求出第三边c.以下仅给出方法1的过程．第1课时 │ 典例类析 第1课时 │ 典例类析 [点评] 本题是利用余弦定理及方程思想解答，此解可回避分类讨论．因此要优越于利用正弦定理求解．第1课时 │ 典例类析 第2课时 余弦定理 （二）第2课时 │ 新课感知 新课感知第2课时 │ 新课感知 第2课时 │ 自学探究 自学探究b2＋c2－2bccosA a2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosC 2．已知三角形的三条边就可以求出三个角．
cosA＝____________；
cosB＝____________；
cosC＝____________.第2课时 │ 自学探究 [思考] 解三角形时，会常用到哪些结论？第2课时 │ 自学探究 ? 知识点二 判断三角形的形状
学习了正、余弦定理后，判断三角形的形状通常有两种途径：一是利用正弦定理和余弦定理，化边为角，然后再利用三角恒等变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时要充分注意一些常见的三角等式所体现的内角关系．(如sinA＝sinB?______________；sin(A－B)＝0?________；sin2A
＝sin2B?_____________________________等)
二是利用正弦定理和余弦定理，化角为边，然后再利用代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．A＝B A＝B 第2课时 │ 自学探究 第2课时 │ 自学探究 典例类析 ? 题组一 余弦定理的变形应用
【例题演练】第2课时 │ 典例类析 第2课时 │ 典例类析 第2课时 │ 典例类析 第2课时 │ 典例类析 ? 题组二 判断三角形的形状
【例题演练】
第2课时 │ 典例类析 例1 在△ABC中，已知sinA＝2sinBcosC，则该三角形的形状为( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形[答案] D第2课时 │ 典例类析 第2课时 │ 典例类析 [答案] 等边三角形 第2课时 │ 典例类析 1.2 应用举例1.2 │ 三维目标三维目标 1．知识与技能
(1)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题；
(2)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题；
(3)掌握三角形的面积公式的简单推导和应用． 2．过程与方法
(1)结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题；
(2)通过将实际问题建立数学模型，使学生充分认识到建立数学模型的重要性，进行测量，掌握数学术语及数学作图方法，体会数学的严谨性；
(3)本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型．
1.2 │ 三维目标 3．情感态度与价值观
(1)进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力；
(2)培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神．1.2 │ 三维目标1.2 │ 重点难点 [重点]
1．分析测量问题的实际情景，从而找到测量距离的方法；
2．能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系；
3．推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目．
[难点]
实际问题向数学问题转化思路的确定，即根据题意建立数学模型，画出示意图． 重点难点1.2 │ 教学建议 1．解三角形知识在实际问题中有着广泛的应用，如测量、航海等都要用到这方面的知识．对于解三角形的实际问题，我们要在理解一些术语(如坡角、仰角、俯角、方位角、方向角等)的基础上，正确地将实际问题中的长度、角度看成三角形相应的边和角，创造可解的条件，综合运用三角函数知识以及正弦定理和余弦定理来解决．学习这部分知识有助于增强学生的数学应用意识和解决实际问题的能力．教学建议 2．本节的例1、例2是两个有关测量距离的问题．例1是测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，例2是测量两个不可到达的点之间距离的问题．对于例1可以引导学生分析这个问题实际上就是已知三角形两个角和一边解三角形的问题，从而可以用正弦定理去解决．对于例2首先把求不可到达的两点A、B之间的距离转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题，然后把求未知的BC和AC的问题转化为例1中测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．1.2 │ 教学建议1.2 │ 教学建议1.2 │ 新课导入 [导入一]
情境导入
塞乐斯生于公元前624年，是古希腊第一位闻名世界的大数学家．他原是一位很精明的商人，靠卖橄榄油积累了相当财富后，塞乐斯便专心从事科学研究和旅行．他游历埃及时，曾用一种巧妙的方法算出了金字塔的高度，使古埃及国王阿美西斯钦羡不已．
新课导入 [解析] 塞乐斯的方法既巧妙又简单：选一个天气晴朗的日子，在金字塔边竖立一根小木棍，然后观察木棍阴影的长度变化，等到阴影长度恰好等于木棍长度时，赶紧测量金字塔影的长度，因为在这一时刻，金字塔的高度也恰好与塔影长度相等．
1.2 │ 新课导入 [导入二]
问题导入
在日常生活和工农业生产中，为了达到某种目的，常常想测得一个点与另一个不可到达的点间的距离或在远处的两个物体之间的距离，这样的想法能实现吗？如何实现呢？
[解析] 有时由于条件所限，需要测量像一个点与河对面一点或船到礁石这类不可到达点的距离时，一般作法是在河这边或主航道上发生一段位移，从两个不同地点测出到这个不能到达点的视角及这段位移的长度，从而通过计算得出答案．从而将问题转化为一个数学问题：已知一个三角形的两角及夹边，要求这个三角形的其中一边，显然只要根据正弦定理，就可以达到目的．1.2 │ 新课导入 [导入三]
师：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化为已知三角形的一些边和角求其余边的问题．然而在实际的生活中，人们又会遇到新的问题，仍然需要用我们学过的解三角形的知识来解决，大家身边有什么例子吗？
生：像航海，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向．
生：飞机在天上飞行时，如何确定地面上的目标．
师：实际生活当中像这样的例子很多，今天我们接着来探讨这方面的测量问题．1.2 │ 新课导入1.2│ 新课感知 新课感知 解：有时由于条件所限，需要测量如一个点与河对面一点或船到礁石这类不可到达点的距离时，一般作法是在河这边或主航道上选定一段位移，从两个不同地点测出到这个不能到达点的视角及这段位移的长度，从而通过计算得出答案．这样将问题转化为一个数学问题：已知一个三角形的两角及夹边，要求这个三角形的其中一边，显然只要根据正弦定理，就可以达到目的．1.2│ 新课感知 1.2│ 自学探究 自学探究水平距离 垂直距离 坡面距离 铅直高度h 水平宽度l 1.2│ 自学探究 3．与测量高度相关的概念
仰角、俯角：如图1－2－3，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，______________________的角叫做仰角，________________的角叫做俯角．视线在水平线上方 在水平线下方1.2│ 自学探究 ? 知识点二 测量距离问题
解三角形的应用题的重要内容之一是解决测量距离问题，主要包括：
(1)测量________________________________________的距离问题；
(2)测量________________________的距离问题．从一个可到达的点到另一个不可到达的点之间 两个不可到达的点之间 1.2│ 自学探究 其基本的解题思路为：
①求从一个可到达的点到另一个不可到达的点之间的距离问题，就是将其转化为_________________________________的问题，直接利用正弦定理就可解决；
②求两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点A、B之间的距离___________________________的边长问题，然后把未知的两边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
已知三角形的两个角和一边解三角形转化为应用正弦定理解三角形1.2│ 自学探究 [思考] 解决距离问题时常用的策略是什么？
解：解决距离问题常见的策略：(1)先选定或要创建的三角形，然后确定所求量所在三角形，若其他量已知，则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)根据条件确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．1.2│ 自学探究 ? 知识点三 求角问题
1．方向角：指北或指南方向线与 _______________________________________________，叫方向角，目标方向线方向一般可用“×偏×多少度”来表示，这里第一个“×”号是指_____________________，第二个“×”号是指_____________________．
2．方位角：从某点开始的指北方向线按________转到目标方向线为止的水平角，叫方位角．它是方向角的另一种表现形式．目标方向线所成的小于90°的水平角 “北”字或“南”字 “东”字或“西”字顺时针 1.2│ 自学探究 3．测量角度就是在三角形内，利用__________________求角的三角函数值，然后____________，再根据需要求____________，包括求三角形中角度的大小、求不能直接测得的角的大小问题，求轮船航行时航向等问题，这些问题均可结合正弦定理及余弦定理，通过解三角形求解．正弦定理和余弦定理 其他的角求角 1.2│ 自学探究 ? 知识点四 三角形的面积公式
已知△ABC的三边为a，b，c，三内角分别为A，B，C，则△ABC的面积公式为：
S△ABC＝________＝________＝________.1.2│ 自学探究 [思考] 到目前为止，你知道的三角形的面积公式有几种形式？1.2│ 自学探究 典例类析 ? 题组一 测量两点间的距离及角度问题
【例题演练】1.2 │ 典例类析 [答案] A1.2 │ 典例类析 1.2 │ 典例类析 1.2 │ 典例类析 1.2 │ 典例类析 1.2 │ 典例类析 [分析] 设我海军护航编队应沿CD方向行驶t小时，才能最快(在D点)截获海盗快艇，则在△ABC中由余弦定理求得BC的值，然后再在△BCD中利用正弦定理求得航行方向，进而求得需要航行的时间．1.2 │ 典例类析 1.2 │ 典例类析 [点评] 解决此类问题首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，根据题意画出正确的示意图，将实际问题转化为数学问题，运用正余弦定理求解．1.2 │ 典例类析 ? 题组二 测量高度问题
【例题演练】
例1 如图1－2－7，在山顶电视转播塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β，已知塔BC部分的高为h m，则山高CD为________ m.1.2 │ 典例类析 1.2 │ 典例类析 例2 如图1－2－8，地平面上有一旗杆OP，为了测得它的高度h，在地面上选一基线AB，AB＝20 m，在A点处测得P点的仰角∠OAP＝30°，在B点处测得P点的仰角∠OBP＝45°，又测得∠AOB＝60°，求旗杆的高度h.(结果保留两个有效数字)1.2 │ 典例类析 图1－2－81.2 │ 典例类析 [点评] 在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，弄清题目中的条件与所求，根据题意画出正确的示意图，将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题时也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．1.2 │ 典例类析 ? 题组三 与三角形面积有关的问题
【例题演练】
[答案] C1.2 │ 典例类析 1.2 │ 典例类析 1.2 │ 典例类析 1.2 │ 典例类析 1.2 │ 典例类析 1.2 │ 典例类析 [点评] 解决三角形与向量、三角函数的综合题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件，然后再根据题目条件和要求选择正弦或余弦定理求解．1.2 │ 典例类析 本章总结提升本章总结提升 │ 单元回眸单元回眸本章总结提升│ 整合创新整合创新本章总结提升│ 整合创新本章总结提升│ 整合创新本章总结提升│ 整合创新 [分析] 本小题主要考查同角三角函数间的关系，两角和差的三角函数、二倍角公式、正弦定理等基础知识及基本运算能力．本章总结提升│ 整合创新本章总结提升│ 整合创新 [点评] 熟练掌握正弦定理是解决本题的关键，同时注意有关三角函数公式的应用．本章总结提升│ 整合创新本章总结提升│ 整合创新[答案] C本章总结提升│ 整合创新本章总结提升│ 整合创新本章总结提升│ 整合创新 [分析] 先由向量数量积的定义得出△ABC的边角关系，再依据判定方法判定或求值．本章总结提升│ 整合创新本章总结提升│ 整合创新 [点评] 方法一中用到了三角函数中两角差的正弦函数公式，但应注意在根据三角函数值求角时，一定要先确定角的范围．另外，也可运用同角三角函数的商数关系，在等式sinBcosA＝sinAcosB两端同除以cosAcosB得tanA＝tanB，再由0＜A，B＜π，得A＝B.本章总结提升│ 整合创新 ? 题组四 利用正、余弦定理解决实际问题
【例题演练】
例1 一缉私艇发现在北偏东45°方向，距离12 n mile的海上有一走私船正以10 n mile/h的速度沿南偏东75°方向逃窜，若缉私艇的速度为14 n mile/h，缉私艇沿北偏东45°＋α的方向追去，若要在最短的时间内追上该走私船，则追上所需的时间为________ h，α角的正弦值为________．本章总结提升│ 整合创新本章总结提升│ 整合创新 [点评] 将海上问题作为应用题背景，研究最多的是方向角，解答时应当根据所学的简单地理知识，先确定正北方向，根据题中条件作出其他方向角的位置示意图，再分析图中的已知量和未知量，将应用问题转化为解三角形问题．本章总结提升│ 整合创新本章总结提升│ 整合创新
[分析] 分别解△ACD，△BCD，构造含有边CD的可解三角形． 本章总结提升│ 整合创新本章总结提升│ 整合创新 [点评] 本例是求解测量不能到达的两点间的距离问题，它充分体现了正弦定理在测量学中的广泛应用．解题的关键是仔细分析清楚题意，构造出可解的三角形，并找出解哪些三角形最利于解题，然后再利用正、余弦定理给出解答．本章总结提升│ 整合创新本章总结提升│ 体验高考体验高考本章总结提升│ 体验高考 [解析] D ∵acosA＝bsinB，∴sinAcosA＝sin2B，
∴sinAcosA＋cos2B＝sin2B＋cos2B＝1.本章总结提升│ 体验高考本章总结提升│ 体验高考本章总结提升│ 体验高考本章总结提升│ 体验高考本章总结提升│ 体验高考本章总结提升│ 体验高考本章总结提升│ 体验高考本章总结提升│ 体验高考本章总结提升│ 体验高考本章总结提升│ 体验高考本章总结提升│ 体验高考本章总结提升│ 体验高考本章总结提升│ 体验高考本章总结提升│ 体验高考
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1.1.1 正弦定理
1.1.2 余弦定理
1.2 应用举例
本章总结提升
第一章 解三角形 目 录第一章 解三角形 1．1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理1. 1.1 │ 三维目标三维目标 1．知识与技能
(1)通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；
(2)会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题．
2．过程与方法
(1)让学生从已有的几何知识出发，共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系；
(2)引导学生通过观察、推导、比较，由特殊到一般归纳出正弦定理；
(3)进行定理基本应用的实践操作．1. 1.1 │ 三维目标 3．情感、态度与价值观
(1)培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；
(2)培养学生探索数学规律的思维能力，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一．
1. 1.1 │ 三维目标1. 1.1 │ 重点难点 [重点]
通过对于三角形的边角关系的探究，证明正弦定理并用它解决有关问题．
[难点]
已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数．重点难点1. 1.1 │ 教学建议 1．本节课宜采用“发现学习”的模式，即由“结合实例提出问题——观察特例提出猜想——数学实验深入探究——证明猜想得出定理——运用定理解决问题”五个环节组成的“发现学习”模式，在教学中贯彻“启发性”原则，通过提问不断启发学生，引导学生自主探索与思考；
2．贯彻“以学定教”原则，即根据教学中的实际情况及时地调整教学方案． 教学建议1. 1.1 │ 新课导入 [导入一]
如图，固定△ABC的边CB及∠B，使边AC绕着顶点C转动．∠C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？
[解析] 边AB的长度随着其对角∠C的大小的增大而增大．新课导入 [导入二]
在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，可以由已知的边和角求出未知的边和角．那么斜三角形有一样的性质吗？1. 1.1 │ 新课导入1. 1.1 │ 新课感知 新课感知 解：边AB的长度随着其对角C的增大而增大．1. 1.1 │ 自学探究 自学探究相等其他元素1. 1.1 │ 自学探究 1. 1.1 │ 自学探究 1. 1.1 │ 自学探究 典例类析 ? 题组一 已知两角及一边解三角形
【例题演练】1. 1.1 │ 典例类析 [答案] A [点评] 利用正弦定理解三角形时，一定要注意角与边的对应关系． 1. 1.1 │ 典例类析 1. 1.1 │ 典例类析 【变式巩固】
已知△ABC中，三个内角的正弦之比为4∶5∶6，又三角形的周长为7.5，则其三边长分别为________________． [答案] 2,2.5,3 1. 1.1 │ 典例类析 ? 题组二 已知两边及一边的对角解三角形
【例题演练】1. 1.1 │ 典例类析 [答案] C1. 1.1 │ 典例类析 [点评] (1)已知两边及一边对角时，解三角形可用正弦定理，关键是准确判断解的情况，可能出现一解、两解或无解的情况．
(2)在同一个三角形中，注意运用大边对大角或大角对大边的性质．1. 1.1 │ 典例类析 1. 1.1 │ 典例类析 [分析] 由题目可获取以下主要信息：已知三角形中的两边及其一边的对角，求其他边和角．解答本题可先利用正弦定理求另一边对角的正弦值，或利用三角形中大边对大角定理考虑解的情况，可由正弦定理求其他边和角．1. 1.1 │ 典例类析 1. 1.1 │ 典例类析 1. 1.1 │ 典例类析
[点评] 已知两边及一边的对角解三角形时，要注意三角形解的个数．1. 1.1 │ 典例类析 ? 题组三 利用正弦定理判断三角形的形状
【例题演练】1. 1.1 │ 典例类析 [答案] D 1. 1.1 │ 典例类析 [点评] 已知三角形中的边角关系式判断三角形的形状，可考虑使用正弦定理，把关系式中的边化为角，再进行三角恒等变换，求出三个角之间的关系式，然后给予判定．在正弦定理的推广中，a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC是边化角的主要工具．1. 1.1 │ 典例类析 1. 1.1 │ 典例类析 [答案] C1. 1.1 │ 典例类析 1．1.2 余弦定理1. 1.2 │ 三维目标三维目标 1．知识与技能
掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．
2．过程与方法
利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．
3．情感、态度与价值观
培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一．1. 1.2 │ 三维目标1. 1.2 │ 重点难点 [重点]
余弦定理的发现和证明过程及其基本应用．
[难点]
勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用．重点难点1. 1.2 │ 教学建议 1．对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，通过向量知识给予证明，引起学生对向量知识的学习兴趣，同时感受向量法证明余弦定理的简便之处．教科书就是用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力；
2．余弦定理是勾股定理的推广，教学时要启发引导学生注意余弦定理的各种变形式，并总结余弦定理的适用题型的特点，在解题时正确选用余弦定理达到求解、求证目的；教学建议 3．启发学生在证明余弦定理时能与向量数量积的知识产生联系，在应用向量知识的同时，注意使学生体会三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识之间的联系；
4．可将教材中的部分例习题的角改为特殊角，考试基本都是特殊角或可转化为特殊角的问题．1. 1.2 │ 教学建议1. 1.2 │ 新课导入 [导入一]
我们学习了正弦定理，解决了有关三角形的两类问题：已知两角和任意一边；②已知两边和其中一边的对角．三角形中还有怎样的问题没有解决？如图，已知两边a，b及夹角∠C＝90°，能否求第三边？
[解析] 已知两边和夹角，求第三边，用勾股定理c2＝a2＋b2.新课导入1. 1.2 │ 新课导入 1. 1.2 │ 新课导入第1课时 余弦定理 （一）第1课时 │ 新课感知 新课感知 解：已知三角形的两边及一边的对角，可借助于正弦定理解三角形；若知道三角形中的两边及夹角，可借助余弦定理来解决．第1课时 │ 自学探究 自学探究a2＝b2＋c2－2bccosAb2＝c2＋a2－2cacosB c2＝a2＋b2－2abcosC第1课时 │ 自学探究 [思考] 勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？
解：若△ABC中，C＝90°，则cosC＝0，这时c2＝a2＋b2，由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例． 第1课时 │ 自学探究 ? 知识点二 余弦定理的应用
利用余弦定理主要解答如下三种求解三角形的问题：
(1)已知三角形的两边和它们的夹角，求_________________________________________________；
(2)已知三角形的三边，求____________________；
(3)已知三角形的两边及其中一边的对角，求______________________________．三角形的第三边和其他两个角三角形的三个角 三角形的第三边和其余两个角第1课时 │ 自学探究 典例类析 ? 题组一 已知三边解三角形
【例题演练】第1课时 │ 典例类析 [答案] B [分析] 由余弦定理的推论直接求各角，也可由余弦定理的推论求出一角，然后用正弦定理去求其他角．第1课时 │ 典例类析 第1课时 │ 典例类析 [点评] 知道三边解三角形时直接利用余弦定理，要注意角边关系的利用．第1课时 │ 典例类析 ? 题组二 已知两边和一角求解三角形
【例题演练】第1课时 │ 典例类析 [答案] C第1课时 │ 典例类析 第1课时 │ 典例类析 第1课时 │ 典例类析 [分析] 解本题有两种方法，方法1是利用余弦定理求出边c，然后再次利用余弦定理及三角形内角和公式分别求出角C和角A；方法2是利用正弦定理求出角A和角C，然后求出第三边c.以下仅给出方法1的过程．第1课时 │ 典例类析 第1课时 │ 典例类析 [点评] 本题是利用余弦定理及方程思想解答，此解可回避分类讨论．因此要优越于利用正弦定理求解．第1课时 │ 典例类析 第2课时 余弦定理 （二）第2课时 │ 新课感知 新课感知第2课时 │ 新课感知 第2课时 │ 自学探究 自学探究b2＋c2－2bccosA a2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosC 2．已知三角形的三条边就可以求出三个角．
cosA＝____________；
cosB＝____________；
cosC＝____________.第2课时 │ 自学探究 [思考] 解三角形时，会常用到哪些结论？第2课时 │ 自学探究 ? 知识点二 判断三角形的形状
学习了正、余弦定理后，判断三角形的形状通常有两种途径：一是利用正弦定理和余弦定理，化边为角，然后再利用三角恒等变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时要充分注意一些常见的三角等式所体现的内角关系．(如sinA＝sinB?______________；sin(A－B)＝0?________；sin2A
＝sin2B?_____________________________等)
二是利用正弦定理和余弦定理，化角为边，然后再利用代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．A＝B A＝B 第2课时 │ 自学探究 第2课时 │ 自学探究 典例类析 ? 题组一 余弦定理的变形应用
【例题演练】第2课时 │ 典例类析 第2课时 │ 典例类析 第2课时 │ 典例类析 第2课时 │ 典例类析 ? 题组二 判断三角形的形状
【例题演练】
第2课时 │ 典例类析 例1 在△ABC中，已知sinA＝2sinBcosC，则该三角形的形状为( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形[答案] D第2课时 │ 典例类析 第2课时 │ 典例类析 [答案] 等边三角形 第2课时 │ 典例类析 1.2 应用举例1.2 │ 三维目标三维目标 1．知识与技能
(1)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题；
(2)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题；
(3)掌握三角形的面积公式的简单推导和应用． 2．过程与方法
(1)结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题；
(2)通过将实际问题建立数学模型，使学生充分认识到建立数学模型的重要性，进行测量，掌握数学术语及数学作图方法，体会数学的严谨性；
(3)本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型．
1.2 │ 三维目标 3．情感态度与价值观
(1)进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力；
(2)培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神．1.2 │ 三维目标1.2 │ 重点难点 [重点]
1．分析测量问题的实际情景，从而找到测量距离的方法；
2．能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系；
3．推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目．
[难点]
实际问题向数学问题转化思路的确定，即根据题意建立数学模型，画出示意图． 重点难点1.2 │ 教学建议 1．解三角形知识在实际问题中有着广泛的应用，如测量、航海等都要用到这方面的知识．对于解三角形的实际问题，我们要在理解一些术语(如坡角、仰角、俯角、方位角、方向角等)的基础上，正确地将实际问题中的长度、角度看成三角形相应的边和角，创造可解的条件，综合运用三角函数知识以及正弦定理和余弦定理来解决．学习这部分知识有助于增强学生的数学应用意识和解决实际问题的能力．教学建议 2．本节的例1、例2是两个有关测量距离的问题．例1是测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，例2是测量两个不可到达的点之间距离的问题．对于例1可以引导学生分析这个问题实际上就是已知三角形两个角和一边解三角形的问题，从而可以用正弦定理去解决．对于例2首先把求不可到达的两点A、B之间的距离转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题，然后把求未知的BC和AC的问题转化为例1中测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．1.2 │ 教学建议1.2 │ 教学建议1.2 │ 新课导入 [导入一]
情境导入
塞乐斯生于公元前624年，是古希腊第一位闻名世界的大数学家．他原是一位很精明的商人，靠卖橄榄油积累了相当财富后，塞乐斯便专心从事科学研究和旅行．他游历埃及时，曾用一种巧妙的方法算出了金字塔的高度，使古埃及国王阿美西斯钦羡不已．
新课导入 [解析] 塞乐斯的方法既巧妙又简单：选一个天气晴朗的日子，在金字塔边竖立一根小木棍，然后观察木棍阴影的长度变化，等到阴影长度恰好等于木棍长度时，赶紧测量金字塔影的长度，因为在这一时刻，金字塔的高度也恰好与塔影长度相等．
1.2 │ 新课导入 [导入二]
问题导入
在日常生活和工农业生产中，为了达到某种目的，常常想测得一个点与另一个不可到达的点间的距离或在远处的两个物体之间的距离，这样的想法能实现吗？如何实现呢？
[解析] 有时由于条件所限，需要测量像一个点与河对面一点或船到礁石这类不可到达点的距离时，一般作法是在河这边或主航道上发生一段位移，从两个不同地点测出到这个不能到达点的视角及这段位移的长度，从而通过计算得出答案．从而将问题转化为一个数学问题：已知一个三角形的两角及夹边，要求这个三角形的其中一边，显然只要根据正弦定理，就可以达到目的．1.2 │ 新课导入 [导入三]
师：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化为已知三角形的一些边和角求其余边的问题．然而在实际的生活中，人们又会遇到新的问题，仍然需要用我们学过的解三角形的知识来解决，大家身边有什么例子吗？
生：像航海，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向．
生：飞机在天上飞行时，如何确定地面上的目标．
师：实际生活当中像这样的例子很多，今天我们接着来探讨这方面的测量问题．1.2 │ 新课导入1.2│ 新课感知 新课感知 解：有时由于条件所限，需要测量如一个点与河对面一点或船到礁石这类不可到达点的距离时，一般作法是在河这边或主航道上选定一段位移，从两个不同地点测出到这个不能到达点的视角及这段位移的长度，从而通过计算得出答案．这样将问题转化为一个数学问题：已知一个三角形的两角及夹边，要求这个三角形的其中一边，显然只要根据正弦定理，就可以达到目的．1.2│ 新课感知 1.2│ 自学探究 自学探究水平距离 垂直距离 坡面距离 铅直高度h 水平宽度l 1.2│ 自学探究 3．与测量高度相关的概念
仰角、俯角：如图1－2－3，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，______________________的角叫做仰角，________________的角叫做俯角．视线在水平线上方 在水平线下方1.2│ 自学探究 ? 知识点二 测量距离问题
解三角形的应用题的重要内容之一是解决测量距离问题，主要包括：
(1)测量________________________________________的距离问题；
(2)测量________________________的距离问题．从一个可到达的点到另一个不可到达的点之间 两个不可到达的点之间 1.2│ 自学探究 其基本的解题思路为：
①求从一个可到达的点到另一个不可到达的点之间的距离问题，就是将其转化为_________________________________的问题，直接利用正弦定理就可解决；
②求两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点A、B之间的距离___________________________的边长问题，然后把未知的两边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
已知三角形的两个角和一边解三角形转化为应用正弦定理解三角形1.2│ 自学探究 [思考] 解决距离问题时常用的策略是什么？
解：解决距离问题常见的策略：(1)先选定或要创建的三角形，然后确定所求量所在三角形，若其他量已知，则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)根据条件确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．1.2│ 自学探究 ? 知识点三 求角问题
1．方向角：指北或指南方向线与 _______________________________________________，叫方向角，目标方向线方向一般可用“×偏×多少度”来表示，这里第一个“×”号是指_____________________，第二个“×”号是指_____________________．
2．方位角：从某点开始的指北方向线按________转到目标方向线为止的水平角，叫方位角．它是方向角的另一种表现形式．目标方向线所成的小于90°的水平角 “北”字或“南”字 “东”字或“西”字顺时针 1.2│ 自学探究 3．测量角度就是在三角形内，利用__________________求角的三角函数值，然后____________，再根据需要求____________，包括求三角形中角度的大小、求不能直接测得的角的大小问题，求轮船航行时航向等问题，这些问题均可结合正弦定理及余弦定理，通过解三角形求解．正弦定理和余弦定理 其他的角求角 1.2│ 自学探究 ? 知识点四 三角形的面积公式
已知△ABC的三边为a，b，c，三内角分别为A，B，C，则△ABC的面积公式为：
S△ABC＝________＝________＝________.1.2│ 自学探究 [思考] 到目前为止，你知道的三角形的面积公式有几种形式？1.2│ 自学探究 典例类析 ? 题组一 测量两点间的距离及角度问题
【例题演练】1.2 │ 典例类析 [答案] A1.2 │ 典例类析 1.2 │ 典例类析 1.2 │ 典例类析 1.2 │ 典例类析 1.2 │ 典例类析 [分析] 设我海军护航编队应沿CD方向行驶t小时，才能最快(在D点)截获海盗快艇，则在△ABC中由余弦定理求得BC的值，然后再在△BCD中利用正弦定理求得航行方向，进而求得需要航行的时间．1.2 │ 典例类析 1.2 │ 典例类析 [点评] 解决此类问题首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，根据题意画出正确的示意图，将实际问题转化为数学问题，运用正余弦定理求解．1.2 │ 典例类析 ? 题组二 测量高度问题
【例题演练】
例1 如图1－2－7，在山顶电视转播塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β，已知塔BC部分的高为h m，则山高CD为________ m.1.2 │ 典例类析 1.2 │ 典例类析 例2 如图1－2－8，地平面上有一旗杆OP，为了测得它的高度h，在地面上选一基线AB，AB＝20 m，在A点处测得P点的仰角∠OAP＝30°，在B点处测得P点的仰角∠OBP＝45°，又测得∠AOB＝60°，求旗杆的高度h.(结果保留两个有效数字)1.2 │ 典例类析 图1－2－81.2 │ 典例类析 [点评] 在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，弄清题目中的条件与所求，根据题意画出正确的示意图，将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题时也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．1.2 │ 典例类析 ? 题组三 与三角形面积有关的问题
【例题演练】
[答案] C1.2 │ 典例类析 1.2 │ 典例类析 1.2 │ 典例类析 1.2 │ 典例类析 1.2 │ 典例类析 1.2 │ 典例类析 [点评] 解决三角形与向量、三角函数的综合题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件，然后再根据题目条件和要求选择正弦或余弦定理求解．1.2 │ 典例类析 本章总结提升本章总结提升 │ 单元回眸单元回眸本章总结提升│ 整合创新整合创新本章总结提升│ 整合创新本章总结提升│ 整合创新本章总结提升│ 整合创新 [分析] 本小题主要考查同角三角函数间的关系，两角和差的三角函数、二倍角公式、正弦定理等基础知识及基本运算能力．本章总结提升│ 整合创新本章总结提升│ 整合创新 [点评] 熟练掌握正弦定理是解决本题的关键，同时注意有关三角函数公式的应用．本章总结提升│ 整合创新本章总结提升│ 整合创新[答案] C本章总结提升│ 整合创新本章总结提升│ 整合创新本章总结提升│ 整合创新 [分析] 先由向量数量积的定义得出△ABC的边角关系，再依据判定方法判定或求值．本章总结提升│ 整合创新本章总结提升│ 整合创新 [点评] 方法一中用到了三角函数中两角差的正弦函数公式，但应注意在根据三角函数值求角时，一定要先确定角的范围．另外，也可运用同角三角函数的商数关系，在等式sinBcosA＝sinAcosB两端同除以cosAcosB得tanA＝tanB，再由0＜A，B＜π，得A＝B.本章总结提升│ 整合创新 ? 题组四 利用正、余弦定理解决实际问题
【例题演练】
例1 一缉私艇发现在北偏东45°方向，距离12 n mile的海上有一走私船正以10 n mile/h的速度沿南偏东75°方向逃窜，若缉私艇的速度为14 n mile/h，缉私艇沿北偏东45°＋α的方向追去，若要在最短的时间内追上该走私船，则追上所需的时间为________ h，α角的正弦值为________．本章总结提升│ 整合创新本章总结提升│ 整合创新 [点评] 将海上问题作为应用题背景，研究最多的是方向角，解答时应当根据所学的简单地理知识，先确定正北方向，根据题中条件作出其他方向角的位置示意图，再分析图中的已知量和未知量，将应用问题转化为解三角形问题．本章总结提升│ 整合创新本章总结提升│ 整合创新
[分析] 分别解△ACD，△BCD，构造含有边CD的可解三角形． 本章总结提升│ 整合创新本章总结提升│ 整合创新 [点评] 本例是求解测量不能到达的两点间的距离问题，它充分体现了正弦定理在测量学中的广泛应用．解题的关键是仔细分析清楚题意，构造出可解的三角形，并找出解哪些三角形最利于解题，然后再利用正、余弦定理给出解答．本章总结提升│ 整合创新本章总结提升│ 体验高考体验高考本章总结提升│ 体验高考 [解析] D ∵acosA＝bsinB，∴sinAcosA＝sin2B，
∴sinAcosA＋cos2B＝sin2B＋cos2B＝1.本章总结提升│ 体验高考本章总结提升│ 体验高考本章总结提升│ 体验高考本章总结提升│ 体验高考本章总结提升│ 体验高考本章总结提升│ 体验高考本章总结提升│ 体验高考本章总结提升│ 体验高考本章总结提升│ 体验高考本章总结提升│ 体验高考本章总结提升│ 体验高考本章总结提升│ 体验高考本章总结提升│ 体验高考本章总结提升│ 体验高考