《志鸿全优设计》2013-2014学年高中数学北师版选修4—5单元检测：第二章几个重要的不等式（含答案）

数学北师版选修4—5第二章几个重要的不等式单元检测
(时间：90分钟　满分：100分)
一、选择题(每小题5分，共50分)
1．已知x＋3y＋5z＝6，则x2＋y2＋z2的最小值为(　　)．
A． B． C． D．6
2．已知3x2＋2y2≤1，则3x＋2y的取值范围是(　　)．
A． B． C． D．[－5,5]
3．已知a，b，c∈R＋，则a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正负情况是(　　)．
A．大于零 B．大于等于零 C．小于零 D．小于等于零
4．用数学归纳法证明(a≠1，n∈N＋)．在验证n＝1成立时，左边计算所得的项是(　　)．
A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3
5．(k＝1,2,3，…)，则Sk＋1＝(　　)．
A． B．
C． D．
6．设n∈N＋，则4n与3n的大小关系是(　　)．
A．4n＞3n B．4n＝3n C．4n＜3n D．不确定
7．设a，b，c∈(0，＋∞)，a＋b＋4c2＝1，则的最大值是(　　)．
A．5 B． C．8 D．
8．用数学归纳法证明(n∈N＋)时，从“n＝k”到“n＝k＋1”，等式左边需增添的项是(　　)．
A． B．
C． D．
9．用数学归纳法证明“42n－1＋3n＋1(n∈N＋)能被13整除”的第二步中，当n＝k＋1时为了使用归纳假设，对42k＋1＋3k＋2变形正确的是(　　)．
A．16(42k－1＋3k＋1)－13×3k＋1
B．4×42k＋9×3k
C．(42k－1＋3k＋1)＋15×42k－1＋2×3k＋1
D．3(42k－1＋3k＋1)－13×42k－1
10．设函数f(n)＝(2n＋9)·3n＋1＋9，当n∈N＋时，f(n)能被m(m∈N＋)整除，猜想m的最大值为(　　)．
A．9 B．18 C．27 D．36
二、填空题(每小题5分，共25分)
11．设f(n)＝62n－1＋1，则f(k＋1)用含有f(k)的式子表示为________．
12．已知数列{an}的各项均为自然数，a1＝1且它的前n项和为Sn，若对所有的正整数n，有Sn＋1＋Sn＝(Sn＋1－Sn)2成立，通过计算a2，a3，a4可归纳出Sn＝__________________________．
13．设a，b，c为正数，则的最小值是__________．
14．在△ABC中，不等式成立；在四边形ABCD中，不等式
成立；在五边形ABCDE中，不等式成立．猜想在n边形A1A2…An中，其不等式为__________．
15．三角形的三边a，b，c对应的高为ha，hb，hc，r为三角形内切圆的半径．若ha＋hb＋hc的值为9r，则此三角形为__________三角形．
三、解答题(共25分)
16．(10分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＋an＝2n＋1．
(1)写出a1，a2，a3，并推测an的表达式．
(2)用数学归纳法证明所得结论．
17．(15分)设ai∈R＋(i＝1,2，…，n)，a1＋a2＋…＋an＝1，求证：
．

参考答案
1．答案：C　由柯西不等式，得
．
当且仅当，即，，时等号成立．
2．答案：C　．所以．
3．答案：B　设a≥b≥c＞0，所以a3≥b3≥c3．
根据排序不等式，得a3×a＋b3×b＋c3×c≥a3b＋b3c＋c3a．
又知ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2，
所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab．
所以a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab．
即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0．
4．答案：C　当n＝1时，左边＝1＋a＋a2．
5．答案：C
．
6．答案：A　4n＝(1＋3)n．根据贝努利不等式，有(1＋3)n≥1＋n×3＝1＋3n＞3n，即4n＞3n．
7．答案：B　，
∴．
当且仅当，时等号成立．
8．答案：C　由，可得到从“n＝k”到“n＝k＋1”时增添的项为．
9．答案：A　42k＋1＋3k＋2＝16×42k－1＋3k＋2＝16(42k－1＋3k＋1)＋3k＋2－16×3k＋1＝16(42k－1＋3k＋1)－13×3k＋1．
10．答案：D
11．答案：36f(k)－35　f(k)＝62k－1＋1，f(k＋1)＝62(k＋1)－1＋1＝62k－1·62＋1＝36·62k－1＋1＝36(62k－1＋1)－35＝36f(k)－35．
12．答案：　由已知，得，
∴，
两式相减，得．
∴an＋1－an＝1，
即{an}为等差数列，公差d＝1．
∴a2＝2，a3＝3，…，an＝n．
∴．
13．答案：121　
．
当且仅当(k为正实数)时等号成立．
14．答案：
15．答案：等边　记三角形的面积为S，
则2S＝aha＝bhb＝chc．
又因为2S＝r(a＋b＋c)，
所以
．
由柯西不等式，得
＝
．
所以ha＋hb＋hc≥9r，当且仅当a＝b＝c时取等号．
故ha＋hb＋hc＝9r时，三角形为等边三角形．
16．答案：解：(1)，，．
猜想：．
(2)证明：①当n＝1时，，猜想成立．
②假设n＝k(k∈N＋，且k≥1)时，成立．
当n＝k＋1时，a1＋a2＋…＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1，
且a1＋a2＋…＋ak＝2k＋1－ak，
∴2k＋1－ak＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3．
∴，
∴．
∴当n＝k＋1时，猜想成立．
综合①②知，(n∈N＋)成立．
17．答案：证明：首先证明对任何ai∈R＋(i＝1,2，…，n)，有
．
事实上，由柯西不等式，得
．
又由柯西不等式，得
．
∵a1＋a2＋…＋an＝1，
∴
．
∴．