《志鸿全优设计》2013-2014学年高中数学湘教版必修2单元检测：第5章　三角恒等变换（含答案）

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数学湘教版必修2第5章　三角恒等变换单元检测
(时间：45分钟　满分：100分)
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．(2011北京高一期末检测)已知角α的终边经过点P(1， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 )，则cos 2α的值为(　　)
A． HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 B． HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 C． HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 D． HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
2．(2011重庆南开中学高一检测)设θ∈ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，则cos θ－sin θ的值是(　　)
A． HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 B． HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 C． HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 D． HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
3．(原创题)函数f(x)＝sin2 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 －1的最小正周期为(　　)
A． HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 B． HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 C．π D．2π
4．(2011浙江高考，理6)若0＜α＜ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ＜β＜0， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，则 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 (　　)
A． HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 B． HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 C． HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 D． HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
5．(2012重庆高考，理5)设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为(　　)www.21-cn-jy.com
A．－3 B．－1 C．1 D．3
6．函数y＝sin 2x－2cos2x的最大值是 (　　)
A． HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 B．1
C． HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 D．3
7．(2011浙江宁波高一期中检测)若 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，则 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 等于(　　)
A． HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 B． HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 C． HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 D． HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
8．(2011辽宁沈阳高一检测)函数y＝cos x(sin x－ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 cos x)＋ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 在区间 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的简图是(　　)21cnjy.com
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二、填空题(每小题5分，共15分)
9．sin 14°cos 16°－cos 166°sin 16°的值是__________．
10．(2011福建宁德高一检测)已知tan θ＝2，则 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的值是__________．
11．(2011浙江台州高一检测)若向量a＝(sin 10°，cos 10°)，b＝(sin 70°，cos 70°)，则|2a－b|＝________.21·cn·jy·com
三、解答题(每小题15分，共45分)
12．求值：cos 50°(tan 10°－ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 )．
13．已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，－sin β)，|a－b|＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 .
(1)求cos(α＋β)的值；
(2)若0＜α＜ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ＜β＜0，且sin β＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，求sin α的值．
14．(2011山东潍坊高一质检)已知函数f(x)＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ＋sin 2x＋a的最大值为1.
(1)求常数a的值；
(2)求函数f(x)的单调递增区间；
(3)若将f(x)的图象向左平移 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 上的最大值和最小值．2·1·c·n·j·y
参考答案
1. 答案：A
解析：依题意知 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
所以cos 2α＝2cos2α－1＝2· HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 －1＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 .
2. 答案：D
解析：由 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，得sin 2θ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
于是(cos θ－sin θ)2＝1－sin 2θ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
而θ∈ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
所以cos θ＜sin θ，于是cos θ－sin θ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 .
3. 答案：B
解析：由于f(x)＝sin2 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 －1＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 －1＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 sin 4x－ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，所以最小正周期为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 .
4. 答案：C
解析：根据条件可得α＋ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ∈ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 .
5. 答案：A
解析：因为tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的两根，所以tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2，而tan(α＋β)＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ＝－3，故选A．21世纪教育网版权所有
6. 答案：A
解析：函数y＝sin 2x－2cos2x＝sin 2x－cos 2x－1
＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
所以函数y＝sin 2x－2cos2x的最大值是 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 .
7. 答案：A
解析：由于 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
于是 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 －1＝2· HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 －1＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 .
8. 答案：A
解析：由于y＝cos x(sin x－ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 cos x)＋ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
＝cos xsin x－ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 cos2x＋ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
又因为x∈ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，故简图是A．
9. 答案：
解析：sin 14°cos 16°－cos 166°sin 16°＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 .21教育网
10. 答案： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
解析： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 [21世纪教育网
＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 .
11. 答案： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 21世纪教育网
解析：|2a－b|＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 .
12．解：cos 50°(tan 10°－ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 )＝cos 50° HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 .
13. 解：(1)|a|2－2a·b＋|b|2＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
2－2(cos αcos β－sin αsin β)＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
∴cos(α＋β)＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 .[21世纪教育网]
(2)∵ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ＜β＜0，且sin β＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
∴cos β＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ＜β＜0.[来源:21世纪教育网]
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ＜α＋β＜ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 .
又∵cos(α＋β)＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，∴0＜α＋β＜ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 .
∴sin(α＋β)＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 .
∴sin α＝sin [(α＋β)－β]
＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β
＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 .
14. 解：(1)∵f(x)＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ＋sin 2x＋a
＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 cos 2x＋sin 2x＋a＝2sin HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ＋a≤1，
∴2＋a＝1，∴a＝－1.
(2)由(1)知f(x)＝2sin HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 －1，
令2kπ－ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ≤2x＋ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ≤2kπ＋ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
解得kπ－ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ≤x≤kπ＋ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 .
∴函数f(x)的单调递增区间为
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 (k∈Z)．
(3)∵将f(x)的图象向左平移 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 个单位，得到函数g(x)的图象，
∴g(x)＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 －121世纪教育网
＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 .
∵x∈ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，∴2x＋ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ∈ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 .
∴当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 时，即当x＝0时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，g(x)取得最大值 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ；
当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 时，即当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，g(x)取得最小值－3.
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