《志鸿全优设计》2013-2014学年高中数学湘教版必修4单元检测：第8章　解三角形（含答案）

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数学湘教版必修4第8章　解三角形单元检测
一、选择题
1．(2012广东深圳检测)在△ABC中，若A＝60°，，，则角B的大小为(　　)．
A．30° B．45°
C．135° D．45°或135°
2．(原创题)在△ABC中，若其面积为S，且·＝，则角A的大小为(　　)．
A．30° B．60° C．120° D．150°
3．若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，则△ABC(　　)．
A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
4．(2012山东青州高二检测)如图，设 ( http: / / www.21cnjy.com )A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为(　　)．21世纪教育网版权所有
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A．m B．m
C．m D．m
5．(2012福建厦门检测)在△ABC中，如果a＝c，B＝30°，那么角A等于(　　)．
A．30° B．45° C．60° D．120°
6．在钝角三角形ABC中，已知a＝1，b＝2，则最大边c的取值范围是(　　)．
A．1＜c＜3 B．c＞
C．＜c＜3 D．1＜c＜21世纪教育网
7．(2012重庆万州期中检测)在△ABC中，已知三边之比为a∶b∶c＝2∶3∶4，则的值等于(　　)．www.21-cn-jy.com
A．1 B．2
C．－2 D．
8．(2012湖北高考，文8)设△ABC的 ( http: / / www.21cnjy.com )内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，3b＝20acos A，则sin A∶sin B∶sin C为(　　)．
A．4∶3∶2 B．5∶6∶7
C．5∶4∶3 D．6∶5∶4
二、填空题
9．(2012山东济南高二检测)若△ABC的面积为，BC＝2，C＝60°，则边长AB的长度等于__________．2·1·c·n·j·y
10．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝__________.【来源：21·世纪·教育·网】
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11．(2012安徽滁州检测)在△ABC中，D为边BC的中点，AB＝2，AC＝1，∠BAD＝30°，则AD＝__________.www-2-1-cnjy-com
三、解答题
12．(2012河北石家庄高二检测)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，若cos B＝，且△ABC的周长为5，求边b的长．　　21*cnjy*com
13．(2012福建南平检测)如图所示，L是海面上一条南北方向的海防警戒线，在L上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20 km处和54 km处．某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，8 s后监测点A,20 s后监测点C相继收到这一信号．在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s.【来源：21cnj*y.co*m】
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(1)设A到P的距离为x km，用x分别表示B，C到P的距离，并求x的值；
(2)求静止目标P到海防警戒线L的距离(结果精确到0.01 km)．
14．在△ABC中，已知a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足btan A＝(2c－b)tan B．【出处：21教育名师】
(1)求角A的值；
(2)若，求b－2c的取值范围．
参考答案
1. 答案：B　解析：由正弦定理得，
所以，
由于BC＞AC，所以A＞B，而A＝60°，
所以B＝45°.
2. 答案：A　解析：由于S＝AB·AC·sin A，而·＝AB·AC·cos A，所以AB·AC·cos A＝·AB·AC·sin A，于是tan A＝，故A＝30°.[来源:21世纪教育网]21·世纪*教育网
3. 答案：C　解析：由已知得a∶b∶c＝5∶11∶13，
所以c边最长，C角最大，且cos C＝＜0，即C为钝角，因此三角形为钝角三角形.
4. 答案：A　解析：在△ABC中，∠ABC＝180°－45°－105°＝30°，由正弦定理可得，即，解得m.
5. 答案：D　解析：由a＝c得sin A＝sin C，
即sin A＝sin(150°－A)，
即sin A＝cos A＋sin A，
即tan A＝，由于A是三角形内角，
所以A＝120°.21世纪教育网
6. 答案：C　解析：首先在三角形ABC中应有1＜c＜3，又因为c是最大边，所以C为钝角，于是由余弦定理得cos C＝＜0，解得，因此c的取值范围是＜c＜3.21·cn·jy·com
7. 答案：B　解析：不妨设a＝2，b＝3，c＝4，则，于是.
8. 答案：D　解析：由题意可设a＝b＋1，c＝b－1.
又∵3b＝20a·cos A，∴3b＝20(b＋1)·.整理得，7b2－27b－40＝0.解之得，b＝5，故a＝6，b＝5，c＝4，即sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝6∶5∶4.
9. 答案：2　解析：由已知得＝·BC·AC·sin C，
所以＝·2·AC·，因此AC＝2.
由余弦定理可得
＝＝2.
10. 答案：　解析：在△BDC中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°，由正弦定理得，即，解得.在Rt△ACB中，tan∠ACB＝，所以塔高AB＝BC·tan 60°＝.2-1-c-n-j-y
11. 答案：　解析：设BD＝DC＝m，AD＝x，由余弦定理可得cos∠ADB＝，cos∠ADC＝，则有，[来源:21世纪教育网]
整理得x2＋m2＝.①
又在△ABD中，cos 30°＝，
于是x2－m2＝x－4，②
由①②可解得.
12. 答案：解：因为，所以有，即c＝2a，
又因为△ABC的周长为5，所以b＝5－3a，
由余弦定理得b2＝c2＋a2－2accos B，
即(5－3a)2＝(2a)2＋a2－4a2×，
解得a＝1，所以b＝2.
13. 答案：解：(1)依题意，PA－PB＝1.5×8＝12(km)，PC－PB＝1.5×20＝30(km).
因此PB＝x－12，PC＝18＋x.
在△PAB中，AB＝20 km，，
同理，在△PAC中，cos∠PAC＝，
由于cos∠PAB＝cos∠PAC，
即，解得(km).
(2)作PD⊥L，垂足为D.在Rt△PDA中，21世纪教育网
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PD＝PAcos∠APD＝PAcos∠PAB＝x·＝≈17.71(km).
答：静止目标P到海防警戒线L的距离约为17.71 km.
14. 答案：解：(1)根据正弦定理，由b ( http: / / www.21cnjy.com )tan A＝(2c－b)tan B得sin Btan A＝(2sin C－sin B)tan B，21教育网
即sin B·＝(2sin C－sin B)·，
所以＝(2sin C－sin B)·，
整理得sin Acos B＋cos Asin B＝2sin Ccos A，
即sin(A＋B)＝2sin Ccos A，sin C＝2sin Ccos A，
于是cos A＝，所以A＝60°.
(2)由正弦定理结合(1)可得，所以b＝4sin B，c＝4sin C，
于是b－2c＝4sin B－8sin C＝4sin B－8sin(120°－B)＝cos B.由于A＝60°，所以0°＜B＜120°，21cnjy.com
于是＜cos B＜1，故，即b－2c的取值范围是(，).
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