全国初中数学竞赛试题精编
第04讲 解直角三角形
题型 选择题 填空题 简答题 总计
题数 10 10 5
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，在中，，，若，则的长为( )
A. B. C. D.
【答案】
C
【解析】
【分析】
根据题意，先求出，再利用勾股定理求出．
本题考查了锐角三角函数，涉及勾股定理，属于基础题．
【解答】
解：在中，
，
，
．
故选：．
2. 如图，是的高．若，，则边的长为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】
D
【解析】解：，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
故选：．
利用三角函数求出，在中，利用勾股定理可得的长．
本题主要考查了解直角三角形，勾股定理等知识，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
3. 如图已知，，，，将沿过点的直线折叠，使点落在斜边上的点处，的值是( )
A. B. C. D.
【答案】
A
【解析】解：设，
，，
，，，
将沿过点的直线折叠，使点落在斜边上的点处，
，，
，，
在中，，
，
，
，
在中，
，
故选：．
设，可得，，，根据将沿过点的直线折叠，使点落在斜边上的点处，即得，，故BE，可得，在中，．
本题考查含角的直角三角形中的翻折变换，解题的关键是掌握翻折的性质，能熟练应用含角的直角三角形三边的关系．
4. 如图，在中，，，，则边的长是( )
A. B. C. D.
【答案】
D
【解析】
【分析】
本题主要考查的是勾股定理，解直角三角形的有关知识，先求出，然后解直角三角形求出，最后利用勾股定理求解即可．
【解答】
解：，，
，
，
，
，
，
5. 如图，是的高．若，，则边的长为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】
B
【解析】解：由题意可知，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
．
故选：．
利用题目信息得到的长度，然后根据和的长度判断出的形状，然后根据特殊直角三角形的三边关系得到的长度．
本题考查解直角三角形与三角形的高，能够充分利用含有角的直角三角形的三边关系是解答本题的关键．
6. 如图，在中，，，，则的长为( )
A. B. C. D.
【答案】
D
【解析】解：过点作，垂足为，
，
．
，
，
在中，
，
故选：．
过点作，垂足为先利用、求出，再在中求出．
本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形中的边角间关系是解决本题的关键．
7. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，连接若，则的长是( )
A. B. C. D.
【答案】
A
【解析】由条件知，
又，，
所以，．
所以．
8. 在中，各边都扩大倍，则角的三角函数值( )
A. 扩大倍 B. 缩小倍 C. 不变 D. 不能确定
【答案】
C
【解析】
【分析】
本题考查了三边对应成比例，两三角形相似；相似三角形的对应角相等．掌握三角函数值只与角的大小有关，与角的边的长短无关是解决问题的关键．易得边长扩大后的三角形与原三角形相似，那么对应角相等，相应的三角函数值不变．
【解答】
解：各边都扩大倍，
新三角形与原三角形的对应边的比为：，
两三角形相似，
的三角函数值不变，
故选C．
9. 如图，矩形的四个顶点分别在直线，，，上若直线且间距相等，，，则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】
A
【解析】解：作于点，交于点，设交于点，
由已知可得，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，，
，
，
的值为，
故选：．
根据题意，可以得到的长，再根据，，可以得到的正切值，再根据平行线的性质，可以得到，从而可以得到的值．
本题考查矩形的性质，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，若，，则的长为( )
A. B. C. D.
【答案】
D
【解析】
【分析】
由锐角三角函数可求，由菱形的性质可得，，，由直角三角形的性质可求，即可求解．
本题考查了菱形的性质，锐角三角函数，直角三角形的性质，灵活运用菱形的性质是解答本题的关键．
【解答】
解：，
，
四边形是菱形，
，，，
，，
，
故选：．
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
11. 如图，在中，，是的中点，过点作的垂线交于点，，，则 ．
【答案】
【解析】
【分析】
本题考察了解直角三角形的相关知识，能够熟练运用勾股定理、相似三角形等相关知识是解题的关键．
在中，先求出，，继而求出；再由∽，利用对应边成比例即可求出．
【解答】
解：在中，
，，
，
．
点是的中点，
．
，，
∽，
，即，
解得．
故答案为．
12. 如图，在矩形中，点是边上一点，于点若，，则的长为 ．
【答案】
【解析】
【分析】
根据矩形的性质和解直角三角形即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．
【解答】
解：在矩形中，，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
13. 一数学兴趣小组来到某公园，准备测量一座塔的高度．如图，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，又测量出，两点的距离为米，则塔高为 米．
【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了解直角三角形的应用，在中有，在中，，由此可得，解之即可．
【解答】
解：在中有，
在中，，
，
．
故答案为．
14. 如图，已知在平行四边形中，，，，点是边上一点，连接，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，如果点恰好落在平行四边形的边上，那么的值是______ ．
【答案】
或
【解析】解：如图中，当点落在边上时，过点作于，交的延长线于设．
在中，，，
，，
将线段绕着点顺时针旋转得到线段，
，，
，
，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图，当点落在边上时，
将线段绕着点顺时针旋转得到线段，
，
，
在中，，，
；
如图，点落在直线上时，过点作于点，
将线段绕着点顺时针旋转得到线段，
，，
由可知，，
，
，
此时点落在的延长线上，不合题意舍去．
综上所述，的值是或，
故答案为：或．
分三种情况：如图中，当点落在上时，过点作于，交的延长线于设如图，当点落在上时，如图中，当点落在直线上时，根据旋转的性质和平行四边形的性质以及三角函数的定义即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质、锐角三角函数、勾股定理、解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
15. 如图，矩形中，，，点是上的动点，连接，将沿着折叠，点落在处，若，则的长度是______．
【答案】
【解析】解：过点作，垂足为，并延长交于点，
设，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
由折叠可得：
，，
，
，
，
∽，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
经检验：是原方程的根，
，
故答案为：．
过点作，垂足为，并延长交于点，设，根据矩形的性质可得，，，从而可得，，再利用折叠的性质可得，，然后根据已知易证∽，利用相似三角形的性质可得，，从而表示出，，的长，最后根据，列出关于的方程进行计算即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，翻折变换折叠问题，矩形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
16. 如图，在中，，点在上，，若，，则的长度为______．
【答案】
【解析】解：，，，
，
，
，
．
，
，
故答案为：．
在中，由锐角三角函数求得，再由勾股定理求得，最后在中由锐角三角函数求得．
本题考查了解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题关键．
17. 如图，在菱形中，是锐角，点是的中点，与交于点，点在上，与交于点，若，，则 ．
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查相似三角形综合题，菱形的性质、解直角三角形、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
如图中：过点作交的延长线于由，可以假设，，在中，根据，构建方程求出，再证明即可解决问题；
【解答】
解：如图中：过点作交的延长线于．
四边形是菱形
，
点是中
设，
．
，
，，
，
可以假设，，
在中，，
，
整理得：，
解得或舍弃，
，，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
是等边三角形，
，
，
∽，
，
．
故答案为．
18. 如图，在矩形中，，，点是对角线上一动点，连接，以，为邻边作 ，连接，则线段的最小值为 ．
【答案】
【解析】分析：
本题考查的是垂线段最短，平行四边形性质和解直角三角形，难度适中。
先确定线段的最小值时，再利用解直角三角形求出即可。
解答：
四边形为平行四边形，
，
当时，线段的长最小，最小值即为与之间的距离，
即点到的距离．
如解图，过点作于点，
，，
，
，
即点到的距离为，
线段长的最小值为．
19. 如图，的顶点是正方形网格的格点，则______．
【答案】
【解析】解：连接，
由图可得，，，，
，
是直角三角形，，
同理，，，
，
，
故答案为．
连接，根据图形，可以求得、、的长，然后根据勾股定理的逆定理可以得到时直角三角形，再根据图形，可以得到、的长，即可得到的长，然后即可得到的值．
本题考查解直角三角形、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20. 在中，，，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的知识点是三角函数定义，根据，即可得到，代入，即可得到答案．
【解答】
解：，，
．
故答案为．
三、解答题（本大题共5小题，共40.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21. 本小题分
如图，在中，是边上的高，为的中点，，，求：
线段的长；
的值．
【答案】
解：是边上的高，和是，
在中，
，，
，
，
，
又，
；
在中，
为斜边的中点，
，
，
．
【解析】在中，根据已知条件求出边的长，再由的长，可以求出的长；
根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，求出，从而求出的正切值即求出了的值．
此题要灵活应用三角函数公式和解直角三角形的公式，同时还要掌握“直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半“等知识点．
22. 本小题分
如图，在中，，，，求的长和．
【答案】
解：，，
；
，
．
【解析】此题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握正弦、余弦、正切定义．利用锐角三角函数的定义可得，再代入的值可得的值；再利用勾股定理计算出的长，然后再利用正切定义计算即可．
23. 本小题分
计算：；
已知中，，，，解这个直角三角形．
【答案】
解：
；
在中，，，，
，，
，
，
，
，，．
【解析】将特殊角的三角函数值代入，再根据实数的混合运算法则计算即可；
根据直角三角形的边角关系求出，、即可．
本题考查了解直角三角形，含度角的直角三角形的性质，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的关键．
24. 本小题分
如图，在中，，，，以为腰，点为顶点作等腰，且，求的长．
【答案】
解：如图，过点在左侧作，且，连接，，则，
．
又，
，
．
过点作于点，
，，
，
．
，
，
在中，由勾股定理，得，
．
【解析】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质、锐角三角函数定义有关知识，难度适中。
先作，再证三角形全等，最后利用三角函数和勾股定理即可求解。
25. 本小题分
如图，在中，于点，，分别是，的中点，是的中点，的延长线交线段于点，连结，，．
求证：四边形是平行四边形．
当，时，求的长．
【答案】
证明：，分别是，的中点，
是的中位线，
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是平行四边形．
解：，
，
是的中点，
，
，
，
即，
，
，
，
由可知，四边形是平行四边形，
．
【解析】由三角形中位线定理得，则，再证≌，得，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
由直角三角形斜边上的中线性质得，则，再由锐角三角函数定义得，然后由勾股定理得，则，进而由平行四边形的性质即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及锐角三角函数定义等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
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第04讲 解直角三角形
题型 选择题 填空题 简答题 总计
题数 10 10 5
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，在中，，，若，则的长为( )
A. B. C. D.
2. 如图，是的高．若，，则边的长为( )
A.
B.
C.
D.
3. 如图已知，，，，将沿过点的直线折叠，使点落在斜边上的点处，的值是( )
A. B. C. D.
4. 如图，在中，，，，则边的长是( )
A. B. C. D.
5. 如图，是的高．若，，则边的长为( )
A.
B.
C.
D.
6. 如图，在中，，，，则的长为( )
A. B. C. D.
7. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，连接若，则的长是( )
A. B. C. D.
8. 在中，各边都扩大倍，则角的三角函数值( )
A. 扩大倍 B. 缩小倍 C. 不变 D. 不能确定
9. 如图，矩形的四个顶点分别在直线，，，上若直线且间距相等，，，则的值为( )
A. B. C. D.
10. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，若，，则的长为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
11. 如图，在中，，是的中点，过点作的垂线交于点，，，则 ．
12. 如图，在矩形中，点是边上一点，于点若，，则的长为 ．
13. 一数学兴趣小组来到某公园，准备测量一座塔的高度．如图，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，又测量出，两点的距离为米，则塔高为 米．
14. 如图，已知在平行四边形中，，，，点是边上一点，连接，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，如果点恰好落在平行四边形的边上，那么的值是______ ．
15. 如图，矩形中，，，点是上的动点，连接，将沿着折叠，点落在处，若，则的长度是______．
16. 如图，在中，，点在上，，若，，则的长度为______．
17. 如图，在菱形中，是锐角，点是的中点，与交于点，点在上，与交于点，若，，则 ．
18. 如图，在矩形中，，，点是对角线上一动点，连接，以，为邻边作 ，连接，则线段的最小值为 ．
19. 如图，的顶点是正方形网格的格点，则______．
20. 在中，，，，则________．
三、解答题（本大题共5小题，共40.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21. 本小题分
如图，在中，是边上的高，为的中点，，，求：
线段的长；
的值．
22. 本小题分
如图，在中，，，，求的长和．
23. 本小题分
计算：；
已知中，，，，解这个直角三角形．
24. 本小题分
如图，在中，，，，以为腰，点为顶点作等腰，且，求的长．
25. 本小题分
如图，在中，于点，，分别是，的中点，是的中点，的延长线交线段于点，连结，，．
求证：四边形是平行四边形．
当，时，求的长．
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