5.6.1匀速圆周运动的数学模型5.6.2函数y=Asin（ωx+φ）的图象课件(共27张PPT)-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

(共27张PPT)
课程目标 学科素养
1.经历匀速圆周运动数学建模的过程，了解正弦型函数的现实背景，体会三角函数与现实世界的紧密联系. 2，掌握匀速圆周运动的数学模型，会用其解决相关的实际建模问题，进一步巩固三角函数的图像与性质. 3.借助计算机画出函数y＝Asin(ωx+φ) 的图象，观察参数Φ，ω，A对函数图象变化的影响； 4.体会数形结合以及从特殊到一般的化归思想;培养学生从不同角度分析问题，解决问题的能力. 1数学抽象：三个参数对函数图像变化的影响；
2.直观想象：由函数图像归纳规律；
3.数学运算：运用规律解决问题；
4.逻辑推理：由特殊到一般的归纳推理；
5.数学建模：匀速圆周运动建模.
5.6函数y=Asin（ωx+φ）（第1课时）
复习回顾
三角函数的概念
﹒
角 终边与单位圆的交点为 ，则
温故知新
特殊到一般思考：“一般的匀速圆周运动”该用怎样的数学模型刻画？
5.6.1匀速圆周运动的数学模型
筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.
探究一 匀速圆周运动的数学模型
5.6.1 匀速圆周运动的数学模型
5.6.1匀速圆周运动的数学模型
问题1：假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒（视为质点）距离水面的相对高度与时间的关系吗？
首先我们将实际问题转化为数学问题
你觉得怎样建系比较好？
转轮中心为原点
问题2：假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒(视为质点)距离水面的相对高度与时间的关系吗？
探究新知
问(1)筒车（点P）与水面的高度与哪些量有关？
问(2)点P与x轴的距离与什么量有关？可用什么知识点来求解？
问(3)OP与x轴正半轴的夹角与什么量有关？怎么表示？
问(4)盛水筒距离水面的高度H与时间t的关系是：
r是半径， 是单位时间内转过的角度， 是盛水筒初始位置与x轴正半轴所成的夹角，h是转轮中心距离水面的高度
点P到x轴的距离，x轴到水面的距离
点P的纵坐标
终边OP与x轴正半轴所成的夹角
三角函数的定义
初始角度
转过的角度
探究新知
问题3:
导入:
知道它们的变化对函数图象的影响,就能把握这个函数的性质
y=Asin(ωx+φ)（其中A>0, ω>0）
　　从解析式看，函数 y=sin x 就是函数 y=Asin(ωx+φ)在A=1，ω=1，φ=0时的特殊情形．
　探索:我们可以借助熟悉的函数y=sin x的图象与性质研究参数A，ω，φ对函数y=Asin(ωx+φ)的影响.
思考(1)：当 φ=0 时, 点P的纵坐标是什么？
取A=1， ，动点M在单位圆O1上以单位角速度按逆时针方向运
动.如果点M以Q0为起点，(此时 φ=0 )，经过 x 秒后运动到点P，那么点P的纵坐
标 就等于 sin x .以 ( x, y) 为坐标描点，可得正弦函数 y=sin x 的图像.


思考（2）：如果使点Q0绕点 O1 旋转 到Q1 ，图象又有什么变化 （直观想象）
思考（3）：点P的纵坐标是什么 点F的轨迹对应的函数解析式是什么
1. 探究 φ 对 y=sin(x+φ) 的图象的影响
-
-
-1
1
O1
P
F
G
，当起点位于 时， ，可得函数
的图象．
直观想象：在单位圆上拖动起点 ,使点 绕点 旋转 到 ，你发现
图象有什么变化
所有点向左平移 个单位长度
探究二 函数 y =Asin(ωx+φ)的图象与性质
1. 探究 φ 对 y=sin(x+φ) 的图象的影响
取A=1，
自主探究：(3)如果 取 ， ，对应的函数图象如何变化呢？
并给出合理的解释
所有点向右平移 个单位长度
O1
P
F
G
O
知识点二 函数 y =Asin(ωx+φ)的图象与性质
1. 探究 φ 对 y=sin(x+φ) 的图象的影响
展示：
o
x
y
P
y=sin(x+φ)
所有点向左（当φ>0时）或向右
平移|φ|个单位长度
任意角呢
思考（4）如果 取
（当φ<0时)
O1
探究二 函数 y =Asin(ωx+φ)的图象与性质
1. 探究 φ 对 y=sin(x+φ) 的图象的影响
你能归纳 φ 对 y=sin(x+φ) 的图象的影响的一般化结论吗
取不同值表示质点以不同的角速度做匀速圆周运动．
追问：结合筒车模型，ω取不同值表示什么含义？
2、探究：参数ω对函y=sin(ωx+φ)图象的影响
确定方案：固定φ的值，改变参数ω探究
P
x
y
Q1
ωx
φ
-φ
y=sin(x+)
2、探究参数ω对函y=sin(ωx+φ)图象的影响
取A=1，
，当 时可得函数 　的图象
问（5）：类比 探究 φ 对 y=sin(x+φ) 的图象的影响的研究过程，你能自主
探究参数ω对函y=sin(ωx+φ)图象的影响吗？
确定方案：固定 φ的值，改变ω的值
P
x
y
Q1
x
φ
-φ
x-φ
设A=1，φ=
当ω=1时，得到 y=sin(x+) 的图象；
y=sin(x+)
当ω=2时，得到 y=sin(2x+) 的图象.
在单位圆上，以Q1为动点的起点，动点M由Q1到达P旋转的时间为x，则旋转的角度为ωx，
y=sin(2x+)
问6：当ω=2时，作出动点 M的轨迹，其轨迹对应的 函数解析式是什么？
P
x
y
Q1
x
φ
-φ
x-φ
设A=1，φ=
y=sin(x+)
y=sin(2x+)
探究二 ：函数 y =Asin(ωx+φ)的图象与性质
问7：你能从匀速圆周运动规律和函数图象上点的坐标变化的角度进行合理的解释吗？
设当ω=1时，到达P的时间为x1 s，当ω=2时，到达P的时间为x2 s，因为旋转角度相同，即x1+ = 2x2 + ，
设G(x,y)是函数y=sin(x+)上的一点，那么K(x,y)就是函数y=sin(2x+)上的一点
所有点的横坐标缩短到原来的 倍
纵坐标不变
探究二 函数 y =Asin(ωx+φ)的图象与性质
2、探究参数ω对函y=sin(ωx+φ)图象的影响
P
x
y
Q1
ωx
φ
-
y=sin(x+)
y=sin(2x+)
设G(x,y)是函数y=sin(x+)上的一点，那么K(x,y)就是函数y=sin(2x+)上的一点
x
K(x,y)
G(x,y)
问8：当ω取时，说一说你发现的结论，并给出合理的解释
探究二 函数 y =Asin(ωx+φ)的图象与性质
探究9：你能说出参数ω对函y=sin(ωx+φ)图象的影响的一般化结论吗？
P
x
y
Q1
ωx
φ
-φ
y=sin(x+φ)
y=sin(ωx+φ)
x
K(x,y)
G(x,y)
不妨令 ，当 时，可得函数 的图象.
x
o
N
K
半径
P 的纵坐标
T 的纵坐标
横坐标不变
所有点的纵坐标伸长到原来的2倍
问（10）当 时，图象有什么变化
P
T
x
探究二 函数 y =Asin(ωx+φ)的图象与性质
3、探究参数A(A>0)对函y=Asin(ωx+φ)图象的影响
问（11）当　　　时，图象有什么变化
所有点的纵坐标缩短到原来的 倍
横坐标不变
o
x
y
K
N
P
T
x
知识点二 函数 y =Asin(ωx+φ)的图象与性质
3、探究参数A(A>0)对函y=Asin(ωx+φ)图象的影响
探究二： 函数 y =Asin(ωx+φ)的图象与性质
问12：你能说出参数A(A>0)对函y=Asin(ωx+φ)图象的影响的一般性结论吗？
问题13：你能归纳从正弦函数图象出发，通过图象变换得到函数
完成教材P236的步骤图。
y=sin(x+φ)
向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)
平移|φ|个单位长度
横坐标缩短(当 时)或伸长(当 时)
到原来的 倍(纵坐标不变)
纵坐标缩短
到原来的 倍
或伸长
(横坐标不变)
图象的过程与方法吗
探究二 函数 y =Asin(ωx+φ)的图象与性质
备选例题
1.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征。如图是一个半径为R的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的直线为x轴，建立平面直角坐标系，一个水斗从点 出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒，经过t秒后，水斗旋转到P点，设P点的坐标为
（x，y），其坐标满足 当t=100时， 　　） 　　
当t=100时，终边OP与x轴正半轴所成的夹角为
1.用函数y＝Asin(ωx＋φ)模型解决实际问题经历了怎样的研究路径和过程？
实际问题
数学问题
三角函数模型
求解三角函数问题
实际问题的解
抽象
转化
引入
构建
课堂小结
2.通过图象变换得到函数y＝Asin(ωx＋φ) 的过程与方法
教材P239：练习T2，3+P240 ：习题5．6：复习巩固1，2，3
课后作业