空间向量与立体几何单元测试
一、解答题
1．如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1的底面△ABC 中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱 AA1＝2，M，N 分别为
A1B1，A1A 的中点，试建立恰当的坐标系求向量BN ，BA1 ， A1B 的坐标．
2．在空间直角坐标系中，已知向量u (a,b,c)(abc 0) ，点P0 x0 , y0 , z0 ，点P x, y, z ．
x x y y z z
（1）若直线 l 经过点P0 ，且以u 为方向向量，P 是直线 l 上的任意一点，求证： 0 0 0a b c
（2）若平面 经过点P
0 ，且以u 为法向量，P 是平面 内的任意一点，求证： a x x0 b y y0
c z z0 0．
3．在 z 轴上求一点 M，使点 M 到点 A 1,0, 2 与点B 1, 3,1 的距离相等．
4．如图，E，F 分别是长方体 ABCD A B C D 的棱 AB，CD 的中点、化简下列表达式，并在图中标出化简
结果的向量：
（1） AA CB ； （2） AA AB BC ；
（3） AB AD B D ； （4） AB CF ．
5．如果向量 a，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底，那么 a，b 间应有什么关系？
6．如图,三棱柱OAB O1A1B1中,平面OBB1O1 平面OAB ,且 O1OB 60 , AOB 90 ,OB OO1 2,OA 3 ,
求异面直线 A1B 与O1A所成角的余弦值.
7．已知棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 ，点 M、N 分别是 A1B1 和BB1的中点，建立如图所示的空间直角
坐标系.
(1)写出图中 M、N 的坐标；
(2)求直线 AM 与 NC 所成角的余弦值.
8．在空间直角坐标系中．给定点M (1, 2,3) ，求它分别关于坐标平面、坐标轴和原点的对称点的坐标．
9．设向量 a (3,5， 4),b 2,1,8 ．
（1）求 2a 3b；
（2）求3a 2b；
（3）求 a b ；
（4）若 1a z2 b与 轴垂直，求 1, 2 满足的关系式．
10．如图，在空间直角坐标系中，BC＝2，原点 O 是 BC 的中点，点 D 在平面 yOz 内，且∠BDC＝90°，∠DCB
＝30°，求点 D 的坐标．
11．如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB 4， AD 3， AA1 5， N 为棱CC1 的中点，分别以
DA, DC, DD1所在的直线为 x轴、 y 轴、 z 轴，建立空间直角坐标系．
（1）求点 A,B,C,D, A1,B1,C1,D1的坐标；
（2）求点 N 的坐标．
12．已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 1，以 D 为原点， DA, DC, DD1 为单位正交基底建立空间直角坐
标系．求证： A1C BC1．
13．实数 λ 和空间向量 a 的乘积 a 的意义是什么？向量的数乘运算满足哪些运算律？
14．如图，在三棱锥 A BCD中，E 是 CD 的中点，点 F 在 AE 上，且EF 2FA．设BC a ，BD b ，
BA c ，求直线 AE，BF 的方向向量．
15．如图所示,已知点 P 在正方体 ABCD A′B′C′D′的对角线 BD′上,∠PDA=60°.
(1)求 DP 与 CC′所成角的大小.
(2)求 DP 与平面 AA′D′D 所成角的大小.空间向 量与立体几何单元测试答案
一、解答题
1．如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1的底面△ABC 中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱 AA1＝2，M，N 分别为
A1B1，A1A 的中点，试建立恰当的坐标系求向量BN ，BA1 ， A1B 的坐标．
【答案】BN ＝(1，－1，1)，BA1 ＝(1，－1，2)， A1B ＝(－1，1，－2)．
【分析】
以点 C 为原点，分别以 CA，CB，CC1的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系 C xyz，利用
空间向量坐标表示公式进行求解即可.
【详解】
由题意知 CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，以点 C 为原点，分别以 CA，CB，CC1的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的
正方向建立空间直角坐标系 C xyz，如图所示．
则 B(0，1，0)，A(1，0，0)，A1(1，0，2)，N(1，0，1)，
∴ BN ＝(1，－1，1)，BA1 ＝(1，－1，2)， A1B ＝(－1，1，－2)．
2．在空间直角坐标系中，已知向量u (a,b,c)(abc 0) ，点P0 x0 , y0 , z0 ，点P x, y, z ．
x x y y z z
（1）若直线 l 经过点P0 ，且以u 为方向向量，P 是直线 l 上的任意一点，求证： 0 0 0a b c
（2）若平面 P u 经过点 0 ，且以 为法向量，P 是平面 内的任意一点，求证： a x x0 b y y0
c z z0 0．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】
（1）根据空间向量平行的坐标表示即可证出；
（2）根据空间向量垂直的坐标表示即可证出．
【详解】
（1 ）因为u / /P0P，P0P x x0 , y y0 , z z0
，所以P0P u ，
即 x x0 a, y y0 b, z z c
x x y y z z
0 ，因为 abc 0，所以 0 0 0 ．a b c
（2
）因为u P0P，u (a,b,c) ，P0P x x0 , y y0 , z z0 ，
所以 a x x0 b y y0 c z z0 0．
3．在 z 轴上求一点 M，使点 M 到点 A 1,0,2 与点B 1, 3,1 的距离相等．
【答案】 (0,0, 3)
【分析】
设出点 M 的坐标，然后利用两点间的距离公式求解即可
【详解】
解：设点M (0,0, m)，
因为 M 到点 A 1,0,2 与点B 1, 3,1 的距离相等，
所以 12 02 (m 2)2 12 32 (m 1)2 ，解得m 3，
所以点 M 的坐标为 (0,0, 3)
4．如图，E，F 分别是长方体 ABCD A B C D 的棱 AB，CD 的中点、化简下列表达式，并在图中标出化简
结果的向量：
（1） AA CB ； （2） AA AB BC ；
（3） AB AD B D ； （4） AB CF ．
【答案】（1） AD ；（2） AC ；（3）0 ；（4） A E
【分析】
根据空间向量加减运算的运算法则计算即可.
【详解】
（1） AA CB AA BC AA A D AD ；
（2） AA AB B C AA A B B C AC ；
（3） AB AD B D AB AD BD DB BD 0；
（4） AB CF AB BE AE .
5．如果向量 a，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底，那么 a，b 间应有什么关系？
【答案】共线.
【分析】
直接利用基底的定义判断即可.
【详解】
因为向量 a，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底，所以 a，b 一定共线.
6．如图,三棱柱OAB O1A1B1中,平面OBB1O1 平面OAB ,且 O1OB 60 , AOB 90 ,OB OO1 2,OA 3 ,
求异面直线 A1B 与O1A所成角的余弦值.
1
【答案】
7
【分析】
以O为坐标原点,OA,OB所在直线分别为 x轴、 y 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
利用向量法求异面直线 A1B 与O1A所成角的余弦值.
【详解】
以O为坐标原点,OA,OB所在直线分别为 x轴、 y 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则 A( 3,0,0), B(0,2,0), A1( 3,1, 3),O1(0,1, 3) ,
所以 A1B ( 3,1, 3),O1A ( 3, 1, 3) .
设所求的角为 ,
则cos
|A
1B O 1 A | | 3 1 3| 1 ,
|A1B||O1A| 7 7 7
1
即异面直线 A1B 与O1A所成角的余弦值为 .7
7．已知棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 ，点 M、N 分别是 A1B1 和BB1的中点，建立如图所示的空间直角
坐标系.
(1)写出图中 M、N 的坐标；
(2)求直线 AM 与 NC 所成角的余弦值.
2
【答案】(1)M（2，1，2），N（2，2，1）.(2) ．
5
【分析】
(1)根据正方体的棱长，直接写出坐标；
(2)利用向量夹角公式能求出直线 AM 与 CN 所成的角的余弦值．
【详解】
(1)由于正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2.
由题意知 A（2，0，0），B（2，2，0），∴M（2，1，2），
C（0，2，0），∴N（2，2，1）.
(2)由(1)可知 AM 0，1，2 ，CN （2，0，1），
设直线 AM 与 CN 所成的角为 θ，
2 2
则 cosθ＝|cos＜AM，CN＞ |＝| | ．5 5 5
2
∴直线 AM 与 CN 所成的角的余弦值是 ．
5
8．在空间直角坐标系中．给定点M (1, 2,3) ，求它分别关于坐标平面、坐标轴和原点的对称点的坐标．
【答案】答案见解析
【分析】
由空间直角坐标系中的对称性直接得结论．
【详解】
解: M 1, 2,3 关于坐标平面 xOy, xOz, yOz 对称的点的坐标分别为 1, 2, 3 , 1,2,3 , 1, 2,3 ；M 1, 2,3
关于 x轴、 y 轴、 z 轴对称的点的坐标分别为 1, 2, 3 , 1, 2, 3 , 1, 2,3 ；M 1, 2,3 关于坐标原点对称
的点的坐标为 1, 2, 3 ．
9．设向量 a (3,5， 4),b 2,1,8 ．
（1）求 2a 3b；
（2）求3a 2b；
（3）求 a b ；
（4）若 1a 2 b与 z 轴垂直，求 1, 2 满足的关系式．
【答案】（1） (12,13,16) ；（2） (5，13， 28) ；（3）-21 ；（4） 1 2 2 0．
【分析】
（1）根据空间向量加法和数乘的坐标表示公式进行求解即可；
（2）根据空间向量减法和数乘的坐标表示公式进行求解即可；
（3）根据空间向量数量积的坐标表示公式进行求解即可；
（4）根据空间向量垂直的性质，结合空间向量数量积的坐标表示公式进行求解即可
【详解】
解：（1） 2a 3b 2(3,5， 4) 3 2,1,8 (12,13,16) ；
（2）3a 2b 3(3,5， 4) 2 2,1,8 (9,15， 12) 4,2,16 (5，13， 28)；
（3） a b (3,5， 4) 2,1,8 3 2 5 1 ( 4) 8 21；
（4）因为 1a 2 b与 z 轴垂直，所以 ( 1a 2 b) (0,0,1) 0，
则有 ( 1a 2 b) (0,0,1) (3 1 2 2 ,5 1+ 2， 4 1 8 2 ) (0,0,1) 4 1 8 2 0，
所以 1 2 2 0．
10．如图，在空间直角坐标系中，BC＝2，原点 O 是 BC 的中点，点 D 在平面 yOz 内，且∠BDC＝90°，∠DCB
＝30°，求点 D 的坐标．
【答案】 0,
1 3
,
2 2
.
【分析】
过点 D 作 DE⊥BC，垂足为 E，分别求得DE,OE的长，即可得出结果.
【详解】
过点 D 作 DE⊥BC，垂足为 E.
在 Rt△BDC 中，∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，BC＝2，得BD 1,CD 3,
∴ DE CD sin 30 3 ,
2
OE OB BE OB BD cos 60 1 1 1
2 2
1 3
∴点 D 的坐标为 0, , .
2 2
11．如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB 4， AD 3， AA1 5， N 为棱CC1 的中点，分别以
DA, DC, DD1所在的直线为 x轴、 y 轴、 z 轴，建立空间直角坐标系．
（1）求点 A,B,C,D, A1,B1,C1,D1的坐标；
（2）求点 N 的坐标．
【答案】（1） A 3,0,0 ，B 3,4,0 ，C 0,4,0 ，D 0,0,0 ， A1 3,0,5 ，B1 3,4,5 ，C1 0,4,5 ，
D 0,0,5 N 0, 4, 5 1 ；（2） .
2
【分析】
（1）根据顶点位置依次判断即可得到结果；
（2）由中点坐标公式计算可得结果.
【详解】
（1）D 为坐标原点，则D 0,0,0 ，
点A 在 x轴的正半轴上，且 AD 3， A 3,0,0 ，
同理可得：C 0,4,0 ，D1 0,0,5 ．
点 B 在坐标平面 xOy 内，BC CD，BA AD， B 3,4,0 ，
同理可得： A1 3,0,5 ，C1 0,4,5 ，
与 B 的坐标相比，点B1的坐标中只有 z 坐标不同， BB1 AA1 5， B1 3,4,5 ．
综上所述： A 3,0,0 ，B 3,4,0 ，C 0,4,0 ，D 0,0,0 ， A1 3,0,5 ，B1 3,4,5 ，C1 0,4,5 ，D1 0,0,5 .
（2）由（1）知：C 0,4,0 ，C1 0,4,5 ，
CC
0 0 4 4 0 5 5
则 1 的中点 N 为 , , ，即 N 0,4, .
2 2 2 2
12．已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 1，以 D 为原点， DA, DC, DD1 为单位正交基底建立空间直角坐
标系．求证： A1C BC1．
【答案】证明见解析
【分析】
用基底表示出向量 A1C, BC1 ，证明 A1C BC1 0 .
【详解】
由题意， A1C DC DA1 DC DA DD1 ,
BC1 DC1 DB DD1 DA ,
2 2
所以 A1C BC1 DC DD1 DD1 DA DD1 DA DC DA DA DD1 0
所以 A1C BC1 .
13．实数 λ 和空间向量 a 的乘积 a 的意义是什么？向量的数乘运算满足哪些运算律？
【答案】答案见解析
【分析】
利用空间向量的数乘运算的几何意义以及空间向量的数乘运算满足的运算律写出答案即可.
【详解】
0时， a 和 a方向相同；
0 时， a 和 a方向相反；
a 的长度是 a的长度的 倍.
空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：
①分配律： a b a b，
②结合律： a a .
14．如图，在三棱锥 A BCD中，E 是 CD 的中点，点 F 在 AE 上，且EF 2FA．设BC a ，BD b ，
BA c ，求直线 AE，BF 的方向向量．
a b 2c
a b 4c
【答案】直线 AE 的方向向量 AE ，直线 BF 的方向向量BF .
2 6
【分析】
由已知线段所表示的空间向量，应用向量加减运算的几何意义求得 AD 、 AC ，即可求 AE ，再由EF 2FA
AF AE
知 ，即可求BF .
3
【详解】
在△ BAD 中，BD b ，BA c ，则 AD BD BA b c ，
在△ BAC 中，BC a ，BA c ，则 AC BC BA a c ，
∵在△ DAC 中，E 是 CD 的中点，
∴ AE AD AC a b 2c
AE a b 2c
，而EF 2FA，即 AF ，
2 2 3 6
∴ △ BAF BF BA AF c a b 2c a b 4c在 中， .
6
6
a b 2c
∴ a b 4c直线 AE，BF 的方向向量分别为 AE 、BF .
2 6
15．如图所示,已知点 P 在正方体 ABCD A′B′C′D′的对角线 BD′上,∠PDA=60°.
(1)求 DP 与 CC′所成角的大小.
(2)求 DP 与平面 AA′D′D 所成角的大小.
【答案】（1）45°.（2）30°.
【分析】
（1）以 D 为原点,DA,DC,DD′分别为 x 轴,y 轴,z 轴正方向建立空间直角坐标系，连接 BD,B′D′.在平面 BB′D′D
中,延长 DP 交 B′D′于 H. 设DH =(m,m,1)(m>0), 由< DH , DA>=60°,利用坐标运算可得 m，进而可得
cos< DH , CC' >，从而得解；
（2）平面 AA′D′D 的一个法向量是DC =(0,1,0),由 cos< DH , DC >即可得解.
【详解】
(1)如图所示,
以 D 为原点,DA,DC,DD′分别为 x 轴,y 轴,z 轴正方向建立空间直角坐标系,
设 DA=1.则DA =(1,0,0), CC ' =(0,0,1).连接 BD,B′D′.在平面 BB′D′D 中,延长 DP 交 B′D′于 H.
设DH =(m,m,1)(m>0),
2
由已知< DH , DA >=60°,由DH DA =| DA || DH |cos< DH , DA >,可得 2m= 2m2 1 .解得 m= ,2
2 2
所以DH = , ,1 .
2 2
2 2
cos< , >= 0 0 1 1因为 DH CC ' 2 2 2
2 1 2
所以< DH , CC ' >=45°,即 DP 与 CC′所成的角为 45°.
(2)平面 AA′D′D 的一个法向量是DC =(0,1,0),
2 2
因为 cos< DH , DC >=
0 1 1 0
2 2 1
1 2 2
所以< DH , DC >=60°,可得 DP 与平面 AA′D′D 所成的角为 30°.
【点睛】
本题主要考查了利用空间向量处理线线角和二面角，属于基础题.
