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河南省濮阳市2022-2023学年高三下学期理数第一次摸底考试试卷
一、单选题
1．（2023高三下·濮阳开学考）已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】复数，故，
所以，
故答案为：C
【分析】根据复数除法运算求得复数z，可得其共轭复数，根据模的计算可得答案.
2．（2023高三下·濮阳开学考）已知集合，则集合的子集个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【知识点】子集与真子集；交集及其运算
【解析】【解答】由已知集合，
联立和，可得或或，
则，
故集合的子集个数为个，
故答案为：D
【分析】联立和，求得，即可求得其子集个数.
3．（2023高三下·濮阳开学考）某大型企业开发了一款新产品，投放市场后供不应求，为了达到产量最大化，决定增加生产线．经过一段时间的生产，统计得该款新产品的生产线条数与月产量（件）之间的统计数据如下表：
4 6 8 10
30 40 60 70
由数据可知，线性相关，且满足回归直线方程，则当该款新产品的生产线为12条时，预计月产量为（ ）
A．73件 B．79件 C．85件 D．90件
【答案】C
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：依题意可得，，
因为回归直线方程必过样本中心点，即，解得，所以，
当时，
故当该款新产品的生产线为12条时，预计月产量为85件.
故答案为：C
【分析】根据所给数据求出样本中心点，再代入回归直线方程，即可求出参数，从而得到回归直线方程，最后将代入计算可得.
4．（2023高三下·濮阳开学考）函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：对于函数，则，解得，即函数的定义域为，
又，即为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A；
当时，，所以，故排除B；
且，，
即，故排除D.
故答案为：C
【分析】利用奇偶性排除A，利用特殊值和图象变化趋势排除B，D.
5．（2023高三下·濮阳开学考）若的展开式中常数项为，则正整数的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：二项式展开式的通项为，
所以且，
显然且为整数，即为3的倍数，故排除B、C，
又为的因数，所以或，
当时，此时，不符合题意；
当时，此时符合题意.
故答案为：A
【分析】首先写出二项式展开式的通项，依题意可得且，即可排除B、C，再将A、D代入验证即可.
6．（2023高三下·濮阳开学考）设，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【解答】解：因为，所以，即，
即，
即，
因为，所以，
所以，即.
故答案为：D
【分析】根据同角三角函数的基本关系得到，再根据两角和的余弦公式及诱导公式得到，再根据判断即可.
7．（2023高三下·濮阳开学考）已知圆柱的下底面圆的内接正三角形ABC的边长为6，P为圆柱上底面圆上任意—点，若三棱锥的体积为，则圆柱的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】解：如图，因为是边长为的正三角形，则其外接圆的半径，解得，
又，
设圆柱的母线长为，则，解得，
所以圆柱的外接球的半径，
所以外接球的表面积为.
故答案为：B
【分析】求出底面内接正三角形外接圆的半径及的面积，设圆柱的母线长为，根据圆锥的体积公式，求得，则圆柱外接球的半径，即可求出外接球的表面积.
8．（2023高三下·濮阳开学考）在直三棱柱中，，且，若直线与侧面所成的角为，则异面直线与所成的角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】因为直三棱柱，所以底面，
又因为，所以两两垂直，
以为轴建立如图所示坐标系，
设，则，，，，
所以，，，
设平面的法向量，
则，解得，
所以直线与侧面所成的角的正弦值，
解得，
所以，，
设异面直线与所成的角为，
则，
所以异面直线与所成的角的正弦值为.
故答案为：D
【分析】以B为原点，以为轴建立如图所示坐标系，设，利用线面角的向量求法求出，再求异面直线所成角即可.
9．（2023高三下·濮阳开学考）已知为抛物线的准线上一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两点间的距离公式；抛物线的简单性质
【解析】【解答】作出图形，如图所示，根据题意可知：点，，
表示点到点的距离，
表示点到点的距离，
则，
如图（当点三点共线时取等号）
因为，
所以的最小值为，
故答案为：C.
【分析】由题意点，，表示点到点的距离，表示点到点的距离，则，当点三点共线时线段最短，根据两点距离公式计算即可得解.
10．（2023高三下·濮阳开学考）已知实数a，b，c满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】对数的运算性质；对数值大小的比较；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
所以，
又当时，，当，，
由此作出函数的大致图象如图所示，
因为且，
则由图可知，
所以.
故答案为：A.
【分析】由题意可得，，，构造函数，再利用导数求出函数的单调区间，作出函数的大致图象，结合图象即可得出答案.
11．（2023高三下·濮阳开学考）分别过椭圆的左、右焦点、作平行直线、，直线、在轴上方分别与交于、两点，若与之间的距离为，且（表示面积，为坐标原点），则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：由题意知直线、的斜率一定存在，
设、，过点作于点，
由题意知，，
所以，设，则，
在中，由余弦定理得，
即，解得，
同理在中利用余弦定理可得，
因为，所以，
即，即，所以.
故答案为：A
【分析】过点作于点，从而得到，设，则，在、中利用余弦定理求出、，由，所以，即，计算即可得解.
12．（2023高三下·濮阳开学考）已知函数与的图象没有公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】若函数与的图象没有公共点，
即相当于无解，
变形得，，
令，则，
令，则在上为增函数，
而，，故唯一解，，
且，，化简得，，
即，设，
则，故在为增函数，
故，所以，
当时，；时，，
所以，
所以，当时无解，即.
故答案为：B
【分析】原题相当于无解，变形得，，令求导利用导数判断其单调性求其最小值，即可求得 实数的取值范围 .
二、填空题
13．（2023高三下·濮阳开学考）已知正六边形ABCDEF的边长为2，则 ．
【答案】-6
【知识点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】由题意，作图如下：
在正六边形中，易知，，，，
则与的夹角为，即，
在中，，
.
故答案为：-6.
【分析】根据正六边形的几何性质，求出向量的模长以及夹角，利用平面向量的定义式，可得答案.
14．（2023高三下·濮阳开学考）已知圆，的圆心都在坐标原点，半径分别为与．若圆的圆心在轴正半轴上，且与圆，均内切，则圆C的标准方程为 ．
【答案】
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：依题意可知圆心的横坐标为，半径为，
故圆的标准方程为.
故答案为：.
【分析】依题意可知圆心的横坐标为，半径为，即可得解.
15．（2023高三下·濮阳开学考）已知为奇函数，若对任意，存在，满足，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性
【解析】【解答】因为为奇函数，
故，
即，由于，故，则，
由于，故，所以，
由，可得，
即
或，
对任意，存在，满足，
故，则，，，k取负值，
则只能，此时，
或，则，则，
综合可得或，
即实数的取值范围是，
故答案为：
【分析】根据函数的奇偶性求得，再根据题意推得、的关系式，结合、的范围，即可求得答案.
16．（2023高三下·濮阳开学考）如图，已知，分别为两边上的点，，，过点，作圆弧，为的中点，且则线段长度的最大值为 ．
【答案】
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：设，则，在中，由正弦定理知，
所以，因为为的中点，所以，
则，在中由余弦定理，
解得，
在中，，
由余弦定理可得
所以当时，取得最大值，
即的得最大值.
故答案为：
【分析】设，在中由正弦定理可得，在由余弦定理求出，在中由余弦定理表示出，再结合三角恒等变换公式及正弦函数的性质求出的最大值，即可得解.
三、解答题
17．（2023高三下·濮阳开学考）在数列中，，．
（1）设，求数列的通项公式；
（2）设，且数列的前项和为．若，求正整数的值．
【答案】（1）解：因为，，且，
所以，
当时，
当时
，
又时也符合上式，
所以.
（2）解：由（1）可知，所以，
所以，
所以，
则，解得.
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）依题意可得，利用累加法求出数列的通项公式；
（2）由（1）可得 ，所以，即可得到，利用裂项相消法求出，即可得到方程，解得即可.
18．（2023高三下·濮阳开学考）某出租车公司为推动驾驶员服务意识和服务水平大提升，对出租车驾驶员从驾驶技术和服务水平两个方面进行了考核，并从中随机抽取了100名驾驶员，这100名驾驶员的驾驶技术与性别的2×2列联表和服务水平评分的频率分布直力图如下，已知所有驾驶员的服务水平评分均在区间内.
附：，其中．
0.10 0.050 0.010
2.706 3.841 6.635
（1）判断能否有95%的把握认为驾驶员的驾驶技术是否优秀与性别有关；
（2）从服务水平评分在区间内的驾驶员中用分层抽样的方法抽取12人，再从这12人中随机抽取4人，记X为4人中评分落在区间内的人数，求X的分布列和数学期望．
【答案】（1）解：由题意可知：，则，
即，
故不能有95%的把握认为驾驶员的驾驶技术是否优秀与性别有关.
（2）解：，解得，
由频率分布直方图，则服务水平评分在区间内驾驶员的频率分别为，
即其比为，因此，分层抽样的12人在区间内驾驶员人数分别为，
故的可能取值为，
，，，
，，
则其分布列如下表：
.
【知识点】独立性检验；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1） 由题意可知：，则，代入公式求得，即可得解； （2）根据分层抽样明确各个区间抽取的人数， 的可能取值为， 分别求出对应的概率，根据超几何分别求解分布列和数学期望的步骤，可得答案.
19．（2023高三下·濮阳开学考）在如图所示的六面体中，平面平面，，，.
（1）求证：平面；
（2）若两两互相垂直，，，求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明：取中点分别为，连接，则，
因为平面平面，平面平面，平面平面，
所以，
又因为，所以，所以四边形为平行四边形，，，
同理可得四边形为平行四边形，，，
因为平面平面，平面平面，
所以，
又因为，所以四边形为平行四边形，，
所以，，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面.
（2）解：因为两两互相垂直，
以为轴建立如图所示空间直角坐标系，
由题意可得，，，，
所以，，，
设平面的法向量，
则，解得，
设平面的法向量，
则，解得，
所以，
由图可知所求角为锐角，所以二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1） 取中点分别为，连接，则，根据面面平行的性质定理证明四边形，，为平行四边形，即可得四边形为平行四边形，再根据线面平行的判定定理证明即可；
（2）以C为原点， 以为轴建立空间直角坐标系，分别求出平面的法向量， 平面的法向量， 利用空间向量法求解即可.
20．（2023高三下·濮阳开学考）已知分别为双曲线的左、右焦点，点在C上，且的面积为6．
（1）求C的方程；
（2）若过点且斜率为k的直线l交双曲线C的右支于 两点，Q为x轴上一点，满足，证明：为定值．
【答案】（1）解：由题意点在C上，且的面积为6，
可得且，则，
又 ，解得，
故双曲线方程为；
（2）证明：由（1）知，故设斜率为k的直线l为，
由于直线l交双曲线C的右支于两点，故，
联立 ，可得，
当时，直线l与双曲线的渐近线平行，此时直线和双曲线只有一个交点，不合题意；
故，此时，
设，则，
则，
即的中点坐标为，
因为Q为x轴上一点，满足，故Q为的垂直平分线与x轴的交点，
的垂直平分线的方程为：，
令 ，则得，即，
所以，
又，
又因为在双曲线的右支上，故，
故，即，
故，即为定值.
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 由题意点在C上，且的面积为6，可得且 ， 又， 解得，可得双曲线方程；
（2） 由（1）知，故设斜率为k的直线l为， 联立双曲线方程，可得根与系数的关系式，根据题意求出的垂直平分线的方程，可得Q点坐标，继而求得，再求得弦长，利用双曲线定义可推出，化简，即可证明其为定值.
21．（2023高三下·濮阳开学考）已知函数.
（1）若的图象在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为2，求a的值；
（2）若方程有三个不同的实数根，求a的取值范围.
【答案】（1）解：，，，
则的图象在点处的切线为，
由题意可知，令得，令得，
则，解得.
（2）解：令，即，
令，则与有三个不同的交点，
由题意可知，，
则是奇函数，图像关于原点对称，
当时，，
，，
则当时，，单调递增，
当时，，单调递减，同时，
此时，
当时，由奇函数性质可知，
当时，单调递减，同时，
当时，单调递增，此时，
根据图像可知，与有三个不同的交点需要满足或者，
即a的取值范围.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）对函数求导 ，的图象在点处的切线方程为，求出直线与坐标轴交点代入面积公式，求解即可；
（2）利用分离参数法转化为 与有三个不同的交点， 是奇函数 ，利用导数研究函数在时的单调性及最值，再结合对称性，作出的图象，数形结合即可求出a的取值范围.
22．（2023高三下·濮阳开学考）在直角坐标系xOy中，已知点，直线l的参数方程是（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是．
（1）求l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
（2）设l与C相交于点A，B，求的值．
【答案】（1）解：由得，
两式相减得，所以直线的普通方程为.
由，
得，
即，即，
所以曲线的直角坐标方程为.
（2）解：由于，所以在圆外，
将代入，
化简得，
，
所以，均为负数，
所以
.
【知识点】直线与圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）根据参数方程转化为普通方程，极坐标方程转化为直角坐标方程的方法求得正确答案；
（2）利用直线参数的几何意义求得正确答案.
23．（2023高三下·濮阳开学考）已知正实数，，满足，
（1）证明：；
（2）求的最小值．
【答案】（1）证明：因为，，为正实数且满足，
所以
，
当且仅当，即，，时取等号，
所以.
（2）解：由柯西不等式可知，
当且仅当，，时等号成立，
所以的最小值为.
【知识点】基本不等式；柯西不等式在函数极值中的应用
【解析】【分析】（1） 因为，，为正实数且满足，所以， 利用基本不等式证明即可；
（2），利用柯西不等式计算可得.
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河南省濮阳市2022-2023学年高三下学期理数第一次摸底考试试卷
一、单选题
1．（2023高三下·濮阳开学考）已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023高三下·濮阳开学考）已知集合，则集合的子集个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
3．（2023高三下·濮阳开学考）某大型企业开发了一款新产品，投放市场后供不应求，为了达到产量最大化，决定增加生产线．经过一段时间的生产，统计得该款新产品的生产线条数与月产量（件）之间的统计数据如下表：
4 6 8 10
30 40 60 70
由数据可知，线性相关，且满足回归直线方程，则当该款新产品的生产线为12条时，预计月产量为（ ）
A．73件 B．79件 C．85件 D．90件
4．（2023高三下·濮阳开学考）函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023高三下·濮阳开学考）若的展开式中常数项为，则正整数的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．（2023高三下·濮阳开学考）设，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2023高三下·濮阳开学考）已知圆柱的下底面圆的内接正三角形ABC的边长为6，P为圆柱上底面圆上任意—点，若三棱锥的体积为，则圆柱的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023高三下·濮阳开学考）在直三棱柱中，，且，若直线与侧面所成的角为，则异面直线与所成的角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023高三下·濮阳开学考）已知为抛物线的准线上一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023高三下·濮阳开学考）已知实数a，b，c满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2023高三下·濮阳开学考）分别过椭圆的左、右焦点、作平行直线、，直线、在轴上方分别与交于、两点，若与之间的距离为，且（表示面积，为坐标原点），则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023高三下·濮阳开学考）已知函数与的图象没有公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2023高三下·濮阳开学考）已知正六边形ABCDEF的边长为2，则 ．
14．（2023高三下·濮阳开学考）已知圆，的圆心都在坐标原点，半径分别为与．若圆的圆心在轴正半轴上，且与圆，均内切，则圆C的标准方程为 ．
15．（2023高三下·濮阳开学考）已知为奇函数，若对任意，存在，满足，则实数的取值范围是 ．
16．（2023高三下·濮阳开学考）如图，已知，分别为两边上的点，，，过点，作圆弧，为的中点，且则线段长度的最大值为 ．
三、解答题
17．（2023高三下·濮阳开学考）在数列中，，．
（1）设，求数列的通项公式；
（2）设，且数列的前项和为．若，求正整数的值．
18．（2023高三下·濮阳开学考）某出租车公司为推动驾驶员服务意识和服务水平大提升，对出租车驾驶员从驾驶技术和服务水平两个方面进行了考核，并从中随机抽取了100名驾驶员，这100名驾驶员的驾驶技术与性别的2×2列联表和服务水平评分的频率分布直力图如下，已知所有驾驶员的服务水平评分均在区间内.
附：，其中．
0.10 0.050 0.010
2.706 3.841 6.635
（1）判断能否有95%的把握认为驾驶员的驾驶技术是否优秀与性别有关；
（2）从服务水平评分在区间内的驾驶员中用分层抽样的方法抽取12人，再从这12人中随机抽取4人，记X为4人中评分落在区间内的人数，求X的分布列和数学期望．
19．（2023高三下·濮阳开学考）在如图所示的六面体中，平面平面，，，.
（1）求证：平面；
（2）若两两互相垂直，，，求二面角的余弦值．
20．（2023高三下·濮阳开学考）已知分别为双曲线的左、右焦点，点在C上，且的面积为6．
（1）求C的方程；
（2）若过点且斜率为k的直线l交双曲线C的右支于 两点，Q为x轴上一点，满足，证明：为定值．
21．（2023高三下·濮阳开学考）已知函数.
（1）若的图象在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为2，求a的值；
（2）若方程有三个不同的实数根，求a的取值范围.
22．（2023高三下·濮阳开学考）在直角坐标系xOy中，已知点，直线l的参数方程是（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是．
（1）求l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
（2）设l与C相交于点A，B，求的值．
23．（2023高三下·濮阳开学考）已知正实数，，满足，
（1）证明：；
（2）求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】复数，故，
所以，
故答案为：C
【分析】根据复数除法运算求得复数z，可得其共轭复数，根据模的计算可得答案.
2．【答案】D
【知识点】子集与真子集；交集及其运算
【解析】【解答】由已知集合，
联立和，可得或或，
则，
故集合的子集个数为个，
故答案为：D
【分析】联立和，求得，即可求得其子集个数.
3．【答案】C
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：依题意可得，，
因为回归直线方程必过样本中心点，即，解得，所以，
当时，
故当该款新产品的生产线为12条时，预计月产量为85件.
故答案为：C
【分析】根据所给数据求出样本中心点，再代入回归直线方程，即可求出参数，从而得到回归直线方程，最后将代入计算可得.
4．【答案】C
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：对于函数，则，解得，即函数的定义域为，
又，即为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A；
当时，，所以，故排除B；
且，，
即，故排除D.
故答案为：C
【分析】利用奇偶性排除A，利用特殊值和图象变化趋势排除B，D.
5．【答案】A
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：二项式展开式的通项为，
所以且，
显然且为整数，即为3的倍数，故排除B、C，
又为的因数，所以或，
当时，此时，不符合题意；
当时，此时符合题意.
故答案为：A
【分析】首先写出二项式展开式的通项，依题意可得且，即可排除B、C，再将A、D代入验证即可.
6．【答案】D
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【解答】解：因为，所以，即，
即，
即，
因为，所以，
所以，即.
故答案为：D
【分析】根据同角三角函数的基本关系得到，再根据两角和的余弦公式及诱导公式得到，再根据判断即可.
7．【答案】B
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】解：如图，因为是边长为的正三角形，则其外接圆的半径，解得，
又，
设圆柱的母线长为，则，解得，
所以圆柱的外接球的半径，
所以外接球的表面积为.
故答案为：B
【分析】求出底面内接正三角形外接圆的半径及的面积，设圆柱的母线长为，根据圆锥的体积公式，求得，则圆柱外接球的半径，即可求出外接球的表面积.
8．【答案】D
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】因为直三棱柱，所以底面，
又因为，所以两两垂直，
以为轴建立如图所示坐标系，
设，则，，，，
所以，，，
设平面的法向量，
则，解得，
所以直线与侧面所成的角的正弦值，
解得，
所以，，
设异面直线与所成的角为，
则，
所以异面直线与所成的角的正弦值为.
故答案为：D
【分析】以B为原点，以为轴建立如图所示坐标系，设，利用线面角的向量求法求出，再求异面直线所成角即可.
9．【答案】C
【知识点】两点间的距离公式；抛物线的简单性质
【解析】【解答】作出图形，如图所示，根据题意可知：点，，
表示点到点的距离，
表示点到点的距离，
则，
如图（当点三点共线时取等号）
因为，
所以的最小值为，
故答案为：C.
【分析】由题意点，，表示点到点的距离，表示点到点的距离，则，当点三点共线时线段最短，根据两点距离公式计算即可得解.
10．【答案】A
【知识点】对数的运算性质；对数值大小的比较；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
所以，
又当时，，当，，
由此作出函数的大致图象如图所示，
因为且，
则由图可知，
所以.
故答案为：A.
【分析】由题意可得，，，构造函数，再利用导数求出函数的单调区间，作出函数的大致图象，结合图象即可得出答案.
11．【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：由题意知直线、的斜率一定存在，
设、，过点作于点，
由题意知，，
所以，设，则，
在中，由余弦定理得，
即，解得，
同理在中利用余弦定理可得，
因为，所以，
即，即，所以.
故答案为：A
【分析】过点作于点，从而得到，设，则，在、中利用余弦定理求出、，由，所以，即，计算即可得解.
12．【答案】B
【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】若函数与的图象没有公共点，
即相当于无解，
变形得，，
令，则，
令，则在上为增函数，
而，，故唯一解，，
且，，化简得，，
即，设，
则，故在为增函数，
故，所以，
当时，；时，，
所以，
所以，当时无解，即.
故答案为：B
【分析】原题相当于无解，变形得，，令求导利用导数判断其单调性求其最小值，即可求得 实数的取值范围 .
13．【答案】-6
【知识点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】由题意，作图如下：
在正六边形中，易知，，，，
则与的夹角为，即，
在中，，
.
故答案为：-6.
【分析】根据正六边形的几何性质，求出向量的模长以及夹角，利用平面向量的定义式，可得答案.
14．【答案】
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：依题意可知圆心的横坐标为，半径为，
故圆的标准方程为.
故答案为：.
【分析】依题意可知圆心的横坐标为，半径为，即可得解.
15．【答案】
【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性
【解析】【解答】因为为奇函数，
故，
即，由于，故，则，
由于，故，所以，
由，可得，
即
或，
对任意，存在，满足，
故，则，，，k取负值，
则只能，此时，
或，则，则，
综合可得或，
即实数的取值范围是，
故答案为：
【分析】根据函数的奇偶性求得，再根据题意推得、的关系式，结合、的范围，即可求得答案.
16．【答案】
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：设，则，在中，由正弦定理知，
所以，因为为的中点，所以，
则，在中由余弦定理，
解得，
在中，，
由余弦定理可得
所以当时，取得最大值，
即的得最大值.
故答案为：
【分析】设，在中由正弦定理可得，在由余弦定理求出，在中由余弦定理表示出，再结合三角恒等变换公式及正弦函数的性质求出的最大值，即可得解.
17．【答案】（1）解：因为，，且，
所以，
当时，
当时
，
又时也符合上式，
所以.
（2）解：由（1）可知，所以，
所以，
所以，
则，解得.
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）依题意可得，利用累加法求出数列的通项公式；
（2）由（1）可得 ，所以，即可得到，利用裂项相消法求出，即可得到方程，解得即可.
18．【答案】（1）解：由题意可知：，则，
即，
故不能有95%的把握认为驾驶员的驾驶技术是否优秀与性别有关.
（2）解：，解得，
由频率分布直方图，则服务水平评分在区间内驾驶员的频率分别为，
即其比为，因此，分层抽样的12人在区间内驾驶员人数分别为，
故的可能取值为，
，，，
，，
则其分布列如下表：
.
【知识点】独立性检验；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1） 由题意可知：，则，代入公式求得，即可得解； （2）根据分层抽样明确各个区间抽取的人数， 的可能取值为， 分别求出对应的概率，根据超几何分别求解分布列和数学期望的步骤，可得答案.
19．【答案】（1）证明：取中点分别为，连接，则，
因为平面平面，平面平面，平面平面，
所以，
又因为，所以，所以四边形为平行四边形，，，
同理可得四边形为平行四边形，，，
因为平面平面，平面平面，
所以，
又因为，所以四边形为平行四边形，，
所以，，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面.
（2）解：因为两两互相垂直，
以为轴建立如图所示空间直角坐标系，
由题意可得，，，，
所以，，，
设平面的法向量，
则，解得，
设平面的法向量，
则，解得，
所以，
由图可知所求角为锐角，所以二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1） 取中点分别为，连接，则，根据面面平行的性质定理证明四边形，，为平行四边形，即可得四边形为平行四边形，再根据线面平行的判定定理证明即可；
（2）以C为原点， 以为轴建立空间直角坐标系，分别求出平面的法向量， 平面的法向量， 利用空间向量法求解即可.
20．【答案】（1）解：由题意点在C上，且的面积为6，
可得且，则，
又 ，解得，
故双曲线方程为；
（2）证明：由（1）知，故设斜率为k的直线l为，
由于直线l交双曲线C的右支于两点，故，
联立 ，可得，
当时，直线l与双曲线的渐近线平行，此时直线和双曲线只有一个交点，不合题意；
故，此时，
设，则，
则，
即的中点坐标为，
因为Q为x轴上一点，满足，故Q为的垂直平分线与x轴的交点，
的垂直平分线的方程为：，
令 ，则得，即，
所以，
又，
又因为在双曲线的右支上，故，
故，即，
故，即为定值.
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 由题意点在C上，且的面积为6，可得且 ， 又， 解得，可得双曲线方程；
（2） 由（1）知，故设斜率为k的直线l为， 联立双曲线方程，可得根与系数的关系式，根据题意求出的垂直平分线的方程，可得Q点坐标，继而求得，再求得弦长，利用双曲线定义可推出，化简，即可证明其为定值.
21．【答案】（1）解：，，，
则的图象在点处的切线为，
由题意可知，令得，令得，
则，解得.
（2）解：令，即，
令，则与有三个不同的交点，
由题意可知，，
则是奇函数，图像关于原点对称，
当时，，
，，
则当时，，单调递增，
当时，，单调递减，同时，
此时，
当时，由奇函数性质可知，
当时，单调递减，同时，
当时，单调递增，此时，
根据图像可知，与有三个不同的交点需要满足或者，
即a的取值范围.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）对函数求导 ，的图象在点处的切线方程为，求出直线与坐标轴交点代入面积公式，求解即可；
（2）利用分离参数法转化为 与有三个不同的交点， 是奇函数 ，利用导数研究函数在时的单调性及最值，再结合对称性，作出的图象，数形结合即可求出a的取值范围.
22．【答案】（1）解：由得，
两式相减得，所以直线的普通方程为.
由，
得，
即，即，
所以曲线的直角坐标方程为.
（2）解：由于，所以在圆外，
将代入，
化简得，
，
所以，均为负数，
所以
.
【知识点】直线与圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）根据参数方程转化为普通方程，极坐标方程转化为直角坐标方程的方法求得正确答案；
（2）利用直线参数的几何意义求得正确答案.
23．【答案】（1）证明：因为，，为正实数且满足，
所以
，
当且仅当，即，，时取等号，
所以.
（2）解：由柯西不等式可知，
当且仅当，，时等号成立，
所以的最小值为.
【知识点】基本不等式；柯西不等式在函数极值中的应用
【解析】【分析】（1） 因为，，为正实数且满足，所以， 利用基本不等式证明即可；
（2），利用柯西不等式计算可得.
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