7.2.2 复数的乘、除运算同步练习（含解析）

《第二节　复数的四则运算》同步练习
（课时2　复数的乘、除运算）
一、基础巩固
知识点1　复数的乘法运算
1.[2022河南浚县一中模拟预测]已知复数z=(4+i)(1-i),则|z|=(　　)
A.5 B. C.34 D.
2.已知i为虚数单位,若复数z1=2+i,且复数z1,z2在复平面内对应的点关于实轴对称,则z1z2所对应的点为(　　)
A.(-5,0) B.(5,0)
C.(-4,1) D.(-4,-1)
3.(多选)[2022江苏南京师大苏州实验学校高三测试]已知实数a满足3+ai=(2+i)(1-i)(i为虚数单位),复数z=(a+1)+(a-1)i,则(　　)
A.z为纯虚数 B.z2为虚数
C.z+=0 D.z·=4
4.[2022江西抚州七校高二下联考]已知复数 (2-i)的实部大于0,写出符合条件的一个复数z=　　　　.
5.计算:
(1)(4-i5)(6+2i7)+(7+i11)(4-3i);
(2)(1+2i)(1+i)2+()236.
6.[2022山东临沂罗庄区高一下期中]已知复数z=a-i(a∈R),且z(1+i)是纯虚数.
(1)求复数z及|z|;
(2)在复平面内,若复数(z-mi)2(m∈R)对应的点在第二象限,求实数m的取值范围.
知识点2　复数的除法运算
7.[2022安徽合肥十中高二期末]已知复数z满足z(1+2i)=i(1+z),则z=(　　)
A.i B.i
C.1+i D.1-i
8.已知复数z=,则下列结论正确的是(　　)
A.z的虚部为i B.|z|=2
C.=-1+i D.z2为纯虚数
9.在如图所示的复平面内,复数z1,z2,z3对应的向量分别是,,,则复数在复平面内对应的点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
10.计算:
(1)+(--i)3+=　　　　;
(2)=　　　　.
11.设x,y为实数,且,则x+y=　　　　,|x+yi|=　　　　.
12.已知复数z满足|z|=1,且复数zi+为实数.
(1)求复数z;
(2)求||的值.
13.拓展题[2022江苏南京江宁区高一下期末]已知复数z1=1-3i,z2=a+i,a∈R,若一复数的实部与虚部互为相反数,则称此复数为“理想复数”,已知z1·z2为“理想复数”.
(1)求实数a;
(2)定义复数的一种运算“”:z1z2=求z1 z2.
知识点3　复数范围内方程的解
14.[2022河南郑州高二下期末]已知i-1是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根,其中p,q∈R,则p+q=(　　)
A.6 B.8 C.10 D.12
15.(多选)[2022浙江北斗联盟高一下期中联考]已知在复数范围内关于x的方程x2+3x+4=0的两根为x1,x2,则下列结论正确的是(　　)
A.x1与x2互为共轭复数
B.x1+x2=3
C.x1x2=4
D.|x1-x2|=
16.已知复数z1=m-3-i,z2=-m2-m-i,其中m≠3,m∈R.
(1)若 -z2是纯虚数,求m的值.
(2)z1,z2能否为某实系数一元二次方程的两个虚根 若能,求出m的值;若不能,请说明理由.
二、能力提升
1.[2022广西南宁高一下期末]已知复数z1,z2是关于x的方程x2-6x+10=0的两个根,则|z1+2z2|=(　　)
A.9　　　 B.81　　　 C.　　　 D.82
2.[2022山西名校高一联考]已知复数z1,z2满足z1+2z2=5-i,2z1-z2=3i,则z1z2=(　　)
A.2-i B.2+i C.3+i D.3-i
3.(多选)已知复数z满足i2k+1z=2+i(k∈N),则z在复平面内对应的点可能位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.(多选)[2022山东枣庄高一下期末]已知z1=2-i,z2为复数,则(　　)
A.存在唯一的z2,使|z1z2|=5
B.存在唯一的z2,使z1z2=5
C.存在唯一的z2,使z1+z2=4
D.存在唯一的z2,使z1z2+z1+z2=9
5.(多选)[2022江苏常州高一期末]已知复数z1=a+bi,复数z2=cos θ+isin θ,其中θ,a,b为实数,i为虚数单位.定义:复数z=z1z2=f(θ)+g(θ)i为“目标复数”,其中f(θ)和g(θ)分别为“目标复数”的实部和虚部,则下列结论正确的是(　　)
A.g(θ)=asin θ+bcos θ
B.f(θ)=acos θ+bsin θ
C.若f(θ)=2sin(-θ),则a=1,b=
D.若a=1,b=,且g(θ)=2,则锐角θ的值为
6.若关于x的方程x2+(2-i)x+(2m-4)i=0有实数根,则纯虚数m=　　　　.
7.已知复数z1=(-1+i)(1+bi),z2=,其中a,b∈R.若z1与z2互为共轭复数,则a=　　　　,b=　　　　.
8.在①<0,②复平面内表示z1z2的点在直线x+y+2=0上,③z2+=-2这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答问题.
问题:已知复数z1=1+i,z2=a+2i(a∈R),　　　　.若,求复数z以及|z|.
9.[2022河北石家庄高二期中]已知复数z=1+mi(m∈R),且(3+i)为纯虚数.
(1)设复数z1=,求|z1|;
(2)设复数z2=,且复数z2在复平面内对应的点在第四象限,求实数a的取值范围.
参考答案
一、基础巩固
1.D　因为z=(4+i)(1-i)=5-3i,所以|z|=.
2.B　因为复数z1,z2在复平面内对应的点关于实轴对称,且z1=2+i,所以z2=2-i,所以z1z2=(2+i)(2-i)=4-i2=5.故选B.
3.ACD
A √ 因为3+ai=(2+i)(1-i)=3-i,所以a=-1,所以z=-2i,=2i,所以z为纯虚数.
B z2=(-2i)2=-4为实数.
C √ z+=-2i+2i=0.
D √ z·=(-2i)·(2i)=4.
4.1+i(答案不唯一)　解析设z=x+yi(x,y∈R),则(2-i)=(x-yi)(2-i)=2x-y-(x+2y)i,由2x-y>0,可取x=1,y=1,此时z=1+i. (注:其他符合题意的答案均可.)
5.(1)原式=(4-i)(6-2i)+(7-i)(4-3i)=22-14i+25-25i=47-39i.
(2)原式=(1+2i)(1+2i+i2)+=2i-4-1=2i-5.
6.(1)因为z=a-i(a∈R),且z(1+i)是纯虚数,
所以(a-i)(1+i)=(a+1)+(a-1)i是纯虚数,
则即a=-1.
所以z=-1-i,|z|=.
(2)(z-mi)2=[-1-(m+1)i]2=1-(m+1)2+2(m+1)i,
由题意可得解得m>0.所以实数m的取值范围是(0,+∞).
7.A　因为z(1+2i)=i(1+z),所以z(1+i)=i,所以z=i.
8.D　z==1+i,则z的虚部为1,|z|=,=1-i,z2=(1+i)2=2i是纯虚数,故A,B,C错误,D正确.故选D.
9.C　由题图,知z1=3+2i,z2=-2+2i,z3=1-2i,则=-i,所以其在复平面内对应的点为(-,-),此点位于第三象限.故选C.
10.(1)-8i;(2)-2-2i　解析(1)+(--i)3+=-i+[2i(-i)]3+ =-i-8i+i=-8i.
(2)=-2-2i.
11.4　　解析由=()+()i,而i,所以且,解得x=-1,y=5,所以x+y=4,|x+yi|=|-1+5i|=.
12.(1)设z=a+bi(a,b∈R),
则zi+=(a+bi)i+=-b+ai+=-b++(a-)i.
因为复数zi+为实数,所以a-=0.
又a2+b2=1,所以a=2b,
解得 或
故z=i或z=-i.
(2)||=||=||=.
13.(1)由题得z1=1-3i,z2=a+i,
z1·z2=(1-3i)(a+i)=a+3+(1-3a)i,
因为z1·z2是“理想复数”,所以(a+3)+(1-3a)=0,解得a=2.
(2)由(1)知z1=1-3i,z2=2+i,所以|z1|=,|z2|=,由|z1|=>|z2|=,得z1 z2=+1=+1=+1=i.
14.B　方法一　因为i-1是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根,所以方程2x2+px+q=0的另一个根是-i-1,所以i-1-i-1=-,(i-1)×(-i-1)=,解得p=4,q=4,所以p+q=8.
方法二　由题意得2(i-1)2+p(i-1)+q=0,即-4i+pi-p+q=0,即(-4+p)i-p+q=0,所以解得所以p+q=8.
15.AC　由x2+3x+4=0 x1=,x2=,显然x1与x2互为共轭复数,因此选项A正确;因为x1+x2=-3,所以选项B不正确;因为x1x2==4,所以选项C正确;因为|x1-x2|=||=|-i|=,所以选项D不正确.
16.(1)依题意,=m-3+i,
所以-z2=m2+2m-3+()i.
因为-z2是纯虚数,所以
解得m=1.
(2)假设z1,z2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的两个虚根.
因为方程ax2+bx+c=0的两个虚根为x1,2=,
所以z1,z2互为共轭复数,于是=z2,
从而解得m=-3.
故当m=-3时,z1,z2能为某实系数一元二次方程的两个虚根.
二、能力提升
1.C　因为复数z1,z2是关于x的方程x2-6x+10=0的两个根,所以x==3±i,所以|z1+2z2|=|9+i|=或|z1+2z2|=|9-i|=.
2.C　由解得所以z1z2=(1+i)(2-i)=2-i+2i-i2=3+i.
3.BD　因为i2k+1z=2+i,所以z=.因为i1=i5=…=i,i3=i7=…=-i,所以当k为奇数时,z==-1+2i,在复平面内对应的点为(-1,2),位于第二象限.当k为偶数时,z==1-2i,在复平面内对应的点为(1,-2),位于第四象限.故复数z在复平面内对应的点位于第二象限或第四象限,故选BD.
4.BCD
5.ACD
6.4i　解析设m=bi(b∈R且b≠0),则x2+(2-i)x+(2bi-4)i=0,化简得(x2+2x-2b)+(-x-4)i=0,即解得所以m=4i.
7.-2　1　解析z1=(-1+i)(1+bi)=-1-bi+i-b=(-b-1)+(1-b)i, z2=i.因为z1和z2互为共轭复数,所以解得
8.方案一　选条件①.
因为z1=1+i,所以.
又<0,所以解得a=-1,
所以z2=-1+2i.
由,
得z=+i,
从而|z|=.
方案二　选条件②.
因为z1=1+i,z2=a+2i,
所以z1z2=(1+i)(a+2i)=a-2+(a+2)i,
则在复平面内表示z1z2的点的坐标为(a-2,a+2).
依题意可知(a-2)+(a+2)+2=0,得a=-1,
所以z2=-1+2i.
由,
得z=+i,
从而|z|=.
方案三　选条件③.
因为z2=a+2i,所以=a-2i.
由z2+=2a=-2,得a=-1,
所以z2=-1+2i.
由,
得z=+i,
从而|z|=.
9.(1)因为=1-mi,所以(3+i)=(1-mi)(3+i)=3+m+(1-3m)i.
因为(3+i)为纯虚数,所以解得m=-3,
所以z1==-i,所以|z1|=.
(2)因为z2=i,
所以z2在复平面内对应的点的坐标为(,).
又复数z2在复平面内对应的点在第四象限,
所以解得-3所以实数a的取值范围为(-3,).