7.3 复数的三角表示 同步练习（含解析）

《第三节*　复数的三角表示》同步练习
知识点1　复数的三角表示式
1.如果非零复数有一个辐角为-,那么该复数的(　　)
A.辐角唯一
B.辐角的主值唯一
C.辐角的主值为-
D.辐角的主值为
2.下列是复数的三角形式的是(　　)
A.(cos -isin ) B.-(cos +isin )
C.(sin +icos ) D.cos +isin
3.[2022广东珠海市第二中学高一下期中]复数z=i的三角形式是(　　)
A.2(cos+i) B.2(cos+i)
C.2(cos+i) D.2(cos+i)
4.[2022河南开封五县高一联考]设z1=-1+i,z2=(z1)2,则arg z2=(　　)
A.π B.π C.π D.π
5.[2022江苏省如东中学、姜堰中学、沭阳中学三校段考]由棣莫弗定理可推出以下公式(cos x+isin x)n=cos nx+isin nx(其中i为虚数单位),则复数(cos +isin )7在复平面内所对应的点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
6.若复数z满足||=,arg()=,则z的代数形式是　　　　.
7.[2022华南师范大学附属中学高一下月考]设复数z=3cos θ+isin θ,求函数y=tan(θ-arg z)(0<θ<)的最大值以及对应的θ值.
8.已知k是实数,ω是非零复数,且满足arg ω=,(1+)2+(1+i)2=1+kω.
(1)求ω;
(2)设z=cos θ+isin θ,θ∈[0,2π),若|z-ω|=1+,求θ的值.
知识点2　复数乘法运算的三角表示及其几何意义
9.[2022江西南昌莲塘一中高一期中]复数(sin 10°+icos 10°)(sin 10°+icos 10°)的三角形式是(　　)
A.sin 30°+icos 30°
B.cos 160°+isin 160°
C.cos 30°+isin 30°
D.sin 160°+icos 160°
10.如果θ∈(,π),那么复数(1+i)(cos θ-isin θ)的三角形式是(　　)
A.[cos(-θ)+isin(-θ)]
B.[cos(2π-θ)+isin(2π-θ)]
C.[cos(+θ)+isin(+θ)]
D.[cos(+θ)+isin(+θ)]
11.[2022福建德化一中高一月考]在复平面内,点A对应的复数是+i,向量绕着点O按逆时针方向旋转120°得到向量.
(1)求点C对应的复数z0;
(2)已知点B对应的复数z满足|z-z0|=1,且<,>=120°,求复数z.
知识点3　复数除法运算的三角表示及其几何意义
12.3(cos+i)÷2(cos+i)的代数形式是(　　)
A.6i B.-6i C.i D.-i
13.(多选)[2022湖北省仙桃中学高三下月考]已知单位向量,分别对应复数z1,z2,且·=0,则的值可能为(　　)
A.i B.1 C.-1 D.-i
14.设z1=+i,z2=1-i,z3=+icos ,求的值.
15.把复数z1与z2对应的向量,分别按逆时针方向旋转和后,与向量重合且模相等,已知z2=-1-i,求复数z1的代数形式及其辐角的主值.
参考答案
1.B　因为辐角的主值范围是[0,2π),任何一个非零复数都有唯一的辐角的主值,所以有一辐角为-的非零复数有唯一的辐角的主值,为.故选B.
2.D　cos 与isin 之间应用“+”连接,故A错误;-<0不符合r≥0,故B错误;sin +icos 形式不对,故C错误.故选D.
3.C　i=×[]=2(i)=2(cos+isin).
4.B　z2=(-1+i)2=-i,在复平面内所对应的点是(-,-),位于第三象限,且tan θ=(θ为z2的辐角),所以arg z2=.
5.C　由已知得(cos+isin)7=cos+isin=cos(π+)+isin(π+)=-cos-isin=-i,所以复数(cos+isin)7在复平面内所对应的点的坐标为(-,-),位于第三象限.
6.1+i　解析设=z0,则|z0|=,arg z0=,所以z0=(cos +isin)=i,所以i,解得z=1+i.
7.解析由0<θ<,得tan θ>0.
由z=3cos θ+isin θ,得tan(arg z)=tan θ,
故y=tan(θ-arg z)=.
因为+tan θ≥2,所以≤,当且仅当=tan θ,即tan θ=时,上式取等号.
故当θ=时,函数y取得最大值.
8.解析(1)arg ω=,可设ω=a-ai(a∈R),
将其代入(1+)2+(1+i)2=1+kω,
化简可得2a+2a(1+a)i+2i=ka-kai,
所以解得
所以ω=-1+i.
(2)|z-ω|
=|(cos θ+1)+(sin θ-1)i|
=
=
=.
因为|z-ω|=1+,
所以=1+,
化简得cos(θ+)=1.
因为≤θ+<2π+,所以θ+=2π,即θ=.
9.B　(sin 10°+icos 10°)(sin 10°+icos 10°)=(cos 80°+isin 80°)(cos 80°+isin 80°)=cos 160°+isin 160°.
10.A　因为1+i=(cos +isin ),cos θ-isin θ=cos(2π-θ)+isin(2π-θ),所以(1+i)(cos θ-isin θ)=[cos(+2π-θ)+isin(+2π-θ)]=[cos(-θ)+isin(-θ)],故选A.
11.解析(1)由题意得z0=(+i)·(cos 120°+isin 120°)=-+i.
(2)因为点B对应的复数为z,点C对应的复数为z0,所以z-z0对应.又|z-z0|=1,所以||=1.
又<,>=120°,||=2,
所以向量对应的复数z1=z0·[cos(-120°)+isin(-120°)]=i,或z1=z0·(cos 120°+isin 120°)=-i,
所以=(-,)或(-,0),
所以z=-i或z=-.
12.D　3(cos +isin )÷2(cos +isin )=[cos()+isin()]=[cos(-)+isin(-)]=-i.
13.AD　设复数z1=cos θ1+isin θ1,z2=cos θ2+isin θ2,因为·=0,所以⊥,即cos θ1cos θ2+sin θ1sin θ2=0,即cos (θ1-θ2)=0,所以sin(θ1-θ2)=±1,所以=cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)=cos(±)+isin(±)
=±i.
14.解析因为z1=+i=2(cos+isin),z2=1-i=(cos+isin),所以=4(cos+isin)=4(-cos-isin)=-2-2i.
15.解析由复数乘法的几何意义得z1(cos+isin)=z2(cos+isin),
因为z2=-1-i=2(cos+isin),
所以z1=
=2[cos(3π-)+isin(3π-)]
=2(cos+isin)
=-i,
所以z1的辐角的主值为.