6.4平面向量的应用专项练习解析版
一、单选题
1．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则等于（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【分析】根据余弦定理，将已知量代入即可解得答案.
【详解】根据余弦定理得，即，亦即，解得或（舍去）.
故选：D.
2．在中，已知，则此三角形（ ）
A．有一解 B．有两解 C．无解 D．无法判断有几解
【答案】A
【分析】根据给定条件，结合正弦定理计算判断作答.
【详解】在中，，由正弦定理得，
而，有，即A为锐角，所以此三角形有一解．
故选：A
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，则=
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【分析】利用余弦定理推论得出a，b，c关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果.
【详解】详解：由已知及正弦定理可得，由余弦定理推论可得
，故选A．
【点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．
4．已知在ABC中，a=x，b=2，B=30°，若三角形有两解，则x的取值范围是（ ）
A．x>2 B．0【答案】D
【分析】根据三角形有两个解，转化为以C为圆心，以2为半径的圆与BA有两个交点，再结合正弦定理求解.
【详解】如图所示：
因为AC=b=2，若三角形有两个解，
则以C为圆心，以2为半径的圆与BA有两个交点，
当时，圆与BA相切，不合题意；
当时，圆与BA交于B点，不合题意；
所以，且，
所以由正弦定理得：
，则，
解得，
故选：D
5．已知非零向量和满足，且，则为( )
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．三边均不相等的三角形
【答案】A
【分析】根据向量加法和线性运算可知向量与的平分线共线，根据可知的平分线与对边垂直，由此可知△ABC是等腰三角形；再由和向量数量积的定义可求出的大小，从而可判断△ABC的形状．
【详解】即方向上的单位向量，即方向上的单位向量，
∴向量与的平分线共线，
又由可知的平分线与对边垂直，
则△ABC是等腰三角形，即，
，∴，
∵，∴，
∴△ABC为等边三角形．
故选：A．
6．在中，角的对边分别为，，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰三角形
【答案】D
【分析】根据已知条件及正弦定理的边角化，再利用三角形的内角和定理及两角和的正弦公式，结合三角函数特殊值对应特殊角及角的范围即可求解.
【详解】由及正弦定理，得,
在中，，所以,
所以，即，于是有，
因为所以
所以,即，
所以的形状是等腰三角形.
故选：D.
7．已知分别为三个内角的对边，且，则是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】D
【分析】根据已知条件及正弦定理的边角化，再利用三角形的内角和定理及两角和的正弦公式，结合三角函数特殊值对应特殊角即可求解.
【详解】由及正弦定理，得,
因为，所以,
所以,即，
当时，因为，所以，
当时，所以，即，
因为所以，
所以为等腰或直角三角形.
故选：D.
8．中，，O是外接圆圆心，是的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．3 D．5
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用向量运算化简变形向量等式，再利用正弦定理求出的最大值即可计算作答.
【详解】过点O作，垂足分别为D，E，如图，因O是外接圆圆心，则D，E分别为AC，的中点，
在中，，则，即，
，同理，
因此，
，
由正弦定理得：，当且仅当时取“=”，
所以的最大值为3.
故选：C
【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．
具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
二、多选题
9．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据三角形解的个数的判定条件直接计算可得.
【详解】A选项有无穷多解，显然错误；
B中，因为，C为锐角，所以，所以该三角形有一解，B正确；
C中，因为，B为锐角，所以，所以该三角形有一解，C正确；
D中，因为，B为锐角，所以，所以该三角形有两解，D错误.
故选：BC
10．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A．b＝10，A＝45°，C＝70° B．b＝45，c＝48，B＝60°
C．a＝14，b＝16，A＝45° D．a＝7，b＝5，A＝80°
【答案】BC
【分析】结合选项逐个求解，可进行判断.
【详解】对于A，因为，所以，只有一解；
对于B，因为，且，所以有两解；
对于C，因为，且，所以有两解；
对于D，因为，但，所以有一解；
故选：BC.
11．在中,内角的对边分别为若,则角的大小是
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】由正弦定理可得,所以,而,可得,即可求得答案.
【详解】由正弦定理可得,
,而,
,
,
故或.
故选:BD.
【点睛】本题考查了根据正弦定理求解三角形内角,解题关键是掌握正弦定理和使用正弦定理多解的判断,考查了分析能力和计算能力,属于中等题.
12．的内角A，，的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是 （ ）
A．若，则
B．若，则此三角形为等腰三角形
C．若，，，则解此三角形必有两解
D．若是锐角三角形，则
【答案】AD
【分析】由正弦定理可求A，然后可判断A；根据角的范围直接求解可判断B；正弦定理直接求解可判断C；利用诱导公式和正弦函数单调性可判断D.
【详解】由正弦定理可知，又，所以，可得，因为，所以，A正确；
因为，且角2A，2最多有一个大于，所以由可知，或，即或，
所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误；
由正弦定理可得，因为，所以，故此三角形有唯一解，C错误；
因为是锐角三角形，所以，即，又在上单调递增，所以，同理，
所以，D正确.
故选：AD
三、填空题
13．在中，角所对边分别为．若，则______．
【答案】
【分析】利用余弦定理求解.
【详解】由余弦定理得，
解得
故答案为:.
14．如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得，已知山高，则山高______．
【答案】
【分析】通过直角可先求出的值，在由正弦定理可求的值，在中，由，，从而可求得的值．
【详解】在中，，，所以．
在中，，，从而，
由正弦定理得，，因此．
在中，，，得．
故答案为：．
15．点是边长为2的正三角形的三条边上任意一点，则的最小值为___________.
【答案】
【分析】构建直角坐标系，设且，应用向量的坐标运算求坐标，应用坐标公式求模即可.
【详解】不妨假设在上且，如下图示，
所以，在且，设，
则，，，
所以，
故，
当时，的最小值为.
故答案为：
16．已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．
【答案】##
【分析】设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解.
【详解】[方法一]：余弦定理
设，
则在中，，
在中，，
所以
，
当且仅当即时，等号成立，
所以当取最小值时，.
故答案为：.
[方法二]：建系法
令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系.
则C（2t,0），A（1，），B（-t,0）
[方法三]：余弦定理
设BD=x,CD=2x.由余弦定理得
，，
，，
令，则，
，
，
当且仅当，即时等号成立.
[方法四]：判别式法
设，则
在中，，
在中，，
所以，记，
则
由方程有解得：
即，解得：
所以，此时
所以当取最小值时，，即.
四、解答题
17．已知的内角，，所对的边分别为，，，且．
(1)求角；
(2)当时，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意结合余弦定理，即可求出结果；
（2）由（1）可知，利用余弦定理，结合基本不等式即可求出，进而求出面积的最大值.
【详解】（1）解：由，即，，
又，故；
（2）解：由（1）知，，
∴．
由余弦定理得，
即，当且仅当时等号成立，
∴，
∴面积的最大值为．
18．如图，在圆内接四边形ABCD中，，，，的面积为.
(1)求AC；
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据面积公式可得，再根据余弦定理求解可得；
（2）根据内接四边形可得 ，再根据正弦定理求解即可
【详解】（1）因为的面积为，所以.
又因为，，所以.
由余弦定理得，，
，所以.
（2）因为ABCD为圆内接四边形，且，所以.又，由正弦定理可得，，故.因为，所以，所以.
19．康平滕龙阁，位于康平县中央公园中心，建在有“敖包朝霞”之称的敖包山旧址上，是老百姓心中的祥瑞之地.如图，小明同学为测量滕龙阁的高度，在滕龙阁的正东方向找到一座建筑物AB，高为8米，在地面上的点M（B，M，D三点共线）测得楼顶A，滕龙阁顶部C的仰角分别为和60°，在楼顶A处测得阁顶部C的仰角为30°，试替小明求滕龙阁的高度？（精确到0.01米）
【答案】37.86米
【分析】在中，利用正弦定理求得，然后在中，由求解.
【详解】解：由题意得，在中，，
在中，，，
所以，由正弦定理，
得，
又，
在中，.
答：滕龙阁的高度约为37.86米.
20．在锐角中，已知，，且．
(1)求角B的大小；
(2)若，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量平行，结合二倍角正弦公式、降幂公式，化简整理，结合角B的范围，可求得答案；
（2）根据（1）得角B，代入余弦定理，结合基本不等式，可得最大值，代入面积公式，即可得答案.
(1)
因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
因为锐角三角形，，
所以，
所以，.
(2)
设角A、B、C所对的边为a,b,c，则，
由余弦定理得，
所以，即，
又，
所以，解得，
当且仅当时等号成立，
所以面积的最大值.
21．在中，分别为角所对的边.在①；②；③这三个条件中任选一个，作出解答.
（1）求角的值；
（2）若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围.
【答案】条件选择见解析；（1）；（2）.
【解析】（1）选择条件①，利用正弦定理化简已知条件，再利用两角和的正弦公式化简得，根据三角形内角性质得出且，即可求出角的值；选择条件②，根据向量的数量积公式以及三角形的面积公式，化简得出，即可求出角的值；选择条件③，根据两角和的正弦公式和辅助角公式，化简的出，从而可求出角的值；
（2）根据题意，利用正弦定理边角互化得出，，再根据三角形面积公式化简得出，由为锐角三角形，求出角的范围，从而得出的面积的取值范围.
【详解】解：（1）选①，
由正弦定理得：，
∴，
∵，∴，∴，
∵，∴；
选②，
∴，
∴，
∵，∴，则，
∴；
选③，
得，
∴，
∴，
∵，∴，
∴，∴.
（2）已知为锐角三角形，且，
由正弦定理得：，
∴，，
∴，
∵为锐角三角形，
∴，
∴，∴.
【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理的边角互化、两角和的正弦公式、辅助角公式、向量的数量积的应用，考查三角形的面积公式以及三角形内角的性质，根据三角函数的性质求区间内的最值从而求出三角形的面积的取值范围是解题的关键，考查转化思想和化简运算能力.
22．在①，，；②，，；③，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题．
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，________，判断三角形解的情况，并在三角形有两解的情况下解三角形．
【答案】答案见解析
【分析】根据正弦定理求得或，结合大角对大边即可判断结果．
【详解】若选择条件①：
由，得，
又，，
∴B只能为锐角，∴，∴该三角形只有一解．
若选择条件②：
由，得，
∵，∴或，∴该三角形有两解．
当时，，∴；
当时，，∴．
若选择条件③：
由，得．
∵，∴，∴该三角形只有一解．6.4平面向量的应用专项练习
一、单选题
1．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则等于（ ）
A． B． C．2 D．3
2．在中，已知，则此三角形（ ）
A．有一解 B．有两解 C．无解 D．无法判断有几解
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，则=
A．6 B．5 C．4 D．3
4．已知在ABC中，a=x，b=2，B=30°，若三角形有两解，则x的取值范围是（ ）
A．x>2 B．05．已知非零向量和满足，且，则为( )
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．三边均不相等的三角形
6．在中，角的对边分别为，，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰三角形
7．已知分别为三个内角的对边，且，则是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
8．中，，O是外接圆圆心，是的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．3 D．5
二、多选题
9．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是（ ）
A． B．
C． D．
10．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A．b＝10，A＝45°，C＝70° B．b＝45，c＝48，B＝60°
C．a＝14，b＝16，A＝45° D．a＝7，b＝5，A＝80°
11．在中,内角的对边分别为若,则角的大小是
A． B． C． D．
12．的内角A，，的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是 （ ）
A．若，则
B．若，则此三角形为等腰三角形
C．若，，，则解此三角形必有两解
D．若是锐角三角形，则
三、填空题
13．在中，角所对边分别为．若，则______．
14．如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得，已知山高，则山高______．
15．点是边长为2的正三角形的三条边上任意一点，则的最小值为___________.
16．已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．
四、解答题
17．已知的内角，，所对的边分别为，，，且．
(1)求角；
(2)当时，求面积的最大值．
18．如图，在圆内接四边形ABCD中，，，，的面积为.
(1)求AC；
(2)求.
19．康平滕龙阁，位于康平县中央公园中心，建在有“敖包朝霞”之称的敖包山旧址上，是老百姓心中的祥瑞之地.如图，小明同学为测量滕龙阁的高度，在滕龙阁的正东方向找到一座建筑物AB，高为8米，在地面上的点M（B，M，D三点共线）测得楼顶A，滕龙阁顶部C的仰角分别为和60°，在楼顶A处测得阁顶部C的仰角为30°，试替小明求滕龙阁的高度？（精确到0.01米）
20．在锐角中，已知，，且．
(1)求角B的大小；
(2)若，求面积的最大值．
21．在中，分别为角所对的边.在①；②；③这三个条件中任选一个，作出解答.
（1）求角的值；
（2）若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围.
22．在①，，；②，，；③，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题．
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，________，判断三角形解的情况，并在三角形有两解的情况下解三角形．
