8.4.2.1直线与直线的位置关系 同步练习（含答案）

8.4.2.1直线与直线的位置关系同步练习
一、单选题
1．正方体中，与对角线成异面直线的棱有（ ）
A．3条 B．4条 C．6条 D．8条
2．已知，，，则与两边方向相同的等于（ ）
A．60° B．60°或120° C．120° D．以上结论都不对
3．两等角的一组对应边平行，则（ ）
A．另一组对应边平行 B．另一组对应边不平行
C．另一组对应边垂直 D．以上都不对
4．在空间四边形中，，，，分别是，，，的中点．若，且与所成的角为，则的长为（ ）
A．1 B． C．1或 D．或
5．下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下判断：①BF与DN平行；②CM与BN是异面直线；③DF与BN垂直；④AE与DN是异面直线．则判断正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知长方体中，，则异面直线与的距离是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
7．以下四个图中，表示直线与平行的是（ ）
A． B．
C． D．
8．在正方体中，E，F分别是线段，的中点，则异面直线，EF所成角余弦值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知正方体中，M为的中点，则下列直线中与直线BM是异面直线的有（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在正四棱柱，E，F分别是AB1，BC1的中点，则下面结论一定成立的是（ ）
A．EF与A1C1平行 B．BC1与AB1 所成角大小为
C．EF与BB1垂直 D．EF与BD垂直
11．已知平行四边形ABCD，，BC=1，，E是线段CD上一动点.将沿AE所在的直线进行翻转，在翻转过程中，下列结论正确的是（ ）
A．当时，存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直
B．当时，存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直
C．当时，存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直
D．当时，存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直
12．如图所示，已知在正方体中，平面，且与不平行，则下列能成立的是（ ）
A．与平行
B．与异面
C．与所成的角为
D．与垂直
三、填空题
13．若空间中两个角的两边分别平行，则这两个角的大小关系是______．
14．空间两个角和，若，，，则的大小是______．
15．如图,在正方体中,点E,F分别是棱AD,的中点,则异面直线与BF所成角的大小为______．
16．如图，是长方体，是的中点，直线交平面于点M，则下列结论正确的是______．（填写所有符合要求的结论序号）
①三点共线； ②四点共面；
③四点共面； ④四点共面．
四、解答题
17．已知S是矩形所在平面外一点，，，与所成角大小为，与所成角大小为，，分别求直线与的距离及与的距离．
18．如图所示，在四面体中，E、F分别是线段AD、BC上的点，．
(1)求证：直线与是异面直线；
(2)若，，求、所成角的大小．
19．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，BC的中点，求证：△EFG∽△C1DA1.
20．设两条电线所在的直线是异面直线，它们的距离是2 m，所成的角是60°．已知这两条电线上各有一点，距离公垂线的垂足都是8 m．求这两点之间的距离．
21．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1.证明：
(1)当AB＝BC时，EF⊥AC；
(2)点C1在平面AEF内.
22．正四棱柱中，底面的边长为1，为正方形的中心.
（1）求证：平面；
（2）若异面直线与所成的角的正弦值为，求直线到平面的距离.。
参考答案
1--8CADCB CCC
9．AC
10．ACD
11．BCD
12．BCD
13．相等或互补
14．或
15．
16．①②③
17．∵,，，∴，
因为与所成角大小为，而，则，
因为与所成角大小为，而，则，
，则，，，
又是矩形，
所以线段是直线与的公垂线段，线段是与的公垂线线段，
所以直线与的距离是，与的距离是．
18．（1）若为上靠近的三等分点，则，故，
所以四点共面，显然不共线，故面与面为同一个平面，
而面，面，即面，面，，
所以直线与是异面直线；
（2）若分别为靠近的三等分点，则，
所以，，故为平行四边形，且、所成角为或其补角，
又，，则，
由，故，则、所成角为60°.
19．证明：如图所示，连接B1C.
因为G，F分别为BC，BB1的中点，所以GF∥B1C.
又ABCD－A1B1C1D1为正方体，
所以CD∥AB，A1B1∥AB，所以CD∥A1B1，
所以四边形A1B1CD为平行四边形，所以A1D∥B1C.
又B1C∥FG，所以A1D∥FG.
同理可证A1C1∥EG，DC1∥EF.
又∠DA1C1与∠EGF，∠A1DC1与∠EFG，∠DC1A1与∠GEF的两条边分别对应平行且方向相同，
所以∠DA1C1＝∠EGF，∠A1DC1＝∠EFG，∠DC1A1＝∠GEF.
所以△EFG∽△C1DA1.
20．设两条异面直线a、b之间的距离，在上，，在上，．
过作∥a，过A作于C，连接BC、AB，则AB为要求的距离．
∵EF是a、b公垂线，∴易知平面，则平面，则AC⊥BC．
当、在公垂线EF同侧时，
，∵FB=FC=EA=8 m，∴为正三角形，∴，
在Rt中，，；
当、在公垂线EF异侧时，
，FC=8 m，EF=AC=2 m，BF=8 m，
在中，由余弦定理得：m，
则；
综上所述，要求的两点间的距离为或．
21．（1）如图，连接BD，B1D1.
由AB＝BC，即四边形ABCD为正方形，故AC⊥BD.
又BB1⊥面ABCD，面ABCD，则AC⊥BB1.
又BD∩BB1＝B，面BB1D1D，则AC⊥面BB1D1D.
由EF 平面BB1D1D，即有EF⊥AC.
（2）如图，在棱AA1上取点G，使得AG＝2GA1，连接GD1，FC1，FG.
因为ED1＝DD1，AG＝AA1，DD1=AA1，
∴ED1//AG且ED1=AG，于是四边形ED1GA为平行四边形，故AE∥GD1.
因为B1F＝BB1，A1G＝AA1，BB1＝AA1，易知：B1FGA1是平行四边形，故FG//A1B1且FG＝A1B1，
∴FG//C1D1且FG＝C1D1，则四边形FGD1C1为平行四边形，故GD1∥FC1.
∴AE∥FC1，即A，E，F，C1四点共面，即点C1在平面AEF内.
22．（1）连接，交于点，连接，交于点，连接，
正四棱柱中，，且，又因为点、分别为、的中点，
所以，且，
则四边形为平行四边形，故，
又不在平面内，在平面内，
故平面.
（2）由（1），，故异面直线与所成的角等于，
因为正四棱柱中，侧棱底面，则，
又，则平面，则.
因正方形的边长为1，则.
得，则.
因为平面，则直线到平面的距离等于点到平面的距离，
又为的中点，则点到平面的距离等于点到平面的距离，
在三角形内作，因为平面，
则平面平面，故平面.
直角三角形中，，，，
则.
则直线到平面的距离为.