5.5三角恒等变换专项练习解析版
一、单选题
1．函数的最小正周期及最大值为（ ）．
A．和1 B．和 C．和2 D．和
【答案】C
【分析】结合辅助角公式化简即可.
【详解】，故，函数最大值为2.
故选：C
2．（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用两角和的正切公式计算可得；
【详解】解：，所以
故选：A
3．函数在区间上的最大值是（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【答案】C
【分析】先将函数用二倍角公式进行降幂运算，得到，然后再求其在区间上的最大值．
【详解】解：因为，
所以，
，，，．
故选：C．
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由二倍角公式，结合平方关系转化为关于的二次齐次式，再化为，代入求值．
【详解】.
故选：C．
5．已知函数是奇函数，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】只需根据函数性质逐步得出值即可．
【详解】因为为奇函数，∴；
又
，，又
∴，
故选C．
【点睛】本题考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数．
6．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边上有一点，则的值为（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据特殊角的三角函数值可得点，再根据三角函数的定义和三角恒等变换，即可得到答案；
【详解】，，，
，
，
，
故选：B
7．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】已知式由诱导公式变形后平方，然后由平方关系和正弦的二倍角公式化简可得．
【详解】因为，
所以，所以，
．
故选：C．
8．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据，代入利用两角和的正余弦公式展开，与等式的左边合并整理，逆用两角和与差的正余弦公式化简整理，得到，两边同除整理即可得到答案.
【详解】因为,
所以
又因为，
所以，
对等式两边去括号，并移项整理得，
，
所以，
所以，
即，
所以.
故选：A.
二、多选题
9．将函数的图象向左平移个单位后，所得图象关于轴对称，则实数的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】利用辅助角公式可得，根据图象平移有，确定平移后的解析式，根据对称性得到的表达式，即可知可能值.
【详解】由题意，得：，图象向左平移个单位，
∴关于轴对称，
∴，即，
故当时，；当时，；
故选：BD
10．下列结论中正确的是（ ）
A．
B．若是第三象限角，则
C．若角的终边过点，
D．
【答案】ABD
【分析】利用角度值与弧度制的互化可判断A；利用三角函数的象限符号可判断B；利用三角函数的定义可判断C；利用同角三角函数的基本关系以及二倍角公式可判断D.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，由三角函数的象限符号可知，若是第三象限角，则，故B正确；
对于C，角的终边过点，
则，故C错误；
对于D，
，故D正确.
故选：ABD
【点睛】本题考查了角度值与弧度制的互化、三角函数的象限符号、三角函数的定义、同角三角函数的基本关系以及二倍角公式，考查了三角函数的基本知识，属于基础题.
11．已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】对于A，B利用诱导公式可求解；对于C，D利用齐次式化简可判断.
【详解】对于A选项，，故A选项正确；
对于B选项，，故B选项错误；
对于C选项，，故C选项正确；
对于D选项，，故D选项正确.
故选：ACD
12．已知点A（2,0），圆，圆上的点P满足，则a的取值可能是（ ）
A．1 B．-1 C． D．0
【答案】ABC
【解析】设，则由可得，将选项中的数值代入验证即可.
【详解】解：因为圆，
设，
则，
整理得，
即，
当，等式不成立，
当时，，
则①，
将分别代入①得，均符合.
故选：ABC.
【点睛】本题考查三角代换的应用，考查三角函数的有界性，利用排除法可方便得出答案，是中档题.
三、填空题
13．函数的最小正周期为______．
【答案】
【分析】先利用二倍角公式将原函数化简为，然后根据周期公式可得到结果.
【详解】因为
所以函数的最小正周期为，
故答案为：.
14．将化为的形式为______．
【答案】
【分析】利用辅助角公式，直接化简.
【详解】
故答案为：
15．函数的严格增区间为________．
【答案】
【分析】利用辅助角公式将化为，然后由三角函数单调区间的求法，求得函数的单调区间.
【详解】依题意，
由，，
解得，，
所以单调递增区间为.
故答案为：
16．已知是方程的一根，则_____.
【答案】
【分析】依题意可得，再根据同角三角函数的基本关系将切化弦，整理得，即可求出，再根据二倍角余弦公式及诱导公式计算可得.
【详解】解：是方程的一根，
，则，
可得，可得，
，
．
故答案为：
四、解答题
17．证明：．
【答案】见解析.
【分析】把用角的和差公式展开.
【详解】
18．已知，，求的值.
【答案】7
【分析】将变成，利用两角和的正切公式展开，将，代入即可得解．
【详解】
19．已知，，.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系求出，，再根据及两角差的正弦公式计算可得；
（2）首先求出，再根据及两角和的余弦公式计算可得.
【详解】（1）解：因为，均为锐角，所以.
又，
所以，.
所以
.
（2）解：根据第（1）问可知 ，
所以
.
20．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）； （2）0.
【分析】（1）根据，结合两角和与差的正弦公式化简即可求得答案.
（2）根据两角和与差的正切公式求得，进而代入化简即可得出答案.
【详解】解：（1）由
．
；
（2）由，
可得，
所以
，
故原式.
【点睛】本题考查三角函数的化简求值，涉及两角和与差的正弦公式和两角和与差的正切公式的应用，考查化简求值能力.
21．已知函数，再从下列条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知.
条件①：的最大值与最小值之和为；条件②：.
(1)求的值；
(2)求函数在上的单调递增区间.
【答案】(1)选①：；选②：.
(2)选①或②，函数在上的单调递增区间为.
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为，根据所选条件①或②可得出关于实数的等式，由此可解得对应的实数的值；
（2）选①或②，由可得，解不等式即可得解.
【详解】（1）解：选①：
，
则，，
由已知可得，解得，此时.
选②：
，
，解得，此时.
（2）解：选①：由可得，
由，解得，故函数在上的单调递增区间为；
选②：同①.5.5三角恒等变换专项练习
一、单选题
1．函数的最小正周期及最大值为（ ）．
A．和1 B．和 C．和2 D．和
2．（ ）
A． B． C． D．
3．函数在区间上的最大值是（ ）
A．1 B．2 C． D．3
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数是奇函数，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则
A． B． C． D．
6．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边上有一点，则的值为（ ）
A．或 B． C． D．
7．已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．将函数的图象向左平移个单位后，所得图象关于轴对称，则实数的值可能为（ ）
A． B． C． D．
10．下列结论中正确的是（ ）
A．
B．若是第三象限角，则
C．若角的终边过点，
D．
11．已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．已知点A（2,0），圆，圆上的点P满足，则a的取值可能是（ ）
A．1 B．-1 C． D．0
三、填空题
13．函数的最小正周期为______．
14．将化为的形式为______．
15．函数的严格增区间为________．
16．已知是方程的一根，则_____.
四、解答题
17．证明：．
18．已知，，求的值.
19．已知，，.
(1)求的值；
(2)求的值.
20．计算：
（1）；
（2）．
21．已知函数，再从下列条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知.
条件①：的最大值与最小值之和为；条件②：.
(1)求的值；
(2)求函数在上的单调递增区间.
