1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(专题1)同步练习（含解析）

《第四节　空间向量的应用》同步练习
（课时2　用空间向量研究距离、夹角问题）
专题1——用空间向量研究距离问题
一、基础巩固
知识点1 点到直线的距离
1. [2022北京昌平二中高二上期中]已知空间中三点A(-1,0,0),B(0,1,-1),C(-2,-1,2),则点C到直线AB的距离为(　　)
A. B. C. D.
2. 在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,AD=2AB=4,且PD与底面ABCD所成的角为45°,则点B到直线PD的距离为(　　)
A.2 B.2 C.2 D.2
3. [2022湖北部分重点学校高二上期中联考]鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥.如图,在鳖臑P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB=BC=PA=2,D,E分别是棱AB,PC的中点,点F是线段DE的中点,则点F到直线AC的距离是　　　　.
知识点2 点到平面的距离
4. [2022福建三明一中高二上月考]已知平面α的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在平面α内,则点P(-2,1,4)到平面α的距离为(　　)
A.10　　　B.3　　　C.　　　D.
5. [2022山东淄博高二上月考]如图所示,在直二面角D-AB-E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,△AEB是等腰直角三角形,其中∠AEB=90°,则点D到平面ACE的距离为(　　)
A. B. C. D.2
6. [2022河北石家庄十二中高二上期中]已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,E,F分别是棱C1C,BC的中点.
(1)求证:B1F⊥平面AEF;
(2)求点F到平面EAB1的距离.
知识点3 直线到平面的距离、平面到平面的距离
7. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则平面AB1D1与平面BDC1的距离为(　　)
A.a B.a C.a D.a
8. 如图,在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中,侧棱PA⊥底面ABCD,BC∥AD,∠ABC=90°,PA=AB=BC=2,AD=1,则AD到平面PBC的距离为　　　　.
二、能力提升
1. [2022广东佛山顺德高二上期中]一个正方体的平面展开图如图所示,AB=1,则在原来的正方体中,线段CF的中点到直线AM的距离为(　　)
A. B.6 C. D.
2. 在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1A⊥平面ABCD,AA1=3,底面是边长为4的菱形,且∠DAB=60°,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,E是O1A的中点,则点E到平面O1BC的距离为(　　)
A.2 B.1 C. D.3
3. [2022山西阳泉高三期末]如图,棱长为3的正方体的顶点A在平面α上,三条棱AB,AC,AD都在平面α的同侧,若顶点B,C到平面α的距离均为,则顶点D到平面α的距离是　　　　.
4. 已知在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面正方形的边长为2,侧棱长为4,E,F分别为棱AB,BC的中点.求三棱锥B1-EFD1的体积.
5. [2022山东临沂平邑一中高二上月考]如图,在四棱锥P-ABCD中,已知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=,PA=AD=2,AB=BC=1.定义:两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离的最小值.利用此定义求异面直线PB与CD之间的距离.
6. [2022四川乐山高二期末]如图,三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2,AA1⊥平面ABC,D,E分别是AC,CC1的中点.
(1)求证:平面BAE⊥平面A1BD.
(2)在线段B1B(含端点)上是否存在点M,使点M到平面A1BD的距离为 请说明理由.
参考答案
一、基础巩固
1. A　依题意得=(-1,-1,2),=(1,1,-1),则点C到直线AB的距离为d=.
2. B　因为PA⊥平面ABCD,所以∠PDA为PD与平面ABCD所成的角,所以∠PDA=45°,所以PA=AD=4.以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示.则A(0,0,0),B(2,0,0),P(0,0,4),D(0,4,0),则=(0,-4,4),=(-2,0,4),所以点B到直线PD的距离为d==2.
3. 　解析 因为AB=BC,且△ABC是直角三角形,所以AB⊥BC.以B为原点,分别以,的方向为x,y轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz.因为AB=BC=PA=2,所以A(0,2,0),C(2,0,0),D(0,1,0),E(1,1,1),F(,1,),则=(2,-2,0), =(,-1,).故点F到直线AC的距离d=.
4. D　由=(-1,-2,4),得点P到平面α的距离d=.
5. B　取AB的中点O,以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,-1,0),E(1,0,0),D(0,-1,2),C(0,1,2),从而=(0,0,2),=(1,1,0),=(0,2,2).设平面ACE的法向量为n=(x,y,z),则,即,令y=1,则x=-1,z=-1,所以n=(-1,1,-1)为平面ACE的一个法向量.故点D到平面ACE的距离d=||=||=.
6. 解析 (1)三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面,∠BAC=90°,故以A为原点,AB为x轴,AC为y轴,AA1为z轴,建立空间直角坐标系,如图.
因为AB=AC=AA1=1,E,F分别是棱C1C,BC的中点,所以B1(1,0,1),F(,,0),A(0,0,0),E(0,1,),则=(-,,-1),
=(0,1,),=(,,0),
所以·=0,·=0,
所以B1F⊥AE,B1F⊥AF,
又AE∩AF=A,AE,AF 平面AEF,
所以B1F⊥平面AEF.
(2)由(1)知=(1,0,1),=(0,1,),
设平面EAB1的法向量m=(a,b,c),
则,取a=2,得m=(2,1,-2)是平面EAB1的一个法向量.
又=(,,0),所以点F到平面EAB1的距离d=.
7. D　由正方体的性质,易得平面AB1D1∥平面BDC1,则两平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离.以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(a,0,0),B(a,a,0),A1(a,0,a),C(0,a,0),=(a,-a,a),=(0,-a,0),连接A1C,则A1C⊥B1D1,A1C⊥AB1,所以A1C⊥平面AB1D1,得平面AB1D1的一个法向量为n=(1,-1,1),则两平面间的距离d=a.
8. 　解析 分析知AB,AD,AP两两垂直,所以可建立以A为坐标原点,AB,AD,AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系(如图所示),则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2),=(2,0,-2),=(0,2,0).设平面PBC的法向量为n=(a,b,c),则,即,取a=1,则b=0,c=1,则n=(1,0,1)是平面PBC的一个法向量.又=(2,0,0),AD∥平面PBC,所以所求距离为.
二、能力提升
1. A　将展开图还原成正方体,以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系,由图知A(0,0,0),M(1,1,1),F(1,1,0),C(0,1,1).设CF的中点为G,连接GM,则G(,1,),=(-,0,-),又=(1,1,1),故G到AM的距离d=.
2. C　连接OO1,易得OO1⊥平面ABCD,所以OO1⊥OA,OO1⊥OB.又OA⊥OB,所以建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.因为底面ABCD是边长为4的菱形,∠DAB=60°,所以OA=2,OB=2,则A(2,0,0),B(0,2,0),C(-2,0,0),O1(0,0,3),E(,0,),所以=(0,2,-3),=(-2,0,-3),=(-,0,).设平面O1BC的法向量为n=(x,y,z),则,所以,取z=2,则x=-,y=3,n=(-,3,2)是平面O1BC的一个法向量.所以点E到平面O1BC的距离d=.
3. 　解析 如图,以O为坐标原点,建立空间直角坐标系,则O(0,0,0),C(3,0,0),B(0,3,0),A(3,3,0),D(3,3,3),所以=(3,0,0),=(0,3,0),=(0,0,3).设平面α的一个法向量为n=(x,y,z),则点B到平面α的距离为d1=　①,点C到平面α的距离为d1=　②,由①②可得|y|=|x|,|z|=|x|.所以点D到平面α的距离为.
4. 解析 以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则B1(2,2,4),D1(0,0,4),E(2,,0),F(,2,0),
则=(-,,0),=(2,,-4),=(,2,-4),=(2,2,0).
点D1到直线EF的距离为d1==5,
所以|·d1=×2×5=5.
设平面EFD1的法向量为n=(x,y,z),则,即,令x=1,则y=1,z=,则n=(1,1,)是平面EFD1的一个法向量,
所以点B1到平面EFD1的距离d2=,
所以×d2=×5×.
5. 解析 以{,,}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系,
则B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2),则=(-1,0,2),=(-1,1,0),=(0,-1,0).
设Q为直线PB上一点,且=λ=(-λ,0,2λ),连接CQ,则=(-λ,-1,2λ),
则点Q到直线CD的距离d=(当且仅当λ=-时取等号),
所以异面直线PB与CD之间的距离为.
6. 解析 (1)取A1C1的中点O,连接B1O,OD,易得OA1,OD,OB1两两垂直.如图,以O为原点,OA1,OD,OB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,
则A(1,2,0),B(0,2,),D(0,2,0),A1(1,0,0),E(-1,1,0),=(-1,2,0),=(-1,2,),=(1,0,-),=(-1,-1,-).
设n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2)分别为平面A1BD和平面BAE的法向量.
由,得,
取y1=1,则x1=2,z1=0,
所以n1=(2,1,0)是平面A1BD的一个法向量.
由,得,
取z2=1,则x2=,y2=-2,所以n2=(,-2,1)是平面BAE的一个法向量.
因为n1·n2=0,所以平面BAE⊥平面A1BD.
(2)假设在线段B1B(含端点)上存在点M,使点M到平面A1BD的距离为.
设M(0,a,)(0≤a≤2),则=(0,a-2,0),
由,
解得a=4(舍去)或a=0.
故在线段B1B(含端点)上存在点M,且点M与点B1重合时,点M到平面A1BD的距离为.