7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义 同步练习（含解析）

《第二节　复数的四则运算》同步练习
（课时1　复数的加、减运算及其几何意义）
一、基础巩固
知识点1　复数的加、减运算
1.若z-3+5i=8-2i,则z=(　　)
A.8-7i B.5-3i
C.11-7i D.8+7i
2.[2022安徽马鞍山高一期末]设复数z1=2-i,z2=-3+5i,则z1+z2在复平面内对应的点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.设z1=-1+i,=4-3i,则|z1+z2|=(　　)
A.25 B.5 C.13 D.
4.(多选)[2022湖南长沙月考]已知i为虚数单位,复数z1=5+12i,z2=-12+5i,则(　　)
A.|z1|=|z2|
B.z1与z2互为共轭复数
C.z1+z2+7为纯虚数
D.z1-7-7i+z2=6i
5.设z1=x+2i,z2=3-yi(x,y∈R),且z1+z2=5-6i,则z1-z2=　　　　.
6.计算:
(1)(1+2i)+(7-11i)-(5+6i);
(2)5i-[(6+8i)-(-1+3i)];
(3)(a+bi)-(2a-3bi)-3i(a,b∈R).
知识点2　复数加、减运算的几何意义
7.如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是,,则复数z1-z2=(　　)
A.-1+2i 　　　B.-2-2i
C.1+2i 　　　D.1-2i
8.(多选)[2022安徽合肥六校联盟高一下期中]在复平面内有一个平行四边形OABC,点O为坐标原点,点A对应的复数为z1=1+i,点B对应的复数为z2=1+2i,点C对应的复数为z3,则下列结论正确的是(　　)
A.z1-z2=-i 　 B.点C位于第二象限
C. z1+z3=z2 　　　 D.|z1-z3|=||
9.已知M,N分别是复数z1,z2在复平面内对应的点,O为坐标原点,若|z1-z2|-|z1+z2|=0,则△MON是　　　三角形(填“锐角”“直角”或“钝角”).
10.已知四边形OACB是复平面内的平行四边形,O是原点,点A,B分别表示复数3+i,2+4i,M是OC,AB的交点,如图所示,求点C,M表示的复数,及点C,M间的距离|CM|.
二、能力提升
1.设f(z)=,且z1=1+5i,z2=-3+2i,则f()=(　　)
A.-2+3i B.-2-3i
C.4-3i D.4+3i
2.[2022广东广州二中高二上期中]若z1,z2为复数,则“z1+z2是实数”是“z1,z2互为共轭复数”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.[2022广东潮州松昌中学高一期中]已知z∈C,且|z-2-2i|=1(i为虚数单位),则|z+2-i|的最大值为(　　)
A.+1 B.
C.-1 D.
4.设复数z满足|z|=|z-i|=1,且z的实部大于虚部,则z=(　　)
A.i B.i
C.i D.i
5.[2022江苏南京高二下联考]著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马于1643年提出的平面几何极值问题:“已知一个三角形,求作一点,使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小.”费马问题中所求的点称为费马点.已知对于每个给定的三角形,都存在唯一的费马点,当△ABC的三个内角均小于120°时,使得∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的点P即费马点.根据以上材料,若z∈C,则|z-2|+|z+2|+|z+2i|的最小值为(　　)
A.2-2 B.2+2
C.-1 D.+1
6.[2022福建厦门高三模考]若复数z=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位)满足|z-2i|=|z|,写出一个满足条件的复数z=　　　　.
7.在①z1+z2=i;②z1+z2=i;③z1+z2=1+i这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答该问题.
设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=1.
(1)若　　　　　　,求z1,z2;
(2)若|z1+z2|=1,求|z1-z2|.
8.已知复数z满足|z++i|≤1,求:
(1)|z|的最大值和最小值;
(2)|z-1|2+|z+1|2的最大值和最小值.
参考答案
一、基础巩固
1.C　z=(8-2i)-(-3+5i)=11-7i.故选C.
2.B　因为z1+z2=(2-i)+(-3+5i)=-1+4i,所以z1+z2在复平面内对应的点的坐标为(-1,4),位于第二象限.
3.B　由题知z2=4+3i,所以z1+z2=3+4i,所以|z1+z2|==5.故选B.
4.AC
A √ |z1|==13,|z2|==13.
B 复数z1=5+12i的共轭复数为=5-12i.
C √ z1+z2+7=5+12i-12+5i+7=17i,为纯虚数.
D z1-7-7i+z2=5+12i-7-7i-12+5i=-14+10i.
5.-1+10i　解析因为z1+z2=5-6i,所以(x+2i)+(3-yi)=5-6i,所以即所以z1=2+2i,z2=3-8i,所以z1-z2=(2+2i)-(3-8i)=-1+10i.
6.解析(1)(1+2i)+(7-11i)-(5+6i)=(1+7-5)+(2-11-6)i=3-15i.
(2)5i-[(6+8i)-(-1+3i)]=5i-(7+5i)=-7.
(3)(a+bi)-(2a-3bi)-3i=(a-2a)+[b-(-3b)-3]i=-a+(4b-3)i(a,b∈R).
7.B　方法一　z1-z2对应的向量为,由题图知=(-2,-2),所以z1-z2=-2-2i.
方法二　由题意,知z1=-2-i,z2=i,所以z1-z2=-2-2i,故选B.
8.ACD
9.直角　解析因为|z1-z2|-|z1+z2|=0,所以|z1-z2|=|z1+z2|,故以OM,ON为邻边的平行四边形的对角线的长度相等,即该平行四边形为矩形,所以△MON是直角三角形.
10.解析因为,分别表示复数3+i,2+4i,
所以表示的复数为(3+i)+(2+4i)=5+5i,即点C表示的复数为5+5i.
又,所以表示的复数为i,
即点M表示的复数为i.
所以|CM|=.
二、能力提升
1.D　因为z1-z2=1+5i-(-3+2i)=4+3i,所以=4-3i.因为f(z)=,所以f(4-3i)=4+3i.故选D.
2.B　由题意,不妨设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则z1+z2=a+bi+c+di=(a+c)+(b+d)i.若z1+z2是实数,则b+d=0,即b=-d.由于a,c不一定相等,故z1,z2不一定互为共轭复数,故充分性不成立.若z1,z2互为共轭复数,则z2=a-bi,故z1+z2=2a∈R,必要性成立.因此“z1+z2是实数”是“z1,z2互为共轭复数”的必要不充分条件.
3.A　设z在复平面内对应的点为Z.由|z-2-2i|=1可得点Z在以C(2,2)为圆心,1为半径的圆上.又|z+2-i|表示点Z与点M(-2,1)间的距离,且C(2,2)与点M(-2,1)间的距离为,则|z+2-i|的最大值为+1.
4.B　设z=x+yi(x,y∈R),则z-i=x+(y-1)i,因为|z|=|z-i|=1,所以=1,=1,解得x=±,y=,又z的实部大于虚部,所以x=,即z=i.
5.B　设z=x+yi(x,y∈R),则|z-2|+|z+2|+|z+2i|表示点Z(x,y)到△ABC三个顶点A(2,0),B(-2,0),C(0,-2)的距离之和.依题意结合对称性可知△ABC的费马点P位于虚轴的负半轴上,且∠APB=120°,则∠PAO=∠PBO=30°,如图,此时|PA|+|PB|+|PC|=×2+(2-2tan 30°)=2+2.故选B.
6.1+i(答案不唯一)　解析z=a+bi,故z-2i=a+(b-2)i.由|z-2i|=|z|知,,化简得b=1,故只要b=1,即z=a+i(a可为任意实数)均满足题意,可取z=1+i. (注:其他满足题意的答案均可.)
7.解析(1)方案一　选择条件①.
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),
则得或
所以z1=-i,z2=1,或z1=1,z2=-i.
方案二　选择条件②.
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R).则得或
所以z1=-i,z2=i,或z1=i,z2=-i.
方案三　选择条件③.
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则得
所以z1=i,z2=i.
(2)设复数z1,z2,z1+z2对应的向量分别为,,,则由|z1|=|z2|=|z1+z2|=1,可知以OA,OB为邻边的平行四边形为菱形,且∠AOB=120°,所以|z1-z2|=||=.
8.解析(1)满足|z++i|≤1的复数z的几何意义:圆心为M(-,-1),半径为1的圆内区域(包括边界).|z|则表示圆内区域(包括边界)上一点到原点的距离.如图所示,对应的复数的模为|z|的最大值,对应的复数的模为|z|的最小值.
因为||==2,所以|z|max=2+1=3,|z|min=2-1=1.
即|z|的最大值为3,最小值为1.
(2)设z=a+bi(a,b∈R),则|z|2=a2+b2,
|z-1|2+|z+1|2=|a-1+bi|2+|a+1+bi|2
=(a-1)2+b2+(a+1)2+b2
=2(a2+b2)+2
=2|z|2+2,
由(1)知1≤|z|≤3,
所以|z-1|2+|z+1|2的最大值为2×32+2=20,最小值为2×12+2=4.