第6章平面向量及其应用专项练习解析版
一、单选题
1．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则等于（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【分析】根据余弦定理，将已知量代入即可解得答案.
【详解】根据余弦定理得，即，亦即，解得或（舍去）.
故选：D.
2．在中，角的对边分别为，且，，，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用余弦定理可构造方程直接求得结果.
【详解】在中，由余弦定理得：，
即，解得：或（舍），.
故选：B.
3．已知平面四边形ABCD满足，则四边形ABCD是（ ）
A．正方形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形
【答案】B
【分析】根据平面向量相等的概念，即可证明，且，由此即可得结论.
【详解】在四边形ABCD中， ，所以，且，
所以四边形为平行四边形．
故选：B
4．已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意得点位置后求解，
【详解】由题意得，则为中点，而是的外接圆圆心，
为直角三角形，，故在向量上的投影向量为，
故选：A
5．已知向量，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先求出的坐标，再根据夹角公式计算可得；
【详解】解：因为.
所以
所以
故选：.
6．在中，点线段上任意一点，点满足，若存在实数和，使得，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题设且，结合向量数乘、加法的几何意义可得，再由已知条件即可得的值.
【详解】
由题意，且，而，
所以，即，
由已知，，则.
故选：D
7．如图，AB为半圆的直径，点C为的中点，点M为线段AB上的一点（含端点A，B），若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可得出，然后根据向量的运算得出，从而可求出答案.
【详解】因为点C为的中点，，所以，
所以
，
因为点M为线段AB上的一点，所以，所以，
所以的取值范围是,
故选：D.
8．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】利用正弦定理可得，根据三角形性质和边角互化得出，，解方程组可得结果.
【详解】因为，所以，即；
因为，由正弦定理可得①；
因为，所以，
所以，整理得②；
由①②可得，解得或（舍）.
故选：B.
二、多选题
9．以下关于向量的说法正确的有（ ）
A．若＝，则＝
B．若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆
C．若＝－且＝－，则=
D．若与共线，与共线，则与共线
【答案】AC
【分析】根据向量的基本概念和性质即可逐项判断.
【详解】若＝，则和的大小相等，方向相同，故A正确；
将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个球，故B错误；
若＝－，＝－，则＝－=，故C正确；
若与共线，与共线，则当时，无法判断与的关系，故D错误.
故选：AC.
10．在中,内角的对边分别为若,则角的大小是
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】由正弦定理可得,所以,而,可得,即可求得答案.
【详解】由正弦定理可得,
,而,
,
,
故或.
故选:BD.
【点睛】本题考查了根据正弦定理求解三角形内角,解题关键是掌握正弦定理和使用正弦定理多解的判断,考查了分析能力和计算能力,属于中等题.
11．已知向量，，，设，所成的角为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】由两边平方，将条件代入可得，再由可得，又，从而可对各个选项作出判断，得到答案.
【详解】向量，
由，可得
即，解得 ，所以A正确.
，所以
又，所以，所以D正确,C不正确.
,则，故B正确.
故选：ABD
12．向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁若向量，满足，，则（ ）
A． B．与的夹角为
C． D．在上的投影向量为
【答案】BC
【分析】利用向量的模长公式以及题中条件即可判断A,C,由夹角公式可判断B，根据投影向量的求法即可判断D.
【详解】，,
,解得,故A错误
,，
由于，与的夹角为，故B正确,
,故C正确
在上的投影向量为，故D错误,
故选：BC
三、填空题
13．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________.
【答案】0
【分析】由余弦定理化简求值．
【详解】∵b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－2accos 120°＝a2＋c2＋ac，∴a2＋c2＋ac－b2＝0.
故答案为：0
14．如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得，已知山高，则山高______．
【答案】
【分析】通过直角可先求出的值，在由正弦定理可求的值，在中，由，，从而可求得的值．
【详解】在中，，，所以．
在中，，，从而，
由正弦定理得，，因此．
在中，，，得．
故答案为：．
15．已知向量满足,，与的夹角为，，则_______．
【答案】2
【分析】由已知条件可得的值，再由可得，通过计算即可求出的值.
【详解】因为，所以，即.
又，,与的夹角为，则，
所以．
故答案为：2.
16．点是边长为2的正三角形的三条边上任意一点，则的最小值为___________.
【答案】
【分析】构建直角坐标系，设且，应用向量的坐标运算求坐标，应用坐标公式求模即可.
【详解】不妨假设在上且，如下图示，
所以，在且，设，
则，，，
所以，
故，
当时，的最小值为.
故答案为：
四、解答题
17．设向量，，.
(1)求；
(2)若，，求的值；
(3)若，，，求证：A，，三点共线.
【答案】(1)1
(2)2
(3)证明见解析
【分析】（1）先求，进而求；（2）列出方程组，求出，进而求出；（3）求出，从而得到，得到结果.
【详解】（1），；
（2），所以，解得：，所以；
（3）因为，所以，所以A，，三点共线.
18．如图，在圆内接四边形ABCD中，，，，的面积为.
(1)求AC；
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据面积公式可得，再根据余弦定理求解可得；
（2）根据内接四边形可得 ，再根据正弦定理求解即可
【详解】（1）因为的面积为，所以.
又因为，，所以.
由余弦定理得，，
，所以.
（2）因为ABCD为圆内接四边形，且，所以.又，由正弦定理可得，，故.因为，所以，所以.
19．在锐角中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，从条件①：，条件②：，条件③：这三个条件中选择一个作为已知条件．
(1)求角A的大小；
(2)若，求周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)周长的取值范围为
【分析】（1）若选条件①，切化弦即可；若选条件②，等价转换即可；若选条件③，由正弦定理，边化角得，再根据诱导公式等价转化即可.
（2）由正弦定理，边化角得，结合B的范围求解.
【详解】（1）选条件①：因为，所以，即，又因为为锐角三角形，所以，所以，所以.
选条件②：因为，所以
所以，又因为，所以，所以，所以，
选条件③：由正弦定理可得
即，又因为，所以，因为，所以.
（2）
，，
则即，
即周长的取值范围为.
20．在锐角中，已知，，且．
(1)求角B的大小；
(2)若，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量平行，结合二倍角正弦公式、降幂公式，化简整理，结合角B的范围，可求得答案；
（2）根据（1）得角B，代入余弦定理，结合基本不等式，可得最大值，代入面积公式，即可得答案.
(1)
因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
因为锐角三角形，，
所以，
所以，.
(2)
设角A、B、C所对的边为a,b,c，则，
由余弦定理得，
所以，即，
又，
所以，解得，
当且仅当时等号成立，
所以面积的最大值.
21．在中，a，b，c分别为角A B C的对边，.
(1)求A；
(2)若角A的平分线AD交BC于D，且BD=2DC，，求a.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据，利用正弦定理得到，再利用余弦定理求解；
（2）根据BD=2DC，由角平分线定理得到c=2b,再由，得到 ，再利用余弦定理求解.
【详解】（1）解：因为，
所以,，
即，
即，
所以，
因为，
所以；
（2）因为角A的平分线AD交BC于D，且BD=2DC，
由角平分线定理得：c=2b,
又，
即，
所以 ，即 ，
所以 ，
由余弦定理得：，
所以.
22．已知，
(1)求的值；
(2)求与的夹角.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由化简求出，再由可求得结果，
（2）先求出，，然后利用向量的夹角公式求解即可
【详解】（1）因为，，
所以，，得，
所以
（2）因为，
，
所以，
因为，
所以，
即与的夹角为第6章平面向量及其应用专项练习
一、单选题
1．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则等于（ ）
A． B． C．2 D．3
2．在中，角的对边分别为，且，，，则（ ）．
A． B． C． D．
3．已知平面四边形ABCD满足，则四边形ABCD是（ ）
A．正方形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形
4．已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量，则为（ ）
A． B． C． D．
6．在中，点线段上任意一点，点满足，若存在实数和，使得，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，AB为半圆的直径，点C为的中点，点M为线段AB上的一点（含端点A，B），若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、多选题
9．以下关于向量的说法正确的有（ ）
A．若＝，则＝
B．若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆
C．若＝－且＝－，则=
D．若与共线，与共线，则与共线
10．在中,内角的对边分别为若,则角的大小是
A． B． C． D．
11．已知向量，，，设，所成的角为，则（ ）
A． B． C． D．
12．向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁若向量，满足，，则（ ）
A． B．与的夹角为
C． D．在上的投影向量为
三、填空题
13．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________.
14．如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得，已知山高，则山高______．
15．已知向量满足,，与的夹角为，，则_______．
16．点是边长为2的正三角形的三条边上任意一点，则的最小值为___________.
四、解答题
17．设向量，，.
(1)求；
(2)若，，求的值；
(3)若，，，求证：A，，三点共线.
18．如图，在圆内接四边形ABCD中，，，，的面积为.
(1)求AC；
(2)求.
19．在锐角中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，从条件①：，条件②：，条件③：这三个条件中选择一个作为已知条件．
(1)求角A的大小；
(2)若，求周长的取值范围．
20．在锐角中，已知，，且．
(1)求角B的大小；
(2)若，求面积的最大值．
21．在中，a，b，c分别为角A B C的对边，.
(1)求A；
(2)若角A的平分线AD交BC于D，且BD=2DC，，求a.
22．已知，
(1)求的值；
(2)求与的夹角.
