第六章 平面向量及其应用 综合练习题（含答案）

第六章 平面向量及其应用
第I卷（选择题）
一、单选题
1. 下列命题中，正确的是
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
2. 已知，，是与向量方向相同的单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
3. 在中，，，，若点满是，则 ( )
A. B. C. D.
4. 在下列向量组中，可以把向量表示出来的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
5. 若的三个内角、、满足，则( )
A. B. C. D.
6. 在中，，， ，则的值是( )
A. B. C. D.
7. 已知，，则下列结论中正确的个数为( )
与同向共线的单位向量是 与的夹角余弦值为向量在向量上的投影向量为
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
8. 已知，，为坐标原点，点在内，，且，设，则的值为( )
A. B. C. D.
9. 如图，已知平行四边形的对角线相交于点，过点的直线与，所在直线分别交于点，，满足，，，若，则的值为( )
A. B. C. D.
10. 已知中，满足：，角、、的对边分别为、、，若的角平分线交线段于点，且，，则的面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题
11. 下列说法错误的是( )
A. 就是所在的直线平行于所在的直线
B. 长度相等的向量叫相等向量
C. 零向量的长度等于
D. 共线向量是在同一条直线上的向量
12. 已知向量，则下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 的最小值为 D. 若与的夹角为锐角，则
13. 下列说法中正确的是( )
A. 平面向量的一个基底中，，一定都是非零向量．
B. 在平面向量基本定理中，若，则．
C. 若单位向量的夹角为，则在方向上的投影向量是．
D. 表示同一平面内所有向量的基底是唯一的．
14. 已知点是边长为的正方形的中心，则下列结论正确的为( )
A. B. C. D.
15. 下列命题中正确的是：( )
A. 两个非零向量，，若，则与共线且反向
B. 已知，且，则
C. 若，，，为锐角，则实数的取值范围是
D. 若非零，满足，则与的夹角是
第II卷（非选择题）
三、填空题
16. 若向量与的方向相反，且，，则点坐标为______．
17. 已知向量与的夹角为，且，，则__________．
18. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标为 ．
19. 已知，，，，的夹角为，则三角形的边上中线的长为 ．
20. 半径为的圆上有三点，满足，点是圆内一点，则的取值范围为________．
四、解答题
21. 已知，，且．
求的值．
求．
22. 已知向量，，与的夹角为．
求；
求．
23. 如图，在菱形中，．
若，求的值；
若，求．
24. 在，，这三个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题．
记的内角，，的对边分别为，，，的面积为，已知______．
求
若，，求．
25. 如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点．
求；
求的余弦值．
26. 已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线．
求实数的值；
若，，求的坐标；
已知，在的条件下，若四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点的坐标．
27. 为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形其中百米，百米，且是以为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路，路的宽度忽略不计，设，
当时，求小路的长度；
当草坪的面积最大时，求此时小路的长度．
1、 ；2、 ；3、 ；4、 ；5、 ；6、 ；7、 ；8、 ；9、 ；10、 ；11、 ；12、 ；13、 ；14、 ；15、 ；16、 ；17、 ；18、 ；19、 ；20、
21、解：由题意知，，，且，
则，
即，
故．
由知，
由题意知，，，
故．
22、解：由题意，向量，，与的夹角为，
可得，
又由．
因为向量，，且，
所以．

23、解：因为，
，所以，
所以，
所以，，故．
，
，
为菱形，，，
所以，
．
24、解：选，由，得，
，则，，
则，即，
，，
，．
选，，，，
则，即，
，，
，．
选，由，得，
因为，所以，所以，
则．
由，，
得，得，
由余弦定理，得，
所以．
25、解：因为为中点，所以，
所以
，所以
因为为的中点，所以，
在三角形中，．
所以
因为与的夹角等于，所以，
因为
．
所以．

26、 解：
．
，，三点共线，
存在实数，使得，
即，
得．
，是平面内两个不共线的非零向量，
解得，，
．
．
，，，四点按逆时针顺序构成平行四边形，
．
设，则，
，
解得
即点的坐标为．
27、解：在中，，，．
由余弦定理得，，
所以．
因为，
所以．
由正弦定理得，即，
解得．
因为是以为直角顶点的等腰直角三角形，
所以且，
所以．
在中，由余弦定理得，
，
所以．
由得，，
，
此时，，且．
当时，四边形的面积最大，即，
此时，，
所以，即．
答：当时，小路的长度为百米；
草坪的面积最大时，小路的长度为百米．