一元函数的导数及其应用（能力卷）
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）
1. 设f(x)＝ln(2x＋1)，则f′(x)＝( )
A. B.
C.－ D.－
【解析】f′(x)＝[ln(2x＋1)]′(2x＋1)′＝.
2. 函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e)上的极大值为( )
A.－e B.1－e C.－1 D.0
【解析】f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－1.
令f′(x)＝0，得x＝1.
当x∈(0，1)时，f′(x)>0，当x∈(1，e)时，f′(x)<0，
故f(x)在x＝1处取得极大值f(1)＝ln 1－1＝0－1＝－1.
3. 函数y＝x－sin x，x∈的最大值是( )
A.π－1 B.－1 C.π D.π＋1
【解析】y′＝1－cos x，当x∈时，y′>0，
则函数在区间上单调递增，
所以y的最大值为ymax＝π－sin π＝π.
4. 已知函数f(x)＝ex－x＋a，若f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A.(－1，＋∞) B.(－∞，－1)
C.[－1，＋∞) D.(－∞，－1]
【解析】f′(x)＝ex－1，令f′(x)>0，解得x>0，令f′(x)<0，解得x<0，
故f(x)在(－∞，0)上单调递减，
在(0，＋∞)上单调递增，
故f(x)min＝f(0)＝1＋a.
若f(x)>0恒成立，则1＋a>0，
解得a>－1，故选A.
5. .已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是( )
【解析】由题图知，当－2
xf′(x)<0，
∴f′(x)>0.∴当－2当－10，∴f′(x)<0.
∴当－1当0∴当0当x>1时，xf′(x)>0，∴f′(x)>0.
∴当x>1时，y＝f(x)单调递增.故选C.
6. 设a＝e，b＝，c＝，则a，b，c大小关系是( )
A.aC.c【解析】构造函数f(x)＝，则f′(x)＝，
当x>e时，f′(x)>0，则f(x)在(e，＋∞)上单调递增.
又e<3<π，∴f(e)即<<，故a7. 设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn的值为( )
A. B. C. D.1
【解析】对y＝xn＋1(n∈N*)求导得y′＝(n＋1)·xn.
令x＝1，得曲线在点(1，1)处的切线的斜率k＝n＋1，
∴曲线在点(1，1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1).
令y＝0，得xn＝，
∴x1·x2·…·xn＝×××…×·＝，故选B.
8. 方程x2＝ex的实根个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】设f(x)＝ex－x2，f′(x)＝ex－2x，
令g(x)＝f′(x)＝ex－2x，
则g′(x)＝ex－2，
令g′(x)＝0，则x＝ln 2，
当x当x>ln 2时，g′(x)>0，
所以g(x)在(－∞，ln 2)上单调递减，
在(ln 2，＋∞)上单调递增，
所以当x＝ln 2时，g(x)取得极小值，也是最小值，为f′(x)的最小值，
f′(x)min＝f′(ln 2)＝eln 2－2ln 2
＝2(1－ln 2)>0，
即f′(x)>0在(－∞，＋∞)上恒成立，
所以f(x)＝ex－x2在(－∞，＋∞)上单调递增，
又f(0)＝1>0，f(－1)＝－1<0，
所以函数f(x)＝ex－x2存在唯一的零点，
即方程x2＝ex只有1个实根.
二、多选题（共4小题，每小题5分，选多部分给2分，多选或错选不给分，共20分）
9. 如图所示物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，下列说法正确的是( )
A.在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B.在t0时刻，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度
C.在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D.在0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
【解析】在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为v＝，故A错误；
瞬时速度为曲线的切线斜率，故B错误；
在t0到t1范围内，甲的平均速度为，
乙的平均速度为，
因为s2－s0>s1－s0，t1－t0>0，
所以>，故C正确，同理D正确.
10. 设f(x)在x0处可导，下列式子中与f′(x0)相等的是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】对于A,
= ＝f′(x0)，A满足；
对于B，
＝2
＝2f′(x0)，B不满足；
对于C,＝f′(x0)，C满足；
对于D,
＝3
＝3f′(x0)，D不满足.
11. 已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值可以是( )
A. B. C. D.
【解析】因为y＝，
所以y′＝＝＝.
因为ex>0，
所以ex＋≥2(当且仅当x＝0时取等号)，
所以y′∈[－1，0)，
所以tan α∈[－1，0).
又因为α∈[0，π)，
所以α∈，结合选项可选CD.
12. 已知定义在R上的函数f(x)，其导函数y＝f′(x)的大致图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A.f(b)>f(a) B.f(d)>f(e)
C.f(a)>f(d) D.f(c)>f(e)
【解析】由题图可得，当x∈(－∞，c)∪(e，＋∞)时，f′(x)>0，
当x∈(c，e)时，f′(x)<0，
故f(x)在(－∞，c)，(e，＋∞)上是增函数，在(c，e)上是减函数，
所以f(b)>f(a)，f(d)>f(e)，f(c)>f(e).
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13. 一质点按照运动规律s＝2t2－t运动，其中s表示位移，t表示时间，则质点在[2，2＋Δt]这段时间内的平均速度是________，在t＝2时的瞬时速度是________.
【解析】v＝
＝
＝ ＝7＋2Δt, (7＋2Δt)＝7.
14. 已知函数y＝f(x)＝2x2＋1在x＝x0处的瞬时变化率为－8，则f(x0)＝________.
【解析】由题意知－8＝
＝＝4x0，
得x0＝－2，
所以f(x0)＝2×(－2)2＋1＝9.
15. 已知直线x＋y＝b是函数f(x)＝ax＋的图象在点(1，m)处的切线，则a＋b＝________，m＝________.
【解析】由题意知m＝a＋2，1＋m＝b，
因为f′(1)＝
＝＝a－2，
所以曲线f(x)在点(1，m)处的切线斜率为a－2，
由a－2＝－1，得a＝1，m＝3，b＝4，a＋b＝5.
16. 曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________.
【解析】∵y′＝(ex)′＝ex，∴在点(2，e2)处的切线斜率为k＝e2，
∴曲线在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)，即y＝e2x－e2.
当x＝0时，y＝－e2，
当y＝0时，x＝1.
∴S△＝×1×＝e2.
解答题（共6小题，17题10分，18-22题12分，需要写出必要的过程和步骤）
17. 已知两条曲线y1＝sin x，y2＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使得在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由.
【解析】不存在，理由如下：
因为y1＝sin x，y2＝cos x，
所以y1′＝cos x，y2′＝－sin x.
设两条曲线的一个公共点为点P(x0，y0)，则两条曲线在点P(x0，y0)处的切线斜率分别为k1＝cos x0，k2＝－sin x0.
若两条切线互相垂直，
则cos x0·(－sin x0)＝－1，
即sin x0·cos x0＝1，
所以sin 2x0＝2，显然不成立，
所以这两条曲线不存在这样的公共点，使得在这一点处的两条切线互相垂直.
18. 已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8.
(1)求a，b的值；
(2)设函数g(x)＝exsin x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程.
【解析】(1)因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，
所以f′(x)＝2ax＋b，
又f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8.
(2)由(1)可知g(x)＝exsin x＋x2－8x＋3，
所以g′(x)＝exsin x＋excos x＋2x－8，
所以g′(0)＝e0sin 0＋e0cos 0＋2×0－8＝－7，
又g(0)＝3，
所以曲线g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)，
即7x＋y－3＝0.
19. 某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系式s(t)＝3sin(0≤t≤24)，其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t＝18时的导数，并解释它的实际意义.
【解析】设f(x)＝3sin x，x＝φ(t)＝t＋，
所以s′(t)＝f′(x)φ′(t)＝3cos x·＝cos，
将t＝18代入s′(t)，
得s′(18)＝cos＝(m/h).
s′(18)表示当t＝18 h时，潮水的高度上升的速度为 m/h.
20. 已知函数f(x)＝x3＋ax2－a2x＋2.
(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若a>0，求函数f(x)的单调区间.
【解析】(1)∵a＝1，∴f(x)＝x3＋x2－x＋2，
∴f′(x)＝3x2＋2x－1，∴f′(1)＝4.
又f(1)＝3，
∴切点坐标为(1，3)，
∴所求切线方程为y－3＝4(x－1)，
即4x－y－1＝0.
(2)f′(x)＝3x2＋2ax－a2
＝(x＋a)(3x－a)，
由f′(x)＝0得x＝－a或x＝.
又a>0，由f′(x)<0，得－a由f′(x)>0，得x<－a或x>，
故f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为和.
21. 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，a∈R.
(1)讨论函数f(x)的单调区间；
(2)设函数f(x)在区间内是减函数，求a的取值范围.
【解析】(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋1，Δ＝4(a2－3).
当Δ＞0，即a＞或a＜－时，
令f′(x)＞0，即3x2＋2ax＋1＞0，
解得x＞或x＜；
令f′(x)＜0，即3x2＋2ax＋1＜0，
解得＜x＜.
故函数f(x)的单调递增区间是
，；
单调递减区间是
.
当Δ＜0，即－＜a＜时，对所有的x∈R都有f′(x)＞0，故f(x)在R上单调递增.
当Δ＝0，即a＝±时，f′＝0，且对所有的x≠－都有f′(x)＞0，故f(x)在R上单调递增.
(2)若函数f(x)在区间内是减函数，
只需解得a≥2，
故a的取值范围是[2，＋∞).
22. 在“①f(x)在x＝1处取得极小值2，②f(x)在x＝－1处取得极大值6，③f(x)的极大值为6，极小值为2”，这三个条件中任选一个填在下面的横线上，并解答.
已知函数f(x)＝x3－3ax＋b(a>0)，且________，求f(x)的单调区间.
【解析】易知f′(x)＝3x2－3a，
若选条件①：
由得
所以f′(x)＝3x2－3，
令f′(x)>0，得x<－1或x>1，
令f′(x)<0，得－1所以f(x)的单调递减区间为(－1，1)，单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞).
若选条件②：由得
所以f′(x)＝3x2－3，
令f′(x)>0，得x<－1或x>1，
令f′(x)<0，得－1所以f(x)的单调递减区间为(－1，1)，单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞).
若选条件③：
令f′(x)＝3x2－3a＝0，得x＝±，
则f(x)，f′(x)随x的变化情况如表所示.
x (－∞，－) － (－，) (，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 单调 递增 极大值 单调 递减 极小值 单调 递增
所以
解得
所以f′(x)＝3x2－3，
令f′(x)>0，得x<－1或x>1，
令f′(x)<0，得－1所以f(x)的单调递减区间为(－1，1)，单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞).一元函数的导数及其应用（能力卷）
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）
1. 设f(x)＝ln(2x＋1)，则f′(x)＝( )
A. B.
C.－ D.－
2. 函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e)上的极大值为( )
A.－e B.1－e C.－1 D.0
3. 函数y＝x－sin x，x∈的最大值是( )
A.π－1 B.－1 C.π D.π＋1
4. 已知函数f(x)＝ex－x＋a，若f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A.(－1，＋∞) B.(－∞，－1)
C.[－1，＋∞) D.(－∞，－1]
5. .已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是( )
6. 设a＝e，b＝，c＝，则a，b，c大小关系是( )
A.aC.c7. 设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn的值为( )
A. B. C. D.1
8. 方程x2＝ex的实根个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
二、多选题（共4小题，每小题5分，选多部分给2分，多选或错选不给分，共20分）
9. 如图所示物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，下列说法正确的是( )
A.在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B.在t0时刻，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度
C.在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D.在0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
10. 设f(x)在x0处可导，下列式子中与f′(x0)相等的是( )
A.
B.
C.
D.
11. 已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值可以是( )
A. B. C. D.
12. 已知定义在R上的函数f(x)，其导函数y＝f′(x)的大致图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A.f(b)>f(a) B.f(d)>f(e)
C.f(a)>f(d) D.f(c)>f(e)
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13. 一质点按照运动规律s＝2t2－t运动，其中s表示位移，t表示时间，则质点在[2，2＋Δt]这段时间内的平均速度是________，在t＝2时的瞬时速度是________.
14. 已知函数y＝f(x)＝2x2＋1在x＝x0处的瞬时变化率为－8，则f(x0)＝________.
15. 已知直线x＋y＝b是函数f(x)＝ax＋的图象在点(1，m)处的切线，则a＋b＝________，m＝________.
16. 曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________.
解答题（共6小题，17题10分，18-22题12分，需要写出必要的过程和步骤）
17. 已知两条曲线y1＝sin x，y2＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使得在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由.
18. 已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8.
(1)求a，b的值；
(2)设函数g(x)＝exsin x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程.
19. 某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系式s(t)＝3sin(0≤t≤24)，其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t＝18时的导数，并解释它的实际意义.
20. 已知函数f(x)＝x3＋ax2－a2x＋2.
(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若a>0，求函数f(x)的单调区间.
21. 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，a∈R.
(1)讨论函数f(x)的单调区间；
(2)设函数f(x)在区间内是减函数，求a的取值范围.
22. 在“①f(x)在x＝1处取得极小值2，②f(x)在x＝－1处取得极大值6，③f(x)的极大值为6，极小值为2”，这三个条件中任选一个填在下面的横线上，并解答.
已知函数f(x)＝x3－3ax＋b(a>0)，且________，求f(x)的单调区间.