第五章 一元函数的导数及其应用 单元检测-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册（含答案）

第五章 一元函数的导数及其应用
第I卷（选择题）
一、单选题
1. 设曲线在点处的切线斜率为，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
2. 一质点的运动方程为，则时质点的瞬时速度为( )
A. B. C. D.
3. 函数的图象在点处的切线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
4. 下列对函数求导运算正确的是．( )
A. B.
C. D.
5. 若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6. 函数的零点个数为( )
A. B. C. D.
7. 为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度与时间的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如下图所示．给出下列四个结论错误的是( )
A. 在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；
B. 在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；
C. 在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；
D. 在，两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同．
8. 在下列四个图象中，其中一个图象是函数的导函数的图象，则( )
A. B. C. D.
9. 函数，当时，有恒成立，则实数的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
10. 已知函数为常数，则下列结论正确的有( )
A. 若有个零点，则的范围为
B. 时，是的极值点
C. 时，有且仅有一个零点，且
D. 时，恒成立
二、多选题
11. 如图所示物体甲、乙在时间到范围内路程的变化情况，下列说法正确的是( )
A. 在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B. 在时刻，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度
C. 在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D. 在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
12. 下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
13. 设函数的导函数为，则( )
A. B. 是函数的极值点
C. 存在两个零点 D. 在上单调递增
14. 对下列的函数求导，其中正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
15. 关于函数，下列说法正确的是( )
A. 是的极小值 B. 函数有且只有一个零点
C. 在上单调递减 D. 设，则
第II卷（非选择题）
三、填空题
16. 已知曲线的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为__________．
17. 已知定义域都是的两个不同的函数，满足，且写出一个符合条件的函数的解析式 ．
18. 已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是 ．
19. 设函数是内的可导函数，且，则 ．
20. 若存在实数，使不等式成立，则实数的取值范围是 ．
四、解答题
21. 已知曲线上的一点，用切线斜率定义求：
点处的切线的斜率；
点处的切线方程．
22. 求下列函数的导数：
；
．
23. 设函数
若是的极值点，求的单调区间；
若，求的取值范围．
24. 求下列函数的导数．

．
25. 已知函数．
求导函数；
当时，求函数的图象在点处的切线方程．
26. 已知函数．
Ⅰ求函数的单调区间；
Ⅱ是否存在，使得不等式恒成立？若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由．
1、 ；2、 ；3、 ；4、 ；5、 ；6、 ；7、 ；8、 ；9、 ；10、 ；
11、 ；12、 ；13、 ；14、 ；15、 ；
16、 ；17、 ；18、 ；19、 ；20、
21、解：，
．
当无限趋近于零时，无限趋近于，
即点处的切线的斜率是．
切线方程为．
即．

22、解：
；
解：，
则．

23、解：，
，经检验符合条件，
，
令，有或，令，有，
所以的单调递增区间是，单调递减区间是．
由题意
当时，令，有，令，有，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以
，即
当时，不成立．
综上，．
24、解：，
．
把函数的解析式整理变形得：
，
．
根据求导法则进行求导可得：

利用除法的求导法则进行求导可得：

25、解：由，
得．
由知当时，，
则，
函数的图像在点处的切线方程为，
即．

26、解：Ⅰ，
令，其中
当即时，在上恒成立，
故在上单调递增；
当即，的两根分别为，，；
当时，在上恒成立，故在上单调递增；
当时，由得或；由得；
故在上单调递增，在上单调递减；
综上，当时，在上单调递增；
当时在上单调递增，在上单调递减．
Ⅱ设，则，
依题意，函数恒成立，又由，
进而条件转化为不等式对恒成立，所以是函数的最大值，也是函数的极大值，故，解得．
下面证明当时，满足题意．
，
令可得，令可得
故在上递增，在上递减．
因此，即不等式恒成立．
综上，存在且的取值集合为．