第7章复数专项练习
一、单选题
1．已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．若复数为纯虚数，则的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
4．复数 是实数，则实数a的值为（ ）
A．1或-1 B．1
C．-1 D．0或-1
5．已知，，(i为虚数单位)，则（ ）
A． B．1 C． D．3
6．实数x，y满足，则的值是（ ）
A．0 B．1 C． D．2
7．已知复数对应的点在第二象限，为的共轭复数，有下列关于的四个命题：
甲：； 乙：；
丙：； 丁：．
如果只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．已知复数﹑满足，复数满足或者，且对任意成立，则正整数n的最大值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
二、多选题
9．复数，则（ ）
A．在复平面内对应的点的坐标为
B．在复平面内对应的点的坐标为
C．
D．
10．已知与是共轭虚数，以下四个命题一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．点O在所在的平面内,则以下说法正确的有
A．若,则点O为的重心
B．若,则点O为的垂心
C．若,则点O为的外心
D．若,则点O为的内心
12．已知复数，为虚数单位，，则下列正确的为（ ）
A．若z是实数，则 B．复平面内表示复数z的点位于一条抛物线上
C． D．若，则
三、填空题
13．若复数在复平面内对应的点为，则________.
14．已知1＋2i是方程x2－mx＋2n＝0(m，n∈R)的一个根，则m＋n＝____.
15．设复数满足，且使得关于的方程有实根，则这样的复数的和为______.
16．设复数z，满足，，，则____________．
四、解答题
17．实数m分别为何值时，复数z（m2﹣3m﹣18）i是
（1）实数；
（2）虚数；
（3）纯虚数．
18．在复平面内，平行四边形的顶点，，，对应复数分别为，，．
（1）求，及，；
（2）设，求．
19．已知z是复数，且和都是实数，其中i是虚数单位.
（1）求复数z和；
（2）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求实数m的取值范围.
20．已知复数，是实数.
(1)求复数z；
(2)若复数在复平面内所表示的点在第二象限，求实数m的取值范围.
21．已知，i为虚数单位.
（1）若，求；
（2）若，求实数a，b的值.第7章复数专项练习解析版
一、单选题
1．已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知条件求出复数，利用共轭复数的定义可得出结果.
【详解】因为，所以，，因此，.
故选：D.
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知得，根据复数除法运算法则，即可求解.
【详解】，
.
故选：B.
3．若复数为纯虚数，则的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由复数的类型有且，求参数m，进而写出的共轭复数.
【详解】由题意知：且，
∴，即，故的共轭复数是.
故选：A.
4．复数 是实数，则实数a的值为（ ）
A．1或-1 B．1
C．-1 D．0或-1
【答案】C
【分析】利用复数是实数的充要条件，列式计算作答.
【详解】因复数 是实数，则，解得，
所以实数a的值为-1.
故选：C
5．已知，，(i为虚数单位)，则（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】C
【分析】首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数的值.
【详解】，
利用复数相等的充分必要条件可得：.
故选：C.
6．实数x，y满足，则的值是（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】根据复数相等可得答案.
【详解】实数x，y满足，化简可得，
所以，解得，所以．
故选：B．
7．已知复数对应的点在第二象限，为的共轭复数，有下列关于的四个命题：
甲：； 乙：；
丙：； 丁：．
如果只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【分析】设，根据复数所在象限、复数加法、减法、乘法和除法，结合“只有一个假命题”进行分析，由此确定正确选项.
【详解】设，
由于对应点在第二象限，所以，
，，
，.
甲，
乙，
丙，
丁，
由于“只有一个假命题”，所以乙是假命题，的值应为.
故选：B
8．已知复数﹑满足，复数满足或者，且对任意成立，则正整数n的最大值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【解析】用向量表示，根据题意，可得，因为或者，根据其几何意义可得的终点的轨迹，且满足条件的终点个数即为n，数形结合，即可得答案.
【详解】用向量表示，
因为，所以，
又满足或者，
则可表示以O为起点，终点在以A为圆心，半径为r的圆上的向量，或终点在以B为圆心，半径为r的圆上的向量，则终点可能的个数即为n，
因为，所以在同一个圆上的两个点，形成的最小圆心角为，
如图所示，则最多有10个可能的终点，即n=10.
故选：C
【点睛】解题的关键是根据所给条件的几何意义，得到的终点轨迹，根据条件，数形结合，即可得答案，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.
二、多选题
9．复数，则（ ）
A．在复平面内对应的点的坐标为
B．在复平面内对应的点的坐标为
C．
D．
【答案】AD
【分析】利用复数的几何意义，求出复数对应的点坐标为，即可得答案；
【详解】在复平面内对应的点的坐标为，．
故选：AD.
10．已知与是共轭虚数，以下四个命题一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】设出复数，根据复数的运算，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】由题意，复数与是共轭虚数，设、，且，
则，当时，由于复数不能比较大小，∴A选项不一定正确，
又由、，∴，∴B选项一定正确；
由，∴C选项一定正确，
由不一定是实数，∴D选项不一定正确.
故选：BC.
11．点O在所在的平面内,则以下说法正确的有
A．若,则点O为的重心
B．若,则点O为的垂心
C．若,则点O为的外心
D．若,则点O为的内心
【答案】AC
【解析】逐项进行分析即可.
【详解】解：选项A，设D为的中点，由于，所以为边上中线的三等分点(靠近点D)，所以O为的重心；
选项B，向量分别表示在边和上的单位向量，设为和，则它们的差是向量，则当，即时，点O在的平分线上，同理由，知点O在的平分线上，故O为的内心；
选项C，是以为邻边的平行四边形的一条对角线，而是该平行四边形的另一条对角线，表示这个平行四边形是菱形，即，同理有，于是O为的外心；
选项D，由得，
∴，即，
∴．同理可证，
∴，，，即点O是的垂心；
故选：AC．
【点睛】本题主要考查平面向量在三角形中的应用，考查向量的数量积，考查三角形的“五心”，属于中档题．
12．已知复数，为虚数单位，，则下列正确的为（ ）
A．若z是实数，则 B．复平面内表示复数z的点位于一条抛物线上
C． D．若，则
【答案】BC
【分析】以实数定义求出参数a判断选项A；以复数z对应点的坐标判断选项B；求出复数z的模判断选项C；以复数相等求出参数a判断选项D.
【详解】选项A：由复数是实数可知，解之得.选项A判断错误；
选项B：复数在复平面内对应点，其坐标满足方程，即点位于抛物线上. 判断正确；
选项C：由，可得
.判断正确；
选项D： 即
可得，解之得.选项D判断错误.
故选：BC
三、填空题
13．若复数在复平面内对应的点为，则________.
【答案】##
【分析】由复数对应点写出复数，再应用复数的除法化简即可.
【详解】由题设，，故.
故答案为：
14．已知1＋2i是方程x2－mx＋2n＝0(m，n∈R)的一个根，则m＋n＝____.
【答案】
【分析】将代入方程，根据复数的乘法运算法则，得到，再由复数相等的充要条件得到方程组，解得即可；
【详解】解：将代入方程x2－mx＋2n＝0，有(1＋2i)2－m(1＋2i)＋2n＝0，即，即，由复数相等的充要条件，得解得
故.
故答案为：
15．设复数满足，且使得关于的方程有实根，则这样的复数的和为______.
【答案】
【解析】首先设 (，且)，代入方程，化简为，再分和两种情况求验证是否成立.
【详解】设，(，且)
则原方程变为.
所以，①且，②；
（1）若，则解得，当时①无实数解，舍去；
从而，此时或3，故满足条件；
（2）若，由②知，或，显然不满足，故，代入①得，，
所以.
综上满足条件的所以复数的和为.
故答案为：
【点睛】思路点睛：本题考查复系数二次方程有实数根问题，关键是设复数后代入方程，再进行整理转化复数的代数形式，注意实部和虚部为0，建立方程求复数.
16．设复数z，满足，，，则____________．
【答案】
【解析】根据复数的几何意义得到对应向量的表示，再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出的值.
【详解】设在复平面中对应的向量为，对应的向量为，如下图所示：
因为，所以，所以，
又因为，所以，
所以，
所以，又，
故答案为：.
【点睛】结论点睛：复数的几何意义：
（1）复数复平面内的点；
（2）复数 平面向量.
四、解答题
17．实数m分别为何值时，复数z（m2﹣3m﹣18）i是
（1）实数；
（2）虚数；
（3）纯虚数．
【答案】（1）m＝6；（2）m≠﹣3且m≠6；（3）m＝1或m．
【分析】（1）根据复数是实数，得虚部为零即可．
（2）根据复数是虚数，则虚部不为零即可．
（3）根据复数是纯虚数，得实部为零，虚部不为0．
【详解】解：（1）若复数是实数，则，
即，得m＝6；
（2）如复数是虚数，则，
即，则m≠﹣3且m≠6；
（3）如复数是纯虚数，则，
则，
即m＝1或m．
18．在复平面内，平行四边形的顶点，，，对应复数分别为，，．
（1）求，及，；
（2）设，求．
【答案】（1），；，；（2）.
【分析】（1）因为，再根据复数的几何意义可知向量的坐标，再表示的坐标，再根据向量模的计算公式计算；
（2）分别求向量和的坐标，再根据夹角公式计算.
【详解】解：（1）因为
所以所对应的复数
所以，
因为
所以所对应的复数
所以，
（2）由题
因为，
所以，
，
所以
【点睛】本题考查复数，向量，以及坐标的关系，向量数量积的坐标表示，重点考查定义，公式，属于基础题型，本题的关键是理解向量坐标和复数的几何意义的关系.
19．已知z是复数，且和都是实数，其中i是虚数单位.
（1）求复数z和；
（2）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求实数m的取值范围.
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）设（a，），由复数的运算法则分别求出和的表达式，再根据二者都为实数进行求解即可；
（2）根据复数的几何意义计算求解即可.
【详解】（1）设（a，），则，
为实数，，即，
，
为实数，，
即，则，；
（2）由（1）得，
依题意得，解得，实数m的取值范围是.
20．已知复数，是实数.
(1)求复数z；
(2)若复数在复平面内所表示的点在第二象限，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先将代入化简，再由其虚部为零可求出的值，从而可求出复数，
（2）先对化简，再由题意可得从而可求得结果
(1)
因为，
所以，
因为是实数，所以，解得.
故.
(2)
因为，
所以.
因为复数所表示的点在第二象限，
所以
解得，即实数m的取值范围是.
21．已知，i为虚数单位.
（1）若，求；
（2）若，求实数a，b的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）求出的共轭复数，代入化简，再求；
（2）根据，得到，列方程组即可求解.
【详解】（1）已知，，
，
.
（2），
，
，解得.
【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及共轭复数，复数的模长，根据两个复数相等列方程组求解.
