2014年中考数学总复习提能训练课件第三章 第4讲二次函数

课件41张PPT。第4讲二次函数 1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并
体会二次函数的意义．
2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次
函数的性质．
3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式
不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题．
4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．考点 1二次函数1．二次函数的概念．y＝ax2＋bx＋c 形如________________(a，b，c 是常数，a≠0)的函数，叫
做二次函数．表达式法数表法2．二次函数的三种表示方法．
_________、图象法和_________．3．二次函数的图象和性质.向上向下小续表考点2系数 a，b，c 和Δ的符号 1．系数 a，b，c 的几何意义．
(1)开口方向：__________的符号决定抛物线的开口方向．
(2)当 a，b 同号，对称轴在 y 轴________边；当 a，b 异号，
对称轴在 y 轴________边．
(3)______的符号确定抛物线与 y 轴的交点在正半轴或负半
轴或原点．a左右c2．二次函数与一元二次方程中Δ的关系.两个有两个相等的实数根无交点考点3二次函数的解析式1．待定系数法求二次函数的解析式.y＝a(x－h)2＋k(a≠0) y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)的图象2.二次函数的平移与解析式的关系．
y＝ax2 的图象y ＝a(x －h)2向②______(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位y ＝a(x －h)2＋k 的图象．上左考点4二次函数的综合运用 1．从实际问题中抽象出二次函数，并能利用二次函数的最
值问题解决实际问题中的最值问题．
2．二次函数综合几何图形，要充分抓住几何图形的特点并
结合二次函数图象的特点才能有效解决问题．二次函数综合动
点问题，要弄清楚在动的过程中，什么变了，什么没变．动中
求静才能有效解决问题．【学有奇招】1．通过配方，可以确定顶点坐标，对称轴，进而可以找出抛物线的平移规律，所以掌握配方法非常重要． 2．二次函数的图象性质及单调性的规律：确定抛物线的对
称轴及开口方向．当抛物线开口向下的时候离对称轴越近，对
应的函数值就越大；当抛物线开口向上的时候离对称轴越近，
对应的函数值就越小．1．以 P(－2，－6)为顶点的二次函数是()CA．y＝5(x＋2)2＋6
C．y＝5(x＋2)2－6B．y＝5(x－2)2＋6
D．y＝5(x－2)2－62．把抛物线 y＝－2x2 向上平移 1 个单位，得到的抛物线是()CA．y＝－2(x＋1)2
C．y＝－2x2＋1 B．y＝－2(x－1)2
D．y＝－2x2－13．若 a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的大致图象为()B4．抛物线 y＝－2x2＋6x－1 的对称轴为________，图象有最_____(填“高”或“低”)点，其坐标为________．高
＝________；当 x________时，y 随 x 的增大而减小．5<5 二次函数的图象和性质D⑤a＝—b.你认为其中正确信息的个数有( 2．(2013 年湖北鄂州)小轩从如图 3-4-1 所示的二次函数 y
＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象中，观察得出了下面信息：①ab＞0；
②a＋b＋c＜0；③b＋2c＞0；④a－2b＋4c＞0；)D 3
2
A．2 个B．3 个C．4 个D．5 个图 3-4-1 名师点评：本类题考查的是二次函数的系数符号，先看a，
c，Δ的符号，再结合对称轴推出b 的符号；同时含有a，b，c
的代数式，尽量找到特殊点；此外，还可以把图中的已知点代
入帮助解题．2确定二次函数的关系式 例题：(2012年江苏泰州)如图3-4-2，在平面直角坐标系xOy
中，边长为 2 的正方形 OABC 的顶点 A，C 分别在 x 轴，y 轴的3正半轴上，二次函数 y＝－—x2＋bx＋c 的图象经过 B，C 两点． (1)求该二次函数的解析式；
(2)结合函数的图象探索：
当 y>0 时，x 的取值范围．图 3-4-2【试题精选】
3．(2013 年贵州遵义节选)如图3-4-3，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为
，且与 y 轴交于点 C(0,2)，与 x 轴交于 A，B 两点(点 A 在点 B 的左边)．求抛物线的解析式
及 A，B 两点的坐标．
图 3-4-3 名师点评：求二次函数的解析式，要根据问题中所给的条
件，合理地选择二次函数的三种表达式(一般式、顶点式、两点
式)进行假设，对快速解决问题有很大的帮助．二次函数的综合运用 例题：(2012 年江苏连云港)如图 3-4-4(1)，抛物线 y＝－x2
＋bx＋c 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，点 O 为坐标
原点，点 D 为抛物线的顶点，点 E 在抛物线上，点 F 在 x 轴上，
四边形 OCEF 为矩形，且 OF＝2，EF＝3.(1)求抛物线所对应的函数解析式；
(2)求△ABD 的面积；(3)将△AOC绕点C逆时针旋转90°，点A的对应点为点G，问点 G 是否在该抛物线上？请说明理由．(1)(2) 图3-4-4
解：(1)∵四边形OCEF为矩形，OF＝2，EF＝3，
∴点C 的坐标为(0,3)，点E 的坐标为(2,3)．
把C(0,3)，E(2,3)分别代入y＝－x2＋bx＋c，得c＝3，
－4＋2b＋c＝3，解得b＝2，
c＝3.∴抛物线所对应的函数解析式为y＝－x2＋2x＋3.∴△ABD的面积＝—×4×4＝8.(2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
∴抛物线的顶点坐标为D(1,4)．
∴△ABD 中AB 边的高为 4.令 y＝0，得－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3.
∴AB＝3－(－1)＝4.1
2(3)如图3-4-4(2)，△AOC 绕点C逆时针旋转90°，CO落在CE 所在的直线上，由(1)(2)可知 OA＝1，OC＝3，∵点 A 的对应点 G 的坐标为(3,2)．∵当 x＝3 时，y＝－32＋2×3＋3＝0≠2，
∴点 G 不在该抛物线上．【试题精选】
4．(2013 年湖北天门)2013 年 5 月 26 日，中国羽毛球队蝉
联苏迪曼杯团体赛冠军，成就了首个五连冠霸业．比赛中羽毛
球的某次运动路线可以看作是一条抛物线(如图 3-4-5)．若不考
虑外力因素，羽毛球行进高度 y(单位：米)与水平距离 x(单位：为________米．图 3-4-55与直线 y＝—x＋2 交5．如图 3-4-6，抛物线y＝－x2＋bx＋c1
2于 C，D 两点，其中点 C 在 y 轴上，点 D 的坐标为
点 P 是 y 轴右侧的抛物线上一动点，过点
P 作 PE⊥x 轴于点 E，交 CD 于点 F.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点 P 的横坐标为 m，当 m
为何值时，以 O，C，P，F 为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．图 3-4-6
1．(2013 年广东湛江)抛物线 y＝x2＋1 的最小值是______．
2．(2013 年广东深圳)已知二次函数 y＝a(x－1)2－c 的图象)A如图 3-4-7，则一次函数 y＝ax＋c 的大致图象可能是(
1图 3-4-7 3．(2012 年广东珠海)如图 3-4-8，二次函数 y＝(x－2)2＋m
的图象与 y 轴交于点 C，点 B 是点 C 关于该二次函数图象的对
称轴对称的点．已知一次函数 y＝kx＋b 的图象经过该二次函数
图象上的点 A(1,0)及点 B. (1)求二次函数与一次函数的解析式；
(2)根据图象，写出满足 kx＋b≥
(x－2)2＋m 的 x 的取值范围．图 3-4-8(2)∵点 A，B 坐标分别为(1,0)，(4,3)，∴当 kx＋b≥(x－2)2＋m 时，直线 y＝x－1 的图象在抛物线y＝(x－2)2－1 的图象上方或相交，此时 1≤x≤4.4．(2013 年广东佛山)如图 3-4-9(1)，已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过点 A(0,3)，B(3,0)，C(4,3) .(1)求抛物线的函数表达式；(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)把抛物线向上平移，使得顶点落在 x 轴上，直接写出两
条抛物线、对称轴和 y 轴围成的图形的面积 S[图 3-4-9(2)中阴影
部分]．(1) (2)
图3-4-9 解：(1) ∵抛物线 y ＝ax2 ＋bx ＋c 经过点 A(0,3) ，B(3,0) ，
C(4,3)， c＝3，
∴ 9a＋3b＋c＝0，
16a＋4b＋c＝3， a＝1，
解得 b＝－4，
c＝3.∴抛物线的函数表达式为 y＝x2－4x＋3.
(2)∵y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，
∴抛物线的顶点坐标为(2，－1)，对称轴为直线 x＝2.(3)如图 10，∵抛物线的顶点坐标为(2，－1)，
∴PP′＝1.阴影部分的面积等于平行四边形 A′APP′的面积，
平行四边形 A′APP′的面积＝1×2＝2，
∴阴影部分的面积为 2.图 10 5．(2013年广东广州)已知抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0，a≠c)
过点 A(1,0)，顶点为 B，且抛物线不经过第三象限．
(1)使用 a，c 表示 b；
(2)判断点 B 所在象限，并说明理由；
(3)若直线 y2＝2x＋m 经过点 B，且于该抛物线交于另一点，求当 x≥1 时，y1 的取值范围．∵x1＝1，x2＝—，a≠c，解：(1)抛物线过点 A(1,0)，则有 a＋b＋c＝0，即 b＝－a－c.
(2)点 B 在第四象限．理由如下：c
a∴抛物线与 x 轴有两个交点．
∵抛物线不经过第三象限，
∴a>0，且顶点在第四象限．
∴点 B 在第四象限．又∵a＋c＝8，则有 c(8－c＋2)＝24.
解得 c＝4 或 c＝6.
当 c＝4 时，a＝8－c＝4，又 a≠c，故舍去；
当 c＝6 时，a＝8－c＝2.
画图易知(如图 11)，
点 C 在点 A 的右侧，
∴当 x≥1 时，y1≥4ac－b2
4a＝－2.图 116．(2012 年广东茂名)如图 3-4-10，抛物线y＝ax2＋—x＋c
经过原点 O 和 A(4,2)，与 x 轴交于点 C，点 M，N 同时从原点
O 出发，点 M 以 2 个单位/秒的速度沿 y 轴正方向运动，点 N
以 1 个单位/秒的速度沿 x 轴正方向运动，当其中一个点停止运
动时，另一点也随之停止．
(1)求抛物线的解析式和点 C 的坐标；
(2)在点 M，N 运动过程中，
①若线段 MN 与 OA 交于点 G，试判断 MN 与 OA 的位置关系，并说明理由；图 3-4-103
2 ②若线段 MN 与抛物线相交于点 P，探索：是否存在某一
时刻 t，使得以 O，P，A，C 为顶点的四边形是等腰梯形？若存
在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由．＝＝ .(2)①MN⊥OA.理由如下：
过点 A 作 AB⊥x 轴于点 B，则 OB＝4，AB＝2.由已知，可得OM OB 2
ON AB 1∴Rt△MON∽Rt∠OBA.
∴∠NMO＝∠AOB，∠MNO＝∠OAB.
又∵∠AOB＋∠OAB＝90°，
∴∠AOB＋∠MNO＝90°.
∴∠OGN＝90°，∴MN⊥OA. ②存在．理由如下：
设点 P 的坐标为(x，y)，依题意可知，当点 P 是点 A 关于
抛物线对称轴的对称点时，四边形 APOC 为等腰梯形．
则点 P 坐标为(2,2)，及 M(0,2t)，N(t,0)．
设直线 MN 的解析式为 y＝kx＋2t，将点 N，P 的坐标代入，得kt＋2t＝0，
2k＋2t＝2，解得t1＝0，
k1＝1，(不合题意舍去)或t2＝3，
k2＝－2.∴当 t＝3 秒时，四边形 OPAC 是等腰梯形．