2014年中考数学总复习提能训练课件第四章 第2讲 第2课时

课件31张PPT。第 2 课时等腰三角形与直角三角形 1．了解等腰三角形的有关概念，掌握等腰三角形的性质和
一个三角形是等腰三角形的条件．
2．了解等边三角形的概念及其性质．
3．了解直角三角形的概念，掌握直角三角形的性质和一个
三角形是直角三角形的条件．
4．会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理
判断一个三角形是直角三角形．考点 1等腰三角形的判定与性质 1．判定．
(1)有两条边________的三角形是等腰三角形，即“等边对
等角”．
(2)有两个角________的三角形是等腰三角形，即“等角对等边”．相等相等相等重合底边上的高(中线)或顶角的角平分线 2．性质．
(1)等腰三角形的两个底角________，即“等边对等角”．
(2)三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、
底边上的高互相________．
(3) 对称性：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是
_________________________________________所在的直线．考点2等边三角形的判定与性质1．判定．相等相等等腰(1)三条边都__________的三角形是等边三角形．
(2)三个角都__________的三角形是等边三角形．
(3)有一个角是 60°的__________三角形是等边三角形．2．性质．相等60°轴对称图形三 (1)等边三角形的三条边__________ .
(2)等边三角形的三个角都是______________．
(3)对称性：等边三角形是____________，有_______条
对称轴．考点3直角三角形的判定与性质1．判定．
(1)有一个角是________的三角形是直角三角形．
(2)勾股定理的逆定理．
2．性质．
(1)直角三角形的两个锐角________．
(2)直角三角形中 30°角所对的直角边等于斜边的_______．
(3)直角三角形中，斜边上的中线长等于斜边长的_______．直角互余一半一半考点4勾股定理及其逆定理1．勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和________斜边的平方．等于平方 2．勾股定理的逆定理：若一个三角形中有两边的平方和等
于第三边的________，则这个三角形是直角三角形．【学有奇招】1．“等角对等边”应用极为广泛，但一定要注意前提条件是在同一个三角形中． 2．等边三角形的三个判定定理的前提不同，判定定理(1)
和(2)是在三角形条件下，判定定理(3)是在等腰三角形的条件
下． 3．辅助线问题：①等腰三角形中常作顶角的平分线、底边
上的高、中线；②当图形中不存在特殊三角形时，可根据已知
条件和图形特征，适当添加辅助线，使之构成特殊三角形，然
后利用有关性质进行计算与求解．)B1．有一个内角是 60°的等腰三角形是(
A．钝角三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．以上都不是2．边长为 4 的正三角形的高为()DA．2B．4C. D．23．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30°，腰长为a，则其底边上的高是____________．4．已知等腰三角形的一个内角为 80°，则另两个角的度数是________________________．50°，50°或 80°，20°等腰三角形的性质与判定 例题：(2013 年内蒙古赤峰)在等腰三角形中，马彪同学做
了如下探究：已知一个角是60°，则另两个角是唯一确定的(60°，
60°)；已知一个角是90°,则另两个角也是唯一确定的(45°,45°)；
已知一个角是120°，则另两个角也是唯一确定的(30°,30°)．由
此马彪同学得出结论：在等腰三角形中，已知一个角的度数，
则另两个角的度数是唯一确定的．马彪同学的结论是_________
的(填“正确”或“错误”)． 思路分析：当等腰三角形的一个角是锐角时，这个锐角可
能是等腰三角形的顶角也可能是底角，需要分类讨论．
解析：如已知一个角是70°，当70°为顶角时，另外两个角
是底角，大小为55°；当70°为底角时，另外一个底角也是70°，
顶角是40°.故马彪的结论是错误的．答案：错误【试题精选】
1．(2013 年甘肃白银)等腰三角形的周长为 16，其一边长为 6，则另两边分别为______________．5,5 或 6,4 2．(2013 年湖北仙桃)如图 4-2-26，在△ABC 中，AB＝AC，
∠A＝120°，BC＝6 cm，AB的垂直平分线交BC 于点 M，交AB
于点 E，AC 的垂直平分线交 BC 于点 N，交 AC于点F，则 MN的长为()图 4-2-26A．4 cm
C．2 cm B．3 cm
D．1 cm答案：C3．(2013年山东淄博)如图4-2-27，AD∥BC，BD 平分∠ABC.求证：AB＝AD.图 4-2-27 证明：∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB.
又∵BD 平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC.
∴∠ABD＝∠ADB.∴AB＝AD.
名师点评：解决与等腰三角形相关的计算问题时，一定要
分清顶角和底角、底边和腰，适当情况下应该分类讨论，找出
正确答案．证明两条线段、两个角相等的常用方法：若它们在
同一个三角形中，可利用角证边或用边证角，若它们在不同的
三角形中，则通过证两个三角形全等来实现． 直角三角形的性质与判定
例题：(2013 年山东济南)如图 4-2-28(1)，小亮将升旗的绳
子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端
拉到距离旗杆 8 m 处，发现此时绳子末端距离地面 2 m．则旗)图 4-2-28杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计)为(
A．12 m
B．13 m
C．16 m
D．17 m 解析：如图4-2-28(2)，作BC⊥AE 于点C，则BC＝DE＝8.
设AE＝x，则 AB＝x，AC＝x－2.在Rt△ABC 中，AB2＝AC2＋
BC2，则 x2＝(x－2)2＋64，解得 x＝17.答案：D【试题精选】
4．(2013 年贵州黔西南州)一直角三角形的两边长分别为 3)和 4，则第三边的长为(
D
5.(2013 年湖北黄冈)如图 4-2-29，
已知△ABC 为等边三角形，BD 为中线，
延长 BC 至 E，使 CE＝CD＝1，连接 DE，则 DE＝__________.图 4-2-29 名师点评：解决直角三角形的关键：一是能熟练运用勾股
定理及其逆定理分析与解决实际问题；二是解题时能灵活运用
直角三角形的一些性质，如两锐角之间的关系、斜边与斜边上
中线的关系；三是当几何问题中给出了线段长度时，往往要构
造直角三角形(如勾股数或添加辅助线将非直角三角形转化为
直角三角形)．1．(2012 年广东肇庆)等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为()CA．16B．18C．20D．16 或 202．(2012 年广东广州)在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点 C 到 AB 的距离是()AA.36
5B.12
25C.9
4D.34 3．(2011 年广东茂名)如图 4-2-30，已知△ABC 是等边三角
形，点 B，C，D，E 在同一直线上，且 CG＝CD，DF＝DE，15°则∠E＝________.
图 4-2-30图 4-2-31 4．(2013 年广东梅州)如图 4-2-31，已知△ABC 是腰长为 1
的等腰直角三角形，以 Rt△ABC 的斜边 AC 为直角边，画第二
个等腰 Rt△ACD，再以 Rt△ACD 的斜边 AD 为直角边，画第三
个等腰 Rt△ADE，…，依此类推，则第 2013 个等腰直角三角形的斜边长是__________． 5．(2013 年广东湛江)如图 4-2-32，所有正三角形的一边都
平行于 x 轴，一顶点在 y 轴上，从内到外，它们的边长依次为
2,4,6,8，…，顶点依次用 A1，A2，A3，A4，…，来表示，其中
A1A2 与 x 轴，底边 A1A2 与 A4A5，A4A5 与 A7A8，…，均相距一个
单位，则顶点 A3 的坐标是________，A92 的坐标是________．图 4-2-32 6．(2012年广东肇庆)如图4-2-33，已知 AC⊥BC，BD⊥AD，
AC 与 BD 交于点 O，AC＝BD.
求证：(1)BC＝AD；(2)△OAB 是等腰三角形．图 4-2-33证明：(1)∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠ADB＝∠BCA＝90°.在 Rt△ABC 和 Rt△BAD 中，
∵AB＝BA，AC＝BD，∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)．
∴BC＝AD.(2)∵Rt△ABC≌Rt△BAD，
∴∠CAB＝∠DBA.∴OA＝OB.
∴△OAB 是等腰三角形． 7.(2013 年广东梅州)用如图 4-2-34 所示的两个直角三角形
(部分边长及角的度数在图中已标出)，完成以下两个探究问题：(1)(2)(1)(2)图4-2-35图4-2-34探究一：将以上两个三角形按图 4-2-35(1)拼接(BC 和 ED重合)，在 BC 边上有一动点 P.(1)当点 P 运动到∠CFB 的角平分线上时，连接 AP，求线段 AP 的长； (2)当点 P 在运动的过程中出现 PA ＝FC 时，求∠PAB 的度数．
探究二：如图 4-2-35(2)，将△DEF 的顶点 D 放在△ABC
的 BC 边上的中点处，并以点 D 为旋转中心旋转△DEF，使△
DEF 的两直角边与△ABC 的两直角边分别交于 M，N 两点，连
接 ，在旋转 DEF 的过程中，MNAMN 的周长是否存在有最
小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由．解：探究一：(1)如图 14，过点 A 作 AG⊥BC，垂足为 G.
当点 P 运动到∠CFB 的角平分线上时，图14图15探究二：△AMN 的周长存在最小值．如图 16，连接 AD.
∵△ABC 为等腰直角三角形，点 D 为斜边 BC 的中点，
∴AD＝CD，∠C＝∠MAD＝45°.
∵∠EDF＝90°，∠ADC＝90°，
∴∠MDA＝∠NDC.图 16∵在△AMD 与△CND 中，
∠MAD＝∠C，
AD＝CD，
∠MDA＝∠NDC，
∴△AMD≌△CND(ASA)．∴AM＝CN.